1、微分中值定理的推广及应用 毕业论文微分中值定理的推广及应用本 科 毕 业 设 计（论文）微分中值定理的推广及应用The Generalization of Differential Mean Value Theorem and ItsApplication学 院 （系）： 数理学院专 业： 数学与应用数学学 生 姓 名：学 号： 101108072指 导 教 师（职称）：评 阅 教 师：完 成 日 期： 2012.04南阳理工学院Nanyang Institute of Technology1微分中值定理的推广及应用微分中值定理的推广及应用数理学院摘 要 本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基
2、础上, 给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系等, 并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.关键词 微分中值定理；新证法；推广；费马定理The Generalization of Differential Mean Value Theorem and ItsApplicationMathematical InstituteAbstract: In this paper, the differential mean value theorem of the general license based o
3、n the method, gives a new proof method, discusses the three differential mean value theorems of transitive relations among, and the mean value theorem for a promotion, and specific analysis of the differential mean value theorem in the proof of identity, inequality and discuss the equation existence
4、 of root and so on several aspects of the application.Key words: Differential mean value theorem; New method; Promotion; Fermats theorem2微分中值定理的推广及应用目 录0 绪论1 1 微分中值定理及相关的概念1 2 微分中值定理普遍的证明方法22.1 费马定理22.2 罗尔中值定理22.3 拉格朗日中值定理32.4 柯西中值定理4 3 中值定理的推广43.1 关于三个中值定理新的证明方法43.2 微分中值定理的推广63.3 微分中值定理的弱逆定理 10 4 微
5、分中值定理的应用114.1 利用微分中值定理证明等式114.2 利用微分中值定理证明不等式144.3 讨论方程根的存在性 15 结束语18 参考文献18 致谢183微分中值定理的推广及应用0 绪论微分中值定理是包括 Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果 .从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着
6、很重要的作用.因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容 .1 微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个(或多个)函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义 1 (最小值或最大值) 设 f(x)在 I 上有定义,若存在 x0?I 使任意 x?I,f(x0)?f(x)(f(x0)?f(x),则 f(x0)称为 f(x)的最小值 (最大值).x0 为最小值点(最大值点).定义 2 (极小值或极大值) 设 f(x)在任意 x?I 上有定义,若存在
