概率论基本公式.docx-道客多多

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1、概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、 ABA BAAB; ABA( BA)例：证明：（A B) B A AB A BAB.证明：由（AB)，知不发生，发生，则不发生，从而BBAAB（AB)BA成立，也即A B成立，也即A成立。得证。ABB2、对偶率： ABA B；ABAB.3、概率性率：(1) 有限可加： A1、 A2为不相容事件，则 P( A1A2 )P( A1 )P( A2 )P( AB)P(A)P( AB), 特别， BA时有：(2)B)P(A)P(B); P( A)P( B)P( A（3）对任意两个事件有：P( AB)P( A)P( B)P( AB)例：已知：P(

2、 A)，求：B); P( AB )0.5 P( A B)0.2 P(B) 0.4.(1) P( AB ); P(A B); P( A解：ABA BB,且、是不相容事件，P( AB)P( A B)P( B)B A B即 P( AB)0.2., 又P( A)0.5,P( A B)P( A)P( AB)0.3P( AB)P( A)P(B)P(AB)0.7, P( AB)P AB 1P( A B)0.3.4、古典概型例：双鞋总共只，分为堆，每堆为只，事件每堆自成一双鞋的概率n2nn2A解：分堆法： C22n(2n)!,自成一双为： n！，则 P( A)n!（！22n - 2) 2C2n5、条

4、么是从第一个罐中取出的概率为多少？解：设Bi 球取自号罐，i。A 取得是红球，由题知、B3是一个完备事件(1)i1,2,3B1B2由全概率公式 P( B)P( Ai)P( B | Ai)，依题意，有： P( A | B1 )2 ; P( A | B2 )3 ; P( A | B3 )1 .i342P( B1 )P(B2 )P(B3 )1 ， P( A) 0.639.3( 2)由贝叶斯公式： P(B1 | A)P( A | B1 )P(B1 )P( A)0.348.6、独立事件（ 1） P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。(2) 伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件

5、A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, P( A)1pq (0p1,p+q=1)相同条件独立重复n 次，称之为 n 重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理： b(k;n, p) Cnk pk (1p)n k（ k=0,1,2 ）事件 A 首次发生概率为：p(1p)k 1例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1）进行5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（ 2）进行了 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：（）设B“ 次独立试验发出指示信号”，则由题意有：15P( B)5C5k p k (1

6、p) 5 k，代入数据得： P( B)0.163i 3( 2)设C“ 次独立试验发出指示信号”，则由题意有：77C7k pk (1p) 7 k2C7k p k (1 p) n k ，代入数据，得： P(C) 0.353P(C )1i 3i 0第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量X 只有两个可能的取值，且其分布为：P Xx1p; P Xx2 1 p（ 0p0）都是常数。分布1(t)2x2函数为： F(x)e 2dt,21x2布，概率密度函数为：（x)e 22x.。当0,1时，称为标准正态分1t2(x)x, 分布函数为：2e 2 dt.定理：设 X N ( , 2 ), 则YX

7、 N (0,1)其期望 E(X)= ,D(X)=2。9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X 的所有可能取值确定因变量 Y的所有可能值，然后通过 Y 的每一个可能的取值y i (i=1,2, )来确定 Y 的概率分布。（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知 X 的分布函数 FX ( x) 或者概率密度f X ( x) ，则随机变量 Y=g(X) 的分布函数 FY ( y) PY y P g( X ) yP XC Y , 其中Cy x | g( x) y ， FY ( y)P X CY f X (x)dx ，进而可通过Y 的分C y布函数 F

8、Y ( y) ，求出 Y 的密度函数。例：设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x)1 | x |, 1 x 1，求随机变量0,其他YX 21的分布函数和密度函数。4解：设 FY ( y)和 fY ( y)分别是随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则由1x 1得：1 y2, 那么当 y1时 FY ( y)P YyP X 21yP() 0,当1 y2时，得：Y ( y)P YyP X 21yPy1xy 1y(1 | x |)dx0(1 x) dx1y 1y 1y 1P X 210(1x) dx2y 1( y 1),当 y2时， FY ( y)PYy1y0dx-

