1、齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- I -摘 要隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解. 本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数
2、和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述. 关键词：隐函数定理；应用；优化理论 ；证明齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- II -AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and
3、 it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extrem
4、e conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding. This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in al
5、l aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light
6、 of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper. Key words: implicit function theorem; Application; Optim
7、ization theory; proof齐齐哈尔大学毕业设计（论文）目 录摘要 IAbstract.II绪论 .1第 1 章 隐函数 .21. 1 隐函数 .21. 2 隐函数组的概念 .21. 3 反函数组的概念 .3第 2 章 隐函数定理 .42. 1 隐函数定理 .42. 2 隐函数组定理 .62. 3 反函数组定理 .7第 3 章 隐函数定理的应用 .93. 1 计算导数和偏导数 .93. 1. 1 隐函数的导数 .93. 1. 2 隐函数组的导数 .93. 1. 3 对数求导法 .103. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 .103. 2 几何应用 .113. 2. 1 空间
8、曲线的切线与法平面 .113. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 .143. 3 条件极值 .153. 3. 1 无条件极值 .153. 3. 2 拉格朗日乘数法 .163. 4 最优化问题 .183. 4. 1 无约束最优化问题 .183. 4. 2 约束最优化问题 .19结论 .21参考文献 .22致谢 .23齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 1 -绪 论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决
9、带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解. 现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在 1986 年出版隐函数定理一书，
10、在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在 1989 年出版普通数学一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在 2010 年发表期刊关于隐函数定理和 Peano 定理的一点注记 ，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在 2005年发表期刊隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用 ，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用. 本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用. 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 2 -第 1 章 隐函数隐函数
11、与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研究隐函数. 1.1 隐函数以前接触的函数 （对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这)(xf样的函数为显函数. 如 ， = 等. 2)(xfcos定义 1. 11 若自变量 与因变量 之间的对应关系 是由某个方程 所yf 0),(yxF确定的，即有两个非空数集 与 ，对任意 ,通过方程 对应唯一一个ABA0),(yx,这种对应关系称为由方程 所确定的隐函数. 记为 ， ，By0),(xF)(fA则成立恒等式，,fx例如，二元方程 在 上确定（从中解得）一个隐函数. 245),(