7、 x0?I,?0,任意 x?(x0?,x0?),都有 f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0),则 f(x0)称为 f(x)的一个极小值(极大值),x0 称为极小值点(极大值点).定义 3 (极限的局部保号性) 若 limf(x)?limg(x),则存在?0,任意 x?(x0?, x?x0x?x0x0?),使得 f(x)?g(x).定义 4 (函数单调性) 函数 f(x)在定义域内,当 x1?x2 时,有f(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x2)则称 f(x)单调递增(严格单调递增).当 x1?x2 时,有f(x1)?f(x2)(f(x1)?f(x2),则称 f(x)单调递减(严格单调
8、递减).定义 5(凸性) 若函数曲线位于其每一点处切线的上方( 下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的, 或称函数向下凸 (上凸).定义 6(凹性) 若 y?f(x)的一阶导数 f?(x)在?a,b?上单调递增(或递减),则称 f(x) 在?a,b?是向上凹(下凹)的, 或称函数曲线向上凹(下凹).4微分中值定理的推广及应用2 微分中值定理普遍的证明方法2.1 费马定理定理 1 设 f(x)在区间 K 有定义.若 x0 是函数 f(x)的极值点,且 f(x)在 x0处可导,则 f?(x)?0.费马定理的几何意义:若将函数 f(x)的曲线置于平面直角坐标系 XOY,则费马定理具有几何意义:对曲线
9、y?f(x)上,若有一点(x0,f(x0)存在切线,且x0 为 f(x)极值点. 则这一点处的切线平行于 x 轴. 1证明 x0 为 f(x)的极值点.设 x0 为极小值点, 则存在?0,任意 x?(x0?,x0?),有 f(x0)?f(x),若 x?x0,则 f(x)?f(x0)?0; x?x0若 x?x0,则 f(x)?f(x0)?0; x?x0取极限 lim?x?x0f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)lim 与分别为 T、S, 由于 f(x)在 x0 处可导,则 ?x?x0x?x0x?x0limT=S=x?x0f(x)?f(x0) x?x0由极限的局部保号性有 T?0, S?0.故
10、 T=S=0.所以有即 f?(x0)?0.2.2 罗尔中值定理5 x?x0limf(x)?f(x0)?0,x?x0微分中值定理的推广及应用定理 2 设 f(x)满足:(1) 在闭区间?a,b?上连续; (2) 在开区间?a,b?内可导; (3) f(a)?f(b),则至少存在一点?(a,b) 使得f?(?)?0.罗尔定理的几何意义:若 f(x)满足罗尔定理的条件 ,则在曲线 y?f(x)上至少存在一点 P(?,f(?),使得点 P 处的切线平行于 x 轴(如图), 其中 A(a,f(a),B(b,f(b).证明 由于在闭区间上连续,从而存在最大值 M,最小值 m.若 M?m 则对任意 x?a,
11、b?有 f(x)?M?m,即 f(x)为常函数, 所以 f?(x)?0. 若 M?m,由于 f(a)?f(b).M 与 m 不同时为区间的端点,不妨设 M?f(a)?f(b),所以 M 必为 f(x)的极大值 .设 f(?)?M,则有?(a,b),且 f(x)在?a,b?内可导,根据费马定理可知f?(?)?0.证毕.2.3 拉格朗日中值定理定理 3 若函数 f(x)满足:(1) 在闭区间?a,b?上连续;(2) 在开区间?a,b?内可导;则至少存在一点?(a,b)使得f?(?)?f(b)?f(a). b?a证法 利用罗尔中值定理,构造辅助函数.f(b)?f(a)?F(x)?f(x)?f(a)?
12、(x?a)?. b?a?证明 作辅助函数f(b)?f(a)?F(x)?f(x)?f(a)?(x?a)?, b?a?显然,F(x)在?a,b?上连续, 在?a,b?内可导,且 f(a)?f(b)?0,由罗尔定理可知,存在一点?(a,b) 使得 F?(?)?0 即6微分中值定理的推广及应用 f?(?)?f(b)?f(a). b?a推论 设 f(x)、g(x)都在区间 K 上可导,且 f?(x)?g?(x),则 f(x)?g(x)?c2.4 柯西中值定理定理 4 设函数 f(x)、g(x)满足:(1) 在闭区间?a,b?上连续;(2) 在开区间?a,b?内可导,且 g?(x)?0，则至少存在一点 ?
13、(a,b)使得f?(?)f(b)?f(a)?. g?(?)g(b)?g(a)证明 由定理条件可知 g(b)?g(a),则任意?(a,b)都有 g?(?)?0,因此,只需证f?(?)?g(b)?g(a)?g?(?)?f(b)?f(a)?0,为此,构造函数F(x)?f(x)?g(b)?g(a)?g(x)?f(b)?f(a)?,x?a,b?,显然,F(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,且 F(a)?F(b),根据罗尔定理, 存在?(a,b),使得F?(?)?0,即所以f?(?)f(b)?f(a)?. g?(?)g(b)?g(a)f?(?)?g(b)?g(a)?g?(?)?f(b)?f(a)