9、10, y1| x |)dx0dx1, 所以， FY ( y)2y 1( y1),1y 2,(1111, y211,1y2f X ( x)FY ( y)y 10, 其他10 、设随机变量XN(,2 ),Y=aXb也服从正态分布 .即Y aX b N (ab, (a ) 2 ) 。11、联合概率分布 (1) 离散型联合分布：Pij1ijXYy1 y jPX=xix1p 11p1 jP1 jjxiPi1PijPijjPY=y j Pi11Pijii(2) 连续型随机变量函数的分布：X， Y）的密度函数1( xy),0x2,0y 2例：设随机变量（f ( x, y)80,其他求

10、 f (x), f ( y), E( X ), E(Y ),cov( X ,Y) ，XY ， D(X+Y).0 x 2 时由 f Xxy） dy ，得： f X ( x） 1/8x 21/ 4x ，当 x2 时，由 f X ( x)2f X( x)1/8x 2 1 / 4 x , 0x20, 其他5同理可求得 : f Y ( y )1/8y 21 / 4 y , 0y20，其他；27/6 ,由对称性同理可求得， E(X)=xf X ( x） dxE(Y)=7/6 。02222y)dxdy4/3.因为 E(XY)=xy f ( x, y)dxdy1/8xy(x0000所以， cov（ X,Y ）

11、 = E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)2 =-1/36 。 D ( X )E( X 2 ) E( X ) 22x2f ( x， y)dxdy( 7) 211200636同理得 D(Y)= 11 , 所以，XY =cov( X , Y)136D( X )D (Y)11D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=59F ( x | A)P Xx | AP Xx, A , 称 F (x | A)为在 A发生条件下，12、条件分布：若P AX的条件分布函数13、随机变量的独立性：由条件分布设A=Y y, 且 PY y0, 则：F ( x |YP X x,Y yF ( x,

12、 y)，设随机变量（X,Y ）的联合分布概率为F（ x,y ），yPYyFY ( y)边缘分布概率为FX ( x)、 FY ( y) ，若对于任意x、 y 有：P X x,Y yP X x P Yy ，即： F (x, y) F X ( x)FY ( y) ，则称 X 和 Y 独立。14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（ X,Y ）的概率密度为 f ( x, y) ,边缘概率密度函数为f X ( x)、 f Y ( y) ，则对于一切使 f X ( x) 0 的 x,定义在 X=x 的条件下 Y的条件密度函数为：f Y|X ( y | x)f (x, y)Y=y 条件下

13、X 的条件概率密，同理得到定义在f X (x)f (x, y)度函数为：f X |Y ( x | y) ，若 f ( x, y) = f X (x) fY ( y) 几乎处处成立，则称 X,Y 相互 fY ( y)独立。例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：ce (2 x y ), x 0, y 0f ( x, y)，求（ 1）确定常数 c；（2） X,Y 的边缘概率密0, 其它6度函数；（ 3）联合分布函数F(x,y);(4)PY X;(5) 条件概率密度函数 f X|Y ( x| y ) ；（6） PX2|Y0 ，D(Y)0 ，则当且仅当存在常数a， b（ a 0 ），使：P Ya

14、Xb 1时，| XY | 1，而且 a0时， XY1; 当 a0时， XY1.附注：XY 0时，只能说明 Y与 X之间不是线性关系，但可能有其他函数关系，从而不能推注 Y与 X独立。设 e=EY-( aXb) 2,称为用 aX b 来近似 Y 的均方差，则：设D(X)0 ， D(Y)0, 有：a0cov( X ,Y ) ,b0E(Y) a0 E (X ), 使均方误差达到最小。D ( X )18、切比雪夫不等式：设随机变量 X 的期望 E(X)= ,方差 D(X)=2,则对于给定任意正数，22有： P| X|2 ，或者为： P| X| 12 .819、大数定理：设随机变量X 1 ,X 2 , X n 相互独立，且具有相同的期望和方差：E( X i ), D ( X i )2 ，记 n1 ni ，则对于任意0, 有：， i=1,2,3XYn i 1lim P

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