1、第18章隐函数定理及其应用 1隐函数 一 隐函数概念 下面看隐函数的例子 二 隐函数存在性条件的分析 三 隐函数定理 例1 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 令 则 并求 连续 由定理可知 导的隐函数 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 两边对x求导 两边再对x求导 令x 0 注意此时 导数的另一求法 利用隐函数求导 例2 设 解法1利用隐函数求导 再对x求导 解法2利用公式 设 则 两边对x求偏导 作业 P151 1 2 3 2 5 5 四 隐函数问题举例 自练 2隐函数组 一 隐函数组概念 二 隐函数组定理 例2 设 解 方程组两边对x求导 并移项得 求 练习
2、 求 答案 由题设 故有 三 反函数组与坐标变换 作业 P157 1 2 2 3 1 6 3几何应用 因本节讨论的曲线和曲面的方程以隐函数 组 给出 故在求它们的切线 或切平面 时都要用到隐函数 组 的微分法 一 平面曲线的切线与法线 例 求x2 y2 4在 2 2 处的切线 二 空间曲线的切线与法平面 所求切线方程为 法平面方程为 三 曲面方程的切平面与法线 解 令 切平面方程 法线方程 作业 P163 2 2 3 1 5 7 4条件极值 一 条件极值的概念 以前所讨论的极值问题 其极值点的搜索范围是目标函数的定义域 但是 另外还有很多极值问题 其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制 这
3、种附有约束条件的极值问题称为条件极值问题 不带约束条件的极值问题称为无条件极值问题 二 拉格朗日乘数法 过去把条件极值问题化为无条件极值问题 例如上述水箱设计问题 这样就把条件极值问题 4 5 转化为函数 10 的无条件极值问题 这种方法称为拉格朗日乘数法 10 中的函数L称为拉格朗日函数 辅助变量 称为拉格朗日乘数 三 例题 解 则 练习2 解 得 小结 条件极值的概念 拉格朗日乘数法的推导和理论 拉格朗日乘数法的应用 解决条件极值问题 极值 最值 不等式 典型例题 作业 P169 1 3 2 1 3 1 4 提示 仿例3 第18章隐函数定理及其应用 的习题课 一 内容要求 1 了解隐函数的概念 理解隐函数存在唯一性定理 可微性定理 掌握隐函数的求导法 2 了解隐函数组的概念 理解隐函数组定理 掌握求导法 了解反函数定理与坐标变换 3 会求平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与与法平面 曲面的切平面与法线 4 会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题 极值 最值 不等式 二 作业问题 P151 1 2 P158 6 三 练习 参考 P157 例4 11设三个正数的和恒为常数 问它们取何值时其乘积最大