14、?0,3 中值定理的推广微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位,其证明方法也有多种.3.1 关于三个中值定理新的证明方法3.1.1 罗尔定理的新证法引理 1 非单调函数 f(x)在?a,b?上连续, 在?a,b?内可导, 则存在一点?(a,b),使得 f?(?)?0.证明 因为 f(x)在?a,b?上连续,且非单调, 故存在?(a,b)为函数 f(x)的极值点.又 f(x)在?a,b?内可导,故在?点可导, 由费马定理可知7微分中值定理的推广及应用f?(?)?0.罗尔定理的新证法证明 因为 a?b,且 f(b)?f(a).（1） 若 f(x)?f(b)?f(a)为常数,
15、 则必有 f?(x)?0，所以, 存在?(a,b), 使得f?(?)?0;（2） 若 f(x)不是常数, 则 f(x)非单调,又有 f(x)在?a,b?上连续在?a,b?内可导,根据引理 1,存在?(a,b), 使得f?(?)?0.证毕.3.1.2 拉格朗日中值定理的新证法2证明（利用分析法证明拉格朗日中值定理）要证存在?(a,b)使得 f?(?)?成立，即证,存在?(a,b)使得 f(b)?f(a) b?a成立.亦即 f?(?)?f(b)?f(a)?0 (1) b?a记 ?f(b)?f(a)? ?x?f(x)?b?a?0 (2) x?f(b)?f(a)?F(x)?f(x)?x,x?a,b?,
16、 ?b?a?则由 F(x)满足罗尔定理的条件知,存在?(a,b)使得(2)成立,进而(1) 成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.1.3 柯西中值定理的新证法3证明 首先构造辅助函数?X?g(x), ?Y?f(x)?由于 g?(x)?0,故可知 g?(x)恒大于零或者恒小于零 .否则,由费马定理可知,必存在 ? ?a,b?使得 g?(?)?0.我们不妨设 g?(x)恒大于零. 于是, 对于任意X?Xa,Xb?,其中 Xc? g(c),c?a,b?.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得8微分中值定理的推广及应用Y?f(x)?f(g?1(X)在闭区间?Xa,Xb?上连续;在开区间?Xa,X
17、b?内可导, 且dYdX?X?X?dY(x)dX(x)x?df(x)?dx?x?f?(x)g?(x)x?故即是要证明dYdXf(g?1(Xb)?f(g?1(Xa)?,Xb?XaX?X?因此可构造辅助函数:f(g?1(Xb)?f(g?1(Xa)?(X)?f(g(X)?X,Xb?Xa?1可以验证?(X)满足罗尔定理的条件,故至少存在一个 X?Xa,Xb?,使得dYdXf(g?1(Xb)?f(g?1(Xa)?Xb?XaX?X?成立.再由dYdX?X?X?dY(x)dX(x)x?df(x)?dg(x)dx?x?f?(x)g?(x)x?知,至少存在?a,b?使得f?(?)f(b)?f(a)? ?g(?)
18、g(b)?g(a)成立,柯西中值定理得证.3.2 微分中值定理的推广微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善 ,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式 . 3.2.1 罗尔定理的推广f(x)?limf(x)?A,其中 A?,则存在定理 5 设 f(x)在?a,b?内可导,且 lim?x?ax?b?(a,b)使得 f?(?)?0.证明 由于 f(x)在?a,b?内可导,则必有 f(x)在?a,b?上连续, 又有x?a?limf(x)?limf(x)?A. ?x?b9微分中值定理的推广及应用(1)当?时,对 f(x)在 a,b 两点进行连续延拓 ,使得 f(
19、a)?f(b)?A,则有 f(x)在?a,b?上连续,在(a,b)内可导且有 f(a)?f(b)?A,所以, 满足罗尔定理的条件,存在?(a,b)使得 f?(?)?0.f(x)?limf(x)?A,故存在 x1,x2?a,b?,x1?x2,使得 (2)当 A?时,由于lim?x?ax?bf(x1)?f(x2),所以 f(x)在?x1,x2?上连续,在(x1,x2)内可导, 满足罗尔定理,即存在?(a,b)使得 f?(?)?0.综上所述,存在?(a,b)使得 f?(?)?0.3.2.2 拉格朗日中值定理的推广定理 6(推广一) 设 f(x),g(x),h(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可