12、yxR隐函数不一定能写成 的形式，如 ，因此隐函数不一定是函数，(f 12y而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数 2. 1.2 隐函数组的概念定义 1.23 设 和 为定义在区域 上的两个四元函数，),(vuyxF),(vuyxGV4R若存在平面区域 ,对于 中每一点 ，分别在区间 和 上有唯一一对值 ,DJKJu,它们与 ， 一起满足方程组Kv(1-1)0),(vuyxF则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域 上，值域分别在 和 内的函数，称这DJ两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为 ，),(yxfu则在 上成立恒等式),(yxgvD，
13、0),(,(yxgfyxF 0),(,(yxgfyxG齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 3 -1.3 反函数组的概念定义 1.34 设有函数组， (1-2),(yxu),(yxv如果能从此函数组(1-2)中，把 ， 分别用 ， 的二元函数表示出来，即， (1-3),u则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组. 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 4 -第 2 章 隐函数定理在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程 ，那么在什么条件0),(yxF下，此方程能确定一个隐函数 ？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连)(xfy续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函
14、数组的存在性问题打好了基础. 2.1 隐函数定理定理 2. 15 若函数 满足下列条件),(yxF(1) 0,0(2)在点 的一个邻域 中,函数 连续P)(0PU2R),(yxF(3) ),(0y则有下列结论成立：在点 的某个邻域 内, 方程 唯一确定了一,0x)()(00V20),(个定义在某区间 内的隐函数 ，满足 且 ；,(0xfy0xfy)(,xf 在区间 内连续；)fy),x 在区间 内具有连续的导数，满足(x(0 ),()( yxFdyf证 为了不失一般性，不妨设 . 0,0xFy首先证明隐函数 的存在性与惟一性. )(fy由 ，我们知道 是连续的，由 的连续性与局部保号0),(0
15、xFy ),(y ),(yx性可知，存在闭矩形域 D)(, 00000 pUyx有 ),(Fy ),(Dx所以，对任意的 ， 在 上严格单调增加. ,00xx 00y因为 ，所以可得),(0yF ),(),( 00 xy又由于 在 上是连续的，所以存在),(0xFx 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 5 -，使得)(0 ),(0),(0),( 000 xxyxFyxF所以，对于每一个固定的 ， 在 上都是严格单,yy调增加的连续函数，并且有 0),(0),( 00xyx因为零点存在定理，存在惟一的 ，使得 . 因此由 与y),(yxFy的对应关系就确定了一个函数 ，其定义域为 ，值域包含于x )
16、(f0，记为：,00y ),(,)( 0000yxPV从而结论得以证明. 其次证明隐函数 的连续性. )(xfy任意取 ，对于任意给定的充分小的 ，可以得到,(0x 0),(0),(yxFy因为连续函数的保号性可知，存在 ，当 时，有 ),(0x),(),(xF因此，当 时，由 关于 的单调性，相应于 的隐函数值 满),(xy )(f足 ，于是 ，即 ，所以 在yfy) |)(|f |)(|xf xy连续. ,(0x最后证明隐函数 的可微性. )(xf任取 和 都属于 ，它们相对应的隐函数值为 和),0)(xfy，那么)(xfy 0),(,( yxFyx由多元函数微分中值定理，可得 yxFyF
17、 yx ),(,),),(0 在这里， . 因此，当 充分小时1y. ),(yxFxyx因为 和 是连续的，取极限 可得),(yxF),(y 0),()( yxdf且 在 内连续. )(xf ),0x齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 6 -相应的，我们能够得出由方程 所确定的 元隐函数的存在定理：0),(21yxFn n定理 2. 26 如果满足下列条件(1) ；0),(001yxFn(2)在点 的一个邻域 内,函数 连续；2P )(0PU1nR),(21yxFn(3) ，),(001ny那么则有以下结论成立：在点 的某个邻域 内, 方程 惟),(0021yxn )()(00V0),(21yxn
18、一确定了一个定义在点 某邻域 内的隐函数,(21nxR nR，满足 ，且 ；),(21nxfy ),000f ),(,(2121 nfxF 在邻域 内连续；x U) 在邻域 内具有连续的偏导数，满足),(21nf n(0. niyxFxynyxii ,21,),21 例 2. 1 验证方程 在原点 的某邻域内确定唯一的连续函数),(xe0,(. )(xfy证 由于 与 都在 上连续，当然在点 的邻域内连续，且,yFxy2R)0,(01)(,0)(y由此可知方程 在点 的某邻域内确定唯一连续的隐函数 . ,x)0,( )(xfy2.2 隐函数组定理下面我们将给出由方程组 所确定的隐函数组 的存在
