1、第十八章 隐函数定理及其应用,隐函数定理及求导公式,第五节隐函数的求导公式,8-5,隐函数的 微分法,与一元函数的情形类似，多元函,也有隐函数。,如果在方程式,中，,时，,相应地总有满足,该方程的唯一的 z 值存在 , 则称该方,程在 内确定隐函数,每一个方程都能确定一个隐函数吗？,此外，隐函数不一定都能显化。,如果在方程式,中，,时，,相应地总有满足该,在 内确定隐函数,方程的唯一的 u 值存在 , 则称该方程,将概念推广到一般情形,一元函数的 隐函数的求导法,一、,设,确定隐函数,若,则对方程,两边关于 x 求导，得,从而得到一元隐函数求导公式,这是利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导
2、数的公式,设,求,解,令,则,故,例,二、由一个方程确定的隐函数的求导法,定理 2,(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,则方程,在,内唯一,确定一个函数,且,由隐函数存在定理的条件及一元隐函数求导方法, 利用多元函数求导方法，对方程 F(x, y, u) = 0 两边关于x , y 求偏导，得,由于,又,由连续函数性质,在其中,自己算一下，z 对 x , y 的偏导数是多少。,求方程,所确定的,函数,的偏导数。,解,令,则,故,例,设,确定,求,其中，,解,例,定理,(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,则方程,在,内唯,一确定一个函数,且,请同学们自己将上面的隐函数存在 定理推广至
3、一般的 n 元函数情形,三、由方程组确定的 隐函数的求导法,雅可比行列式,当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：,1.,2.,设方程组,确定函数,求,想一想，怎么做 ？,问题1,方程组中每个方程两边关于x 求导：,运用克莱满法则解此二元一次方程组,移项，得,当,时，,方程组有唯一解：,这样我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一)。,问题2,设方程组,确定函数,求,利用问题 1 的结论，你可能已经知道应该怎么做了。,依葫芦画瓢哦 ！,将 x 或 y 看成常数,自己动手做！,当,时，,将 y 看成常数,公式,当,时,将 x 看成常数,公式,设,确
4、定函数,求,解,令,则,例,同理可得,问题 1 和问题 2 的方法可以推广到更一般的情形。,定理 (隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,其中，,方程组,则,在,内唯一确定一组函数,且,一 问题的提出,定义,隐函数的显化,问题2:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,问题1:隐函数是否可导?,二 隐函数求导法,解,直接对方程两边求导,例2,解,三 对数求导法,1 对数求导法,2 适用范围:,先在 两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.,幂指函数求导：,例3,解,等式两边取对数得,例4,解,等式两边取对数得,四 由参数方程所确定的函数的导数,消参数法,消参困难或无法消参的求导可用复
5、合函数求导方法,1 由参数方程确定的函数的定义,2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法,例如,由复合函数及反函数的求导法则得,例5,解:先求运动的方向,再求速度的大小,例6,解,所求切线方程为,例7,解,五 相关变化率问题,相关变化率解决的问题:,已知其中一个变化率时求出另一个变化率,例7,解,例8,解,六 小结与思考判断题,隐函数求导方法: 直接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;,由其中一个变化率时求出另一个变化率,思考题,一、一个方程的情形,隐函数
6、的求导公式,解,令,则,均连续。,函数的一阶和二阶导数为,解,令,则,解,令,则,解1：,于是，,思路2：,解2：,令,则,整理得,整理得,整理得,第十八章 隐函数定理及其应用,隐函数定理及求导公式,二、方程组的情形,下面推导公式：,即，,等式两边对 x 求导，,现,这是关于,的,二元线性方程组。,方程组有唯一解。,类似，对,等式两边对 y 求导，,得关于,的线性方程组。,解方程组得,特别地，方程组,例5 设,解 1：,令,则,解 2：,方程两端对 x 求导。,注意：,即,得,即,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法。,将所给方程的两边对 x 求导并移项:,将所给方程的两边对 y 求
7、导，用同样方法得,隐函数的求导法则,三、小结,（分下列几种情况）,常用解法：,公式法 方程两边求导法,作业：151页 1 ,2,3(1 6)，4，5.,第六节 微分法在几何上的应用,第六节 微分法在几何上的应用,一 问题的提出,二 空间曲线的切线与法平面,(Applications of differential calculus in geometry),一 问题的提出,我们可以利用偏导数来确定空间曲线的 切向量和空间曲面的法向量,推导过程,二 空间曲线的切线与法平面,1 空间曲线,切向量：,切线方程：,法平面方程：,(Tangent and normal plane of space cu
8、rve),解：,在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1,切线方程：,例1 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。,2,切线方程：,法平面方程：,切线方程：,法平面方程：,例2、求曲线 在点（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。,法平面方程： x - z = 0,切线方程：,1 设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,三 曲面的切平面与法线,(Tangent plane and normal line of surface),令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,2 空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,1 空间曲线的切线与法平面,2 曲面的切平面与法线,四 小结,五 思考判断题,