20、导, 则存在?(a,b)使得f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)?0.f?(?)g?(?)h?(?)证明 作辅助函数f(a)g(a)h(a)H(x)?f(b)f(x)g(b)h(b), g(x)h(x)很明显 H(x)在?a,b?连续,在?a,b?内可导,且 H(a)?H(b)?0,则根据罗尔定理有,存在?(a,b)使得 H?(?)?0,命题得证.定理 7(推广二) 若 f(x)在有限开区间?a,b?内可导 ,且 f(a?0)与 f(b?0)存在,则至少存在一点?(a,b)使得f?(?)?f(b?0)?f(a?0). b?a证明 （1）当 f(a?0)?f(b?0)时, 由定理 5
21、 可知,结论成立.（2）当 f(a?0)?f(b?0)时, 作辅助函数F(x)?f(x)?f(a?0)?f(b?0)?f(a?0)(x?a), b?af(b?0)?f(a?0)(a?0?a)?0; b?a10 由 f(x)在?a,b? 内可导知,F(x)在?a,b?内也可导,又因为 F(a?0)?f(a?0)?f(a?0)?微分中值定理的推广及应用 F(b?0)?f(b?0)?f(a?0)?f(b?0)?f(a?0)(b?0?a)?0, b?af(b?0)?f(a?0)?0, b?a 根据定理 5 可知,至少存在一点 ?(a,b)使得 F?(?)?0.进而有 F?(?)?f?(?)?即f?(?
22、)?f(b?0)?f(a?0). b?a综上所述,存在一点?(a,b)使得f?(?)?3.2.3 柯西定理的推广 f(b?0)?f(a?0). b?a定理 84(推广一) f(x),g(x)在?a,b?连续,在?a,b?内可导,任意 x?(a,b),有g?(x)?0.则存在?(a,b)使得f?(?)f(?)?f(a)?. ?g(?)g(b)?g(?)证明 作一个辅助函数F(x)?f(x)?f(a)?g(b)?g(x)?,则 F(x)在?a,b?连续,在?a,b?内可导,且F(a)?f(a)?f(a)?g(b)?g(a)?0,F(b)?f(b)?f(a)?g(b)?g(b)?0所以 F(x)在?
23、a,b?上满足罗尔定理,即存在?(a,b)使得F?(?)?0.因为 F?(x)?f?(x)?g(b)?g(x)?g?(x)?f(x)?f(a)?,所以,F?(?)?0?f?(?)?g(b)?g(?)?g?(?)?f(?)?f(a)?,即得f?(?)f(?)?f(a)?. g?(?)g(b)?g(?)定理 95(推广二) 若 f(x),g(x)在有限或无穷区间?a,b?中的任意一点有有限导数 f?(x)和 g?(x),任意 x?(a,b),g?(x)?0,f(a?0),g(a?0),f(b?0),g(b?0)都存在,则至少存在一点?(a,b) 使得 f?(?)f(b?0)?f(a?0)?. ?g
24、(?)g(b?0)?g(a?0)11微分中值定理的推广及应用证明 首先证明 g(b?0)?g(a?0)?0.假设 g(b?0)?g(a?0)?0 即 g(b?0)?g(a?0),根据定理 5 可知,至少存在一点?(a,b)使得 g?(?)?0.与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数F(x)?f(x)?f(a?0)?f(b?0)?f(a?0)g(x)?g(a?0) g(b?0)?g(a?0)由已知得 f(x)在?a,b?可导且F(a?0)?f(a?0)?f(a?0)?F(b?0)?f(b?0)?f(a?0)?f(b?0)?f(a?0)(a?0?a)?0, g(b?0)?g(b?a)f(b?0)?f
25、(a?0)(b?0?a)?0, g(b?0)?g(a?0)所以,F(a?0)?F(b?0). 根据定理 5 可知,至少存在一点?(a,b)使得 F?(?)?0即f?(?)f(b?0)?f(a?0)?. g?(?)g(b?0)?g(a?0)3.2.4 微分中值定理的推广定理 103 设函数 f1(x),f2(x)?,fn(x)在?a,b?上连续, 在?a,b?内可导,且fi(a)?fi(b),i?1,2,?,n,则在?a,b?内至少存在一点?, 使得 ?fi(b)?fi(a)? ?1?fj?(?)?0. f(b)?f(a)i,j?1?j?j?n证明 根据题意,设F(x)?fi(b)?fi(a)?