19、定0),(vuyxGF， ),(yxgvfu，理. 定理 2. 37 设 以及它们的一阶偏导数在以点),(,vuyx为内点的某区域 内连续，且满足),(00vuyxPV4R(1) 0),(,0vuyxF(2) ),(0PvuGFvJ齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 7 -则方程组 在 的某邻域 内唯一确定两个隐函数 ，0),(vuyxGF， P)(0U),(yxfu，有下列结论成立：),gv ，则有),(,000 yxgf 0),(,(yxgfxGyF 在邻域 内具有连续的一阶偏导数，且),(),(yxvfu20)RU),(1,(1xuGFJxvJu,)yyFy例 2. 28 验证方程组 在点
20、的邻域内确定隐函数组，4282vux )123(并求 ， . xuv解 令 ，8),(yyF 4),( 22vuyxyG则： 0130)1,23(F与 以及它们的一阶偏导数都连续G且 ，(),(vuvuG 06),()1,23(所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组 ,yx在方程两端同时对 求导得x0221xvux解得 ，vuxvu2.3 反函数组定理定理 2. 49 若函数组 满足如下条件：),(),(yxvu(1) 均具有连续的偏导数,),(yxvu(2) 0,J则函数组 可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组),()(yxv齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 8 -),(),(vuyx且
21、有， ， ，yvJux1J1xJ1xuJy1及 或),(),(yxvu),(,v定理 2. 5 若函数组 满足如下条件：),(211nnxy (1) 均具有连续的偏导数ny,21(2) 0),(21nx则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组 ),(,211nnyx 且有 1,),(2121 nnxy例 2. 2 10在 中的一点，其直角坐标 与相应球坐标 的变换公式为3R,(zy),(rcosirzx其中 ，则函数组（除去 轴上的点）可确定反函数组. 20,0r z证 由于 0sin0sincoscosiinc),( 2 rrrrzyx由反函数组定理，函数组（除去 轴上的点）可确定 分
22、别是 的函数，z,zyx,事实上，函数组的反函数组为 ， ， . 22yxryarctracos齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 9 -第 3 章 隐函数定理的应用3.1 计算导数和偏导数3.1.1 隐函数的导数 11设方程 确定一个单值可导函数 ，将 代入方程得恒等式0),(yxF)(xfy)(xfy，在恒等式两边对 求导，便得到一个含有 的方程，解出 就求出了),(yxxy隐函数 的导数，在恒等式两边对 求导时，必须注意 是 的函数，要利用复f合函数求导法. 例 3. 1 求由方程 所确定的隐函数 对 的导数. 013yxyx解 我们在方程两端对 求导，注意 是 的函数，于是 则是 的复合函
23、数，运yx3x用复合函数求导法可得 所以 . 22313.1.2 隐函数组的导数 12对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数. 例 3. 2 求函数 的偏导数. 0,),(22yxyxf解 (1)当 时，有02 2322 )()(),( yxyxyfx 2322,fy (2)当 时，02x根据偏导定义有： 0lim)0,(),(lim),( 00 xxfffxx yyy综合(1) (2)得：齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 10 - 0,)(),(223yxyxf,)(),(223fy3.1.3 对数求导法某
24、些显函数的导数直接去求十分繁琐，有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式，再用隐函数求导法去求导数，使其变得简单些，这样的求导方法我们称为对数求导法. 例 3. 3 计算 的导数. 3)(21xy解 先在两端取自然对数，得： )3ln2l1(ln3l xxy再应用隐函数求导法，在上式两端对 求导，得 )1(所以得 )321()3(213 xxxy3.1.4 由参数方程所确定的函数的导数设由参数方程 确定了 是 的函数， 则称这个函数为有参数方程)(tyxy)(y所确定的函数，其中 为参数，下面讨论由参数方程所确定的函数求导法：设函数 具有单调连续的反函数 ，且此反函数能与函数 复合)(tx
25、 )(xt )(ty成复合函数，则由上面参数方程所确定的函数 就可以看成是由 ，y复合而成的函数 ，假设 ， 都可导且 ，)(t)()(txy)(t)(t0)(t则由复合函数求导法则和反函数求导公式有：； ；dttx)(1tdx即 dtxydxy)(齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 11 -若 都二阶可导，则有：)(),(tytx32 )()()(tttdxy例 3. 4 已知抛物体的运动轨迹的参数方程为 求抛物体在此时刻221gtvyx的运动速度的大小和方向. t解 先求速度的大小，由于速度的水平分量为 ，垂直分量为 ，1dtxgtvdty2所以抛物体运动速度大小为 2212 )()(gtvt
