1、1本科毕业论文设计题目： 拉格朗日中值定理的应用 学生姓名： 任雯蕾 学 号 ： 201000820223 专 业 ： 信息与计算科学 指导教师： 范进军 学 院： 数学科学学院 2014 年 5 月 8 日2毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目 拉格朗日中值定理的应用选题时间 20131125 完成时间 201458论文（设计）字数8000关 键 词 拉格朗日中值定理、应用、极限、收敛论文（设计）题目的来源、理论和实际意义：以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学地理论基础，而拉格朗日中值定理是这几个中值定理中最重要的一个，具有中值性，在微分中值定理和高
2、等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数取极值、单调性、拐点、凹凸性等多项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以把握函数图像的各种几何特征。总之，微分中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深
3、入的总结。论文（设计）的主要内容及创新：课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，因而本文对拉格朗日中值定理的理解进行了深入的分析，介绍了它的几种证法，并在此基础上就拉格朗日中值定理的应用进行了系统的总结。附：论文（设计） 本人签名： 任雯蕾 2014 年 5 月 8 日3目 录中文摘要.1英文摘要.2引言.3一、拉格朗日中值定理及其证明.31.定理内容.32.定理意义.33.定理证明.4二、拉格朗日中值定理的应用.41.利用拉格朗日中值定理证明不等式.52.利用拉格朗日中值定理证明等式.63.利用拉格朗日中值定理求极限.74.利用拉格朗
4、日中值定理判别级数敛散性.86.利用拉格朗日中值定理估值.97.利用拉格朗日中值定理延吉函数性态.108.利用拉格朗日中值定理判断根的存在性.12三、结束语.14参考文献.144拉格朗日中值定理的应用任雯蕾（山东师范大学 ，数学科学学院， 信息与计算科学， 2010 级 2 班）摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据
5、，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛5Applications of Lagranges mean value theoremRen We
6、nlei(Class 2 Grade 2010 , Information and Computing Science, School of Mathematical Science, Shandong Normal University)Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolles mean value theorem , Lagranges mean value theorem and Cauchys mean value theorem is the theoretical basis of the differ
7、ential calculus. And Lagranges mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexit
8、y, inflection point， and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferrin
9、g the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagranges mean value theorems way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into it
10、s important applications. There is no special explanation about the applications of Lagranges mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.Keywords：Lagranges mean value theorem; Application; L
11、imit; Convergence6拉格朗日中值定理的应用引言：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理,所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下：特例 推广以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、拐点、取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种
12、几何特征。总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，这是十分必要的。罗尔定理 拉格朗日定理柯西定理泰勒公式7一、拉格朗日中值定理及其证明1.定理内容：若函数 满足如下条件： 在闭区间 上连续； 在开区间 内可导；xf1ba,2ba,则在 内至少存在一点 ，使 。ba, ff2.几何意义：函数 在区间 上的图形是连续光滑曲线弧 上至少有一点 ，曲xfyba, ABC线在 点的切线平行于弦 。如图CAB3.定理证明：（1）教材证法从拉
13、格朗日中值定理的条件与结论可见，若 在闭区间 两端点的函数值xfba,相等，即 ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理（如果函数 满足条bfa xf件： 在闭区间 上连续； 在开区间 内可导；（3） ,则在1,2ba,f内至少存在一点 ,使得 ） 。 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中b, 0f值定理的一个特殊情形。所以，我们只须对函数 作适当变形，便可借助罗尔中值xf定理导出拉格朗日中值定理.证明：作辅助函数 fbaFxfx8显然，函数 满足在闭区间 上连续，在开区间 内可导，而且xFba, ba,于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点 ，使Fab .即 .0 affabff（2）用作差法引入辅
14、助函数法证明：作辅助函数 ，axffxf显然，函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， 。xba, b,0b因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点 ，使得a,，即 0 abff bff二、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求极限、证明级数收敛、研究函数在区间上的性质、估值等问题。1.利用拉格朗日中值定理证明不等式例 1 当 x 0 时，证明 。x1xln证明：做辅助函数 。ttf函数 在定义域 上可导，故对于 0,有 在闭区f，- xttf1ln间 上连续，在开区间 上可导
15、。x，0x，0则至少存在一点 ，使得 = = ,，0f0x1而 ， 。0f1xf当 0 时，有 ，即 ，xxxx19又当 时，有 ，0xxfx1所以 得证。ln对于证明不等式， 关键怎样构造函数， 其后巧用拉格朗日中值定理， 画龙点睛恰到好处。例 2 已知 0 ，证明 。22cos-tant2cos-证明：做辅助函数 。,0,tanxf由于函数 在 上连续可导，且 ，xft2， xf2cos1于是当 0 时， 在闭区间内可导，xf即满足拉格朗日中值定理的条件。所以 ，使得 。，ff有 （1） 。2costant又 在 上单调递减，cos2xx0，所以当 0 时，有 0 ，2cos22cos即转
16、化成 (2)。2cos-22-综合（1） 、 （2）可得 成立。2cs-tan2cos-综上所得当 0 ， 。2o-tt2-拉格朗日定理的应用使本题简化了计算量，对于构造函数也比较简单，其优势表现的淋漓尽致。2.利用拉格朗日中值定理证明等式（包含恒等式和等式）例 3 证明 恒等。21arctrcos(1)24xgx10证明：令 ，21()arctrcos(1)24xxg则在 时 有意义，且222211()()()xx AA。22=01(1)x在 时， （为常数） 。x()c又取 内任一点，如 ，有 ，(1,31()3264且 ，所以端点值也成立，()04有推论 恒等。21arctarcos(1)24xgx由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点 ， （不妨设 ）有12,x12x。那么若 恒为 0，则有 ，所以2121()()fxffx()fx()0f，由 的任意性可知， 在定义域内函数值恒等。,例4 设 在 上连续，在 内可导，且 ，试求()fx,ab(,)ab()()1fafb，使得 .,eff =1证明：令 ，()()xF则 在 上满足拉格朗日中值定理条件，,ab故存在 ，使得 。(,)()()()baeffeff 由条件 ，可得 。()()1faf()()baff 再令 ，xe