26、1?fj(x) ?i,j?1?fj(b)?fj(a)?n显然 F(x)在?a,b?上连续, 在?a,b?内可导,并且 F(b)?F(a)?fi(b)?fi(a)? ?1?fj(b)?fj(a) f(b)?f(a)i,j?1?j?j?n?i,j?1?f(b)?f(a)fiinj(b)?fj(a)?0即 F(a)?F(b),所以由罗尔中值定理可知在?a,b?至少存在一点?使得 ?fi(b)?fi(a)? ?1?fj?(?)?F?(?)?0 f(b)?f(a)i,j?1?j?j?n证毕.12微分中值定理的推广及应用当上述式子中 n?2 时,可得到柯西中值定理; 当上述式子中 n?2,f2(x)?x时
27、,可得到拉格朗日中值定理.3.3 微分中值定理的弱逆定理在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立.定理 11 (拉格朗日中值定理的弱逆定理 ) 设 f(x)在a,b上连续,在?a,b?内可导,若 f?(x)在?a,b?严格单调 ,则对任意的?a,b?,存在 x1?x2 使得f(x2)?f(x1)?f?(?)?x2?x1?成立.证明 因为 f?(x)在?a,b?上严格单调,不妨设其严格单调递增 , 由定义 6可知,函数 f(x)在?a,b?上是向下凸的, 再由定义 5,任意的?a,b?, 有f(x)?f(?)?f?(?)(x?),x?(a,b),所以,切线 g1(x)?f(?)?f?(?)(
28、x?)在曲线 f(x)下方, 所以存在?的?(?0)邻域使得直线 g1(x)的平行线 g2(x)?t?f?(?)x 与 f(x)有两个交点, 假设交点为 A(x1,f(x1), B (x2,f(x2),x1,x2?(?,?).即有?g2(x1)?f(x1), ?g2(x2)?f(x2)得到f?(?)?f(x2)?f(x1), x2?x1结论得证.定理 12（柯西中值定理的弱逆定理）设 f(x),g(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,6且 f?(x)严格单调,g?(x)?0,则对于任意的?a,b?存在 x1?x2,使得 g?(x)f?(?)f(x2)?f(x1) ?g?(?)g(x2)
29、?g(x1)成立.证明 对任意的?a,b?,作辅助函数F(x)?f(x)?f?(?)g(x), ?g(?)显然, F(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可微,并且由 f?(x)严格单调, 可知F?(x)也严格单 g?(x)调.由定理 11 知,对任意的 ?a,b?,存在 x1?x2 使得13微分中值定理的推广及应用F(x2)?F(x1)?F?(?)?x2?x1?成立.而F?(?)?f?(?)?f?(?)g?(?)?0, ?g(?)所以有, F(x2)?F(x1)?0,整理得f?(?)f(x2)?f(x1). ?g?(?)g(x2)?g(x1)证毕.4 微分中值定理的应用微分学是整个数学分析
30、的重要组成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式, 讨论方程根的存在性等问题的重要工具.4.1 利用微分中值定理证明等式例 1 设函数 f(x)在?a,b?上连续, 在?a,b?内可导.证明存在?a,b?使得f(b)?f(a)?f?(?)lnb,0?a?b. a证明 利用柯西中值定理 令 g(x)?lnx,x?0,显然,g(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,且 g?(x)?1?0,所以, 存在?a,b? 使得 xf?(?)f(b)?f(a)f(b)?f(a)? , bg?(?)g(b)?g(a)lnabf(b)?f(a)?f
31、?(?)ln. a 所以证毕.例 2 设函数 f(x)在?a,a? 上连续,在?a,a?内可导,且 f(?a)?f(a)?0.证明对任 意常数 k,存在?a,a?,有 f?(?)?kf(?)?0.证明 利用罗尔定理,构造函数F(x)?f(x)ekx,由于 f(x)在?a,a? 上连续, 在?a,a?内可导,且 f(?a)?f(a)，所以,F(?a)?F(a)?0,14微分中值定理的推广及应用且 F(x)在?a,a?上连续,在?a,a? 内可导，所以, 存在?a,a? 使得F?(?)?0,即 f?(?)?kf(?)?0.例 3 设 f(x)满足:(1) 在?a,b?上连续;(2) 在 ?a,b?