26、ydtxv再求速度的方向，即轨道的切线方向，设 是切线的倾角，则由导数的几何意义有 12tanvtdtxy所以抛物体刚射出（即 ）时0t 1200tavxytt当 时gvt2tan22gvtgvtdxy这说明，这时运动方向是水平的，即抛物体达到最高点. 3.2 几何应用3.2.1 空间曲线的切线与法平面 133. 2. 1. 1 空间曲线由参数方程给出的情况设空间曲线 的参数方程为：C(3-1)(:tzytxC,取定曲线 上点 ，设式(3-1)中 3 个函数都在 点,),( 0000xzyxP 0t可导. 且 )()()(202020 tztyt齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 12 -在 的附
27、近取动点 ，则割线 方程为0PCzyxP),(000 P0z0其中 ， ， . 以 除以)(00txtx)(00tyty)(00tztt上式分母得= =tx0ty0tz0当 时， ,且 ， ， . 所以曲线 在 处得0t0P)(0t)(0)(0tC0P切线方程为= =)(0tx0ty)(0tz其切向量 . ),(00tzytxl因为曲线 在点 的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与 平行，设CP l法平面的法向量为 ，则 = . 从而过 点的法平面方程为n)(,)(00tzytx 0P)(zty特别地，如果空间曲线 的参数方程以 为参数，即：x)(:zyC,则 在点 的切线方程为C),(
28、00zyxP )()(1000zxyx切向量为 ， 在点 处的法平面方程为：)(,1(0tzylC0P)()(00ttx如果 为平面曲线 ， ，则过点 切线方程为：C)(fba,yx或)(100xfy)(00f切向量为 . )(,10xfl例 3.513 求螺旋线 在 处的切线方程与法平面方btzayt,sin,co30程. 齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 13 -解 由 ，则切线方程为：bztaytx ,cos,sin bzayx3cosin3sin即 bzayx323因此法平面方程为： 0)3()()(2zyxa3. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况设空间曲线 由方程组 (3-2
29、)给出，设它在点 的邻域内满L0),(zyxGF),(00zyxP足隐函数组定理的条件（这里不妨设 ） ，则由隐函数存在定理可知在方程,(0p组(3-2) 点 附近可确定唯一连续导数的隐函数组 ， ， （亦即 的0P )(zx)(zyL参数方程） ，满足： ),(00yzx且00),(,)(0ppyxGFzzx 00),(,)()(ppyxGFzz故曲线 在点 的切线方程为：L0P= = (3-3)0),(0pzy0),(0pxz0),(0pyz曲线 在点 的法平面方程为：L0+ + =0 (3-4)(),(00xzyGFp)(),00yzGFp)(),00zyxGFp同理，可证当 或 时，曲
30、线 在点 的切线方程为(3-3)式，,(0p,(0pLP曲线 在点 的法平面方程为仍为(3-4)式. L0P齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 14 -例 3. 6 求曲线 在点 处的切线与法平面方程. 45322zyxx)1,(P解 令 ，首先求偏导数，得：),(2zGyF， ， ， ， ，xFyz2xG3y5zG则曲线在点 的切线方向向量为：P )1,96(1,5,3, yxzyG故切线方程为 1916z法平面方程为 24yx3.2.2 空间曲面的切平面与法线 14定义 3. 1 在空间曲面 上，过点 的任一曲线在点 处的切线都在同),(00zP0P一平面上，则此平面称为曲面 在点 的切平面.
31、 先讨论曲面 的方程为 的情形，其次把显式给出的曲面方程),(zyxF作为它的特殊情形. 设曲面 由方程 给出，其中 具有一阶连),(yxfz 0),(zyxFF续的偏导数，在曲面 上，过点 的任一曲线的参数方程为,00P，其中 均可导，则曲线在点 处的切)(,),(tzttt )(,)(tt 0P线方向向量为 ，由于曲线在曲面 上，故有 ，)(,00zyx )(,)(tzytx对上式两端关于 求导，得：t 0)()(000 tzPFtytxPF即 )(,)(0zyt yx这表明向量 与曲面上过点 的任一曲线的切线都垂直，故,(0x 0所有切线都在以向量 为法向量且过点 的平面内，从而曲面)(
32、,)(0zy过点 的切平面的法向量为：0P )(,),(00PFnzyx于是过曲面 上点 处的切平面方程为：),(00zyx )()(000 PFPFzy过点 处的法线方程为：),(00齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 15 -= =)(0PFx)(0y)(0PFz上述讨论中，都假设 不全为零，现在来考虑曲面 的方程为,(0zyx 的情形，其中 都有连续的偏导数，令 使方程变形为),(yxfzf ),(),(yxfzyx0F则： 1)(,()(,()( 00000 PFfPFyxfPFzoyx所以曲面 在点 的法向量为：0 )1,(),(00oyxxffn故曲面 在点 的切平面方程为：0 000