32、内可导,证明存在?a,b?,使得f?(?)?f(?).证明 证法同例 2,令 k?1 即可证得.小结 如例 3,例 7 中用罗尔定理证明,需要构造出原函数 ,此类函数有固定的原型 F(x)?f(x)eg(x),利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.例 4 设 f(a)?f(b)?f(c)?3,f(3)?1,f(x)在?0,3? 上连续 ,在?0,3?内可导, a,b,c?0,3?.则有?0,3? 使得 f?(?)?0.证明 由于 f(a)?f(b)?f(c)?3,且 f(x)在?0,3? 上连续在?0,3?内可导，所以,必存在 k?0,3?使得 f(k)?f(3)?1,根据罗尔定理,存在?k
33、,3?0,3?使得f?(?)?0.例 5 证明恒等式 :arctanx?-arcsin证明 令12xf(x)?arctanx?arcsin, 21?x2122x?. 21?x2则 1f?(x)?1?x212?21?x2?4x24x22?1?x1?x?22?0,?x?1?,f(x)?f(1)，所以 f(x)?f(1)?所以,f(x)在?1,? 为常函数 .又有 lim?x?1?2,即12x?arctanx?-arcsin?21?x22成立.例 6 设 f(x)?0(0?x?1)且在?0,1?上连续,在?0,1?内可导. 则存在?(0,1)使得f?(?)f?(1?)?. f(?)f(1?)证明 变
34、换待证等式为15微分中值定理的推广及应用0?f?(?)f(1?)?f(?)f?(1?)d ?f(?)f(1?)?F?(?)dx其中 F(x)?f(x)f(1?x),显然 F(0)?f(0)f(1)?F(1),利用罗尔定理即可得f?(?)f?(1?)?. f(?)f(1?)例 7 设 f(1)?2?120xf(x)dx,f(x)在?0,1?内可导,则存在?0,1?,使得f?(?)?f(?)?.证明 变换待证等式为0?f?(?)?f(?)?F?(?),其中 F(x)?xf(x).由于120f(1)?2?xf(x)dx,所以120F(1)?f(1)?2?xf(x)dx?F(c),其中 c?0,1?,
35、于是, 在?c,1?上 F(x)满足罗尔定理 ,从而有结论f?(?)?f(?)?.若待证等式?(a,b,?)?0 明显可表示为?(?)?的形式,则?(?)很可能就是 f(b)?f(a)g(b)?g(a) f?(?),因而, 可以利用柯西定理证明. g?(?)例 8 设 0?a?b,f(x)在?a,b?连续可导,则存在?a,b?使得f(b)?f(a)?f?(?)lnb. a证明 令 g(x)?lnx 则 g?(x)?0,且 f(x),g(x)在?a,b? 上连续在?a,b?内可导, 根据柯西定理,存在?a,b?使得f?(?)f(b)?f(a)?, g?(?)lnb?lna即16微分中值定理的推广
36、及应用 f(b)?f(a)?f?(?)lnb. a4.2 利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为 M?f(b)?f(a)f(b)?f(a)?N(或 M?N) b?ag(b)?g(a)的形式,且 f(x)(或 f(x),g(x)满足拉格朗日或柯西定理的条件 ,再证明对一切的 x?a,b?有M?f?(x)?N(或 M?最后利用中值定理证明.例 9 证明对任何正数 a、b(a?b)有 f?(x)?N), g?(x)b?aab?a?ln?. bba证明 令 f(x)?lnx,x?a,b?.则 f(x)在?a,b?上连续 ,在?a,b?内可导,根据
37、拉格朗日中值定理,存在?a,b?使得 lnb?lna?由于?a,b?,所以 1?b?a?, 111?,即有 b?ab?aab?a?ln?. bba例 10 设 f(x)为非线性函数,且在?a,b?上连续,在?a,b?内可导,则存在?a,b?使得(b?a)f?(?)?f(b)?f(a).证明 变换待证不等式为0?(b?a)f?(?)?f(b)?f(a)? ?d?(b?a)f?(?)?f(b)?f(a)? d?F?(?),其中 F(x)?(b?a)f(x)?x?f(b)?f(a)?,若结论不成立,则 F?(x)?0(a?x?b),因而F(x)单调递减.但是F(a)?(b?a)f(a)?a?f(b)
38、?f(a)?F(b),故,必有 F(x)?F(a),从而与已知矛盾 ,所以结论成立.即17微分中值定理的推广及应用(b?a)f?(?)?f(b)?f(a)成立.例 11 设函数 f(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内可导 f(a)?f(b)?0?f?(a),则存在?a,b?,使得f?(?)?0.证明 若不存在?,则 f?(?)?0,从而 f?(x)单调递增，又由于 f?(x)满足罗尔定理,则存在 x0?a,b?使得 f?(x0)?0,又有 f?(a)?0,所以,f?(x)非单调递增.上下矛盾.因而,存在?a,b?使得 f?(?)?0.?例 12 设 x?0,对任意?0,1?. 证明 x?x
39、?1?.证明 当 x?1 时,结论显然成立.当 x?1 时,取?x,1?或?1,x?,在该区间上,设 f(x)?x?,g(x)?x,根据柯西定理,有f(x)?f(1)f?(?)?,?x,1?或?1,x?, g(x)?g(1)g?(?)即x?1?1;?x?当 x?1 时,?x,1?,?1?1，即x?1?1; ?x?又有?x?(x?1)?0,所以 x?x?1?.当 x?1 时,?1,x?,?1?1 ,?x?(x?1)?0,?所以,x?x?1?.由此,不等式得证.4.3 讨论方程根的存在性注意到在中值定理中有 f?(?)?0,令 f?(x)?g(x),这样就可以利用中值定理讨论方程 g(x)?0 的
40、根的存在性.例 13 设 a1,a2,?,an 为任意 n 个实数,证明函数f(x)?a1cosx?a2cos2x?ancosnx在(0,?) 必有零点 .证明 作辅助函数18微分中值定理的推广及应用 11F(x)?a1sinx?a2sin2x?ansinnx,x?0,?, 2n则 F?(x)?a1cosx?a2cos2x?ancosnx?f(x),容易验证 F(x)在?0,?上连续,在(0,?) 可导,且 F(?)?F(0)?0,所以存在?(0,?) 使得 F?(?)?0,即 f(?)?0.所以,f(x)在(0,?) 必存在零点 .例 14 设函数 f(x)在区间 K 上可导,则 f(x)的
41、两个零点间一定存在 f(x)?f?(x)的零点 .证明 (采用罗尔定理)任取 f(x)的两个零点 x1,x2.不妨设 x1?x2.作辅助函数F(x)?f(x)ex,则 F(x)在?x1,x2? 上连续 ,在 x1?x2 内可导,且 F(x1)?F(x2)?0,由罗尔定理,存在?(x1,x2), 使得 F?(?)?0,即f(?)e?f?(?)e?0,?而 e?0,故有 f(?)?f?(?)?0,即 f(x)的两个零点间一定存在 f(x)?f?(x)的零点. 例 15 证明: 若a0?aa1?n?0, 2n?1则多项式f(x)?a0x?a1x2?anxn?1在?0,1?内至少有一个实根.证明 令g
42、(x)?a0x?aa12x?nxn?1 2n?1则g?(x)?f(x),又有 g(x)在?0,1? 连续可导 ,且 g(0)?g(1)?0,满足罗尔定理的条件,故存在?0,1?使得g?(?)?0即 f(?)?0,结论得证.例 16 若函数 f(x)在?a,b?上非负,且三阶可导,方程 f(x)?0 在?a,b?内有两个不同的实根.证明存在?a,b?使得f?(?)?0.证明 因为方程 f(x)?0 在?a,b?内有两个不同的实根, 设其分别为x1,x2(x1?x2)所以19微分中值定理的推广及应用根据极值定义可以知道 x1,x2 为 f(x)的两个极值点,f(x1)?f(x2)?0, 又由于f(