33、00 )(,)(, zfyfyx 曲面 在点 的法线方程为：0P= = ，其中),(0yxf),(0yxf10z),(00yxfz曲面 ： 上的法向量可以是 ，也可以是 ，z ),(yxfn )1,(yxfn但当曲面 的法向量向上时（即法向量正向与 轴正向夹角 满足大于 0 小于 时）z2的法向量应为 . )1,(yxfn例 3. 715 求球面 在点 处的切平面及法线方程. 422z)3,21(解 设 ，则),(zyF6)3,21(,4)32,1(,zyxzyxFy球面在点 处的法向量为 ，所以球面在点 的切平面方程为：)3,21(6,0)()()(x即： 1432zy法线方程为：. x齐齐
34、哈尔大学毕业设计（论文）- 16 -3.3 条件极值3.3.1 无条件极值3. 3. 1. 1 极值的概念定义 3.2 设函数 在点 的某邻域 内有定义，如果对),(yxfz),(0yxP)(0PU都有 或（ ）则称 为函数)(,(0PUyx),(0oyxf,off),oyxf的一个极大值（或极小值） ，此时点 称为 的极大值点（或极小值点） ，f 0函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 3. 3. 1. 2 极值存在的条件(1)极值存在的必要条件定理 3.2 设函数 在点 处具有偏导数，且在点 处有极),(yxfz),(0yxP),(0yxP值，则在该
35、点的偏导数为零，即 ，0of 0),(0oyxf证 不妨设函数 在点 处有极大值（极小值的情形可类似证明） ，),(f),(由极大值定义，在点 的某邻域内异于点 的点 都适合不等式0yxP),(0),(yx ，特别的，在该邻域内取 ， 的点，也有),(yxf),(0of yx ，这表明一元函数 在 处取得极大值，因此必有),(0f0，同理，),(0oxf 0),(0oyxf(2)极值存在的充分条件定理：设函数 在驻点 的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，,fz),(0yx记： ， ， ，当 0 时，),(0oxyfA0oxyB),(ofCACB2在点 具有极值，且当 0 时有极大值，当 0 时
36、有极小值. 当),(yf A0 时 在点 没有极值. 当 =0 时， 在点CB2),(f),(0 2),(yxf可能有极值，需另作讨论. ),(0x例 3.817求函数 的极值. 2234yxxz解 方程组 ，求得驻点为 和082yxz )0,(2,再求出二阶偏导数， ，862xz2yzz齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 17 -在点 处， , , ,故函数在点)0,( 2,8CBA012A8处取得极大值 ，在点 处， ， 故),( 0),(f)(,4CB0122AB点 不是函数的极值点. 23.3.2 拉格朗日乘数法自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数 在条件 ),(yxf
37、z(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数 在条件0),(yx取得极值的必要条件. 设函数 在点 的某一邻域内 ， 均有连续的一阶偏导),(yxfz),(0y),(yxf),(数，且 ，则方程 能唯一确定 是 的具有连续导数的单值函数0,0oy x，将其代入函数 ，得一元函数 ，于是二元函数)(x),(fz )(,fz在点 取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知,fz0x应有：(3-6)0),(),(0 00xyxx dffdz又由隐函数求导公式，有： )0,(0yxxy代入(3-6)式中得： ),(),(),( 000 yxfyfyx即：(3-7),(),(),(
38、000yxfyxf (3-5)、(3-7) 式就是 在条件 下，在点 取得极值的必要条,z),(0yx件. 令 即：),(0yxf(3-8),(),(00yxyxf则(3-7)式变为(3-9),00fxx由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数 在 取得条件极值的必要条件是：)(y)齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 18 -(3-10) 0),(,0yxfoyx实际上(3-10)式可看作函数 ，在点 取得无条),(),(fF),(0yx件极值的必要条件. 因此为了便于记忆，求函数 在条件 下的可能xfz极值点，可以构造辅助函数 ，其中 为某一常数，称为拉),(),(),(yxfyx格朗日乘数
39、，称函数 为拉格朗日函数，分别求 对 的偏导数，,),F,yx并使它们同时为零，得联立方程组 0),(),(, ,yxyxFfyx解此方程组得 ，其中 就是可能极值点的坐标，上述方法称为拉格朗日乘,x,数法. 例 3. 918 求函数 ， 在条件22),(czbyaxzyf)0,(cba下的最小值. 1zyx解 作拉格朗日函数 )1(),( 22 zxL对 求偏导并令其为零，得：L02zyxcba解得唯一稳定点： acbacbacbx ,故所求最小值为： 2min)(f3.4 最优化问题在现实中，我们通常要解决“投资最少” “成本最低” “效益最高”等问题，称这样的问题为最优化问题，这类问题在