43、x)非负，所以有 f?(x1)?f?(x2)?0 又因为 f(x)满足罗尔定理，所以存在 k1?a,b?使得 f?(k1)?0,又 f(x)三阶可导，所以 f?(x)满足罗尔定理,即存在 k2?x1,k1?,k3?k1,x2?使得f?(k2)?f?(k3)?0,同样 f?(x)满足罗尔定理 ,则存在?k2,k3?a,b?使得f?(?)?0.证毕.例 17 设 a?0,则方程a2x?x? 2arctana3在?0,a?内有解.证明 将待证问题转化为中值问题:存在?0,a?使得arctana1, ?a22?(1?2)即 ?arctana?arctan0?arctan?, ?2a2?0?根据柯西中值
44、定理直接得证,即方程a2x?x? 2arctana3在?0,a?内有解.例 18 若函数 f(x)在?a,b?可导,对 f?(a)与 f?(b)之间的任意数?,则在?a,b?内至少存在一点 c,使得 f?(c)?.证明 不妨设 f?(a)?f?(b).则 f?(a)?f?(b).作辅助函数 F(x)?f(x)?x,有 F?(x)?f?(x)?.显然, F?(a)?f?(a)?0 与F?(b)?f?(b)?0,即F?(a)?lim?x?aF(x)?F(a)?0 x?a与 F?(b)?lim?x?bF(x)?F(b)?0. x?b由极限保号性,存在 x1?a,b?,使得20微分中值定理的推广及应用
45、 F(x1)?F(a)?0, x1?a从而,F(x1)?F(a).存在 x2?a,b?,使得 F(x2)?F(a)?0, x2?a从而, F(x2)?F(b).于是,F(x)在?a,b?内至少存在一个极小值点 c.根据费马定理,有F?(c)?f?(c)?0,即 f?(c)?.结束语由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数 ,还可以利用其他的证明方法加以证明,同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系.除了本文介绍的几个方面,利用微分中值定理还可以导出洛必达法则,泰勒公式等.由导数研究函数的性态(极值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的结论.体应用. 深入研究微分中值定
46、理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具参考文献1 刘玉链等编. 数学分析讲义M 高等教育出版社 20032 张勇. 微分中值定理的认识及推广J.消费导刊 时空教育 . 2009(02) 1663 童蓓蕾;胡燕. 微分中值定理证法的改进J. 科技创新导报.2011(07) 1514 李阳; 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用J. 辽宁师专学报. 2011（01） 6-85 张晓彦; 刁光成. 微分中值定理的推广J. 科技天地. 2009(34) 31-326 朱美玉. 微分中值定理的进一步探讨J. 湖北广播电视大学学报. 2009(08) 158-1597 邢建平; 徐湘云. 微分中值定理的解题应用J.中小企业管理与科技(上旬刊). 2010(08) 1588 胡适耕，姚云飞编著.数学分析：定理问题方法M. 科学教育出版社 2007致谢在论文的写作过程中，我得到了很多热心人的帮助，特别是感谢宋老师以及给与我悉心的指导的朋友们，并引导我翻阅了大量的书籍，对论文进行了多次、细致的修改.论文导师细心谨慎的修改，使我的论文更加严密与完善.老师严谨的教学精神以及渊博的知识，都使我受益匪浅，在此谨向宋老师致以衷心的谢意！21