40、数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 19 -大值或最小值问题. 最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题. 3.4.1 无约束最优化问题无约束最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围 D 上，求一组 nx21,使： ),(ma),( 21),(2121 nDxn xfxfn 或： ),(i),( 21),(2121 nxnffn 这也是一个在 D 上求函数 的最大值或最小值问题 . x例 3. 10 用铁板做一个体积为 的有盖长方体水箱，问当长，宽，高分别为多2m少时，才能使用料最省？解 设水箱的长为 m,宽为 m，则高为 mxyxy
41、水箱所用材料的面积为： )0,(),2()2(2 yxA这样所给问题就转化为在域 上求使此函数达到最小的0,(yxDyx,用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程组： 0)2(),(yxAyx得： 33,根据题意可知，水箱所用材料面积 的最小值一定存在，且在开区域内取得，同时函数在 内只有唯一驻点 ，因此可以肯定当0,),(yxDD)2,(3， 取得最小值，即当水箱长、宽、高分别为 m、 m、 m 时，332A 3水箱所用材料最省. 3.4.2 约束最优化问题在约束最优化问题中，约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件，在此我们只讨论等式约束条件的情形. 这时对应的最优化问题的数学表达式就
42、是：在自变量齐齐哈尔大学毕业设计（论文）- 20 -的取值范围 上，求一组满足约束条件 的 ，使D0),(21nx*2*1,nx或 ，这也),(max),( 21),(*2*121 nDn xfxfn )(mi21),(*21 nDxffn 是一个有条件地求函数 在 上的最大值或最小值问题. 求解有约束最优化问题有两种方法：一种方法是利用约束条件，将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解. 令一种方法是拉格朗日乘数法. 例 3. 11 求表面积为 而体积最大的长方体的体积. 2a解 设长方体的长、宽、高分别为 zyx,则问题就是求函数 )0,(,zV在条件 2),( 2axyzyx下的最大
43、值利用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数 2)(),( zxyxyzzF对 分别求导，并令其同时为零，得方程组：,zyx02),( )(,)(axyzxyzFyx解此方程组得 ，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知，azyx6最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为 的长方体2a中，以棱长为 的正方体的体积最大，最大体积为 . a6 36V齐齐哈尔大学毕业设计（论文）结 论本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用，重点在于应用，难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位，以及在现代生活
44、中人们对隐函数的具体认识及其主要用途本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理，并予以严谨的证明。在这些定理的基础上我们得出了反函数定理。隐函数的应用十分广泛，特别是在计算导数上使问题更加简便，本文就隐函数的导数问题做了简单的研究，并举例说明了隐函数一阶导数及高阶导数的计算方法。隐函数求偏导数是数学分析的重要内容之一，它在数学的分支有广泛的应用(如数学物理方程、微分方程等) 。利用隐函数求偏导数可以求平面曲线、空间曲线的切线和空间曲面的切平面等。本文针对隐函数极值存在的必要、充分条件进行了论述并给出了应用实例。并介绍了条件极值中的拉格朗日乘数法及其严格的证明。隐函数定理的应用也体现在现
45、实生活中，在最优化问题中，它为我们解决了“效益最高” 、 “成本最低”等问题。本文中我们将其分为无约束最优化问题和约束最优化问题两个方面进行研究。本文主要讲述了用隐函数定理解决问题，事实上，隐函数定理用途颇广，它已成为国内外很多学者的研究对象，根据实际问题的需要会加快这门学问的发展速度齐齐哈尔大学毕业设计（论文）参考文献1 周运明. 数学分析(上册) M. 科学出版社,2008:196-200.2 孙清华. 数学分析M . 华中科技大学出版社,2003, 310-313.3 郝涌. 数学分析选讲 M. 国防工业出版社, 2010, 185-189.4 卢丁(美) . 数学分析原理 M. 赵慈庚
46、，译. 机械工业出版社, 2004:221-225 .5 Cast i J L. Recent developmen t and fu ture perspect ivesin nonlinear system theo ry. S IAM Review , 1982,(3) : 310-3256 杜继宏，隐函数存在的充分必要条件J. 清华大学学报(自然科学版)，1999,39 (1),75-78.7 陈传璋, 金福临. 数学分析 M. 上海: 上海科学技术出版社, 1962:201-204.8 吉米多维奇 (苏)，数学分析习题全解(五) M.安徽人民出版社，2007:189-193.9 吉米多维奇 (苏)，数学分析习题全解
