1、复习：单纯形法,5 单纯形法的进一步讨论: 人工变量法,人工变量法（确定初始可行基）：,原约束方程：AX=b,加入人工变量：xn+1，xn+m,人工变量是虚拟变量，加入原方程中是作为临时基变量，经过基变换，将人工变量均能换成非基变量，所得解是最优解；若在最终表中检验数小于零，而且基变量中还有某个非零的人工变量，原问题无可行解。,1、大M法 方法：在约束条件中，加入人工变量后，要求目标函数不受影响？目标函数中人工变量的系数取（-M）。,理由：目标函数实现最大化，就必须将人工变量从基变量中换出，否则目标函数就不可能取得最大化。,例1：用大M法求解如下线性规划问题,cj,最优解是,目标函数为-2。,
2、例4： max z=4x1+3x2 -3x1+2x26 s.t. -x1+3x23x1, x2 0,无可行解,2、两阶段法 第一阶段： 建立一个辅助线性规划并求解，以此判断原线性规划是否存在可行解。 辅助线性规划问题：目标函数取成所有的人工变量之和，并对目标函数取极小化，约束条件依然为原问题的以单位矩阵作为可行基的标准型的约束条件。所有人工变量都变成非基变量，目标函数值为0，原问题存在基可行解。转到第二阶段。若目标函数值不为0，至少有一个人工变量不能从基变量中转出，原问题没有可行解。停止。第二阶段： 从第一阶段最优表格中去掉人工变量，将目标函数系数换成原问题的目标函数系数，用单纯形法计算，直到
3、得到最优解为止。,例2：同上,第一阶段：求解辅助规划问题,cj,x6，x7是人工变量，第一阶段求解的最优结果是=0，因此得最优解为：,第二阶段：取消人工变量，添入原问题目标函数的系数，求解相应的线性规划。,最优解为：,最优值为：z= -2,两阶段法：辅助规划； 去掉人工变量，单纯形法。,对目标函数求max的线性规划问题, 用单纯形法计算步骤的框图,用大M法和两阶段法求解以下问题,第二章 对偶理论与灵敏度分析,1 单纯形法的矩阵描述线性规划 max z=CX max z=CX+OXs (1) AXb AX+IXs =b X0 X0, Xs0 其中 I 是mm 单位矩阵，松弛变量Xs=( xn+1
4、, xn+2,xn+m)T . 设B是一个可行基矩阵，N表示非基变量的系数矩阵 (A，I)(B，N)对应决策变量,约束条件,对应目标函数的价值向量,原线性规划可改写为,单纯形表的几个特征: 1、检验数: 非基变量的检验数(等于对应的目标系数)cj zj=( CNCBB-1N)j基变量的检验系数为零，即 cj zj= CBCBB-1 B=0,进一步，非基底变量可分解XN （XN1，Xs），其中 XN1 表示除去松弛变量以后的非基变量；Xs是松弛变量，其目标系数为零。,Xs的检验数cj zj=( 0CBB-1)j= CBB-1 所有的检验数可用CCBB-1A与CBB-1表示,(B-1b)i是向量(
5、B-1b)中的第i个元素，(B-1Pj)i是向量(B-1Pj)中的第i个元素，j=1,2,n,2、规则的表达形式,3、单纯形表的矩阵表达形式,1）对应初始单纯形表中的单位矩阵I，迭代后的单纯形表中为B-1； 2）初始单纯形表中基变量Xs=b，迭代后的表中变为XB=B-1b； 3）初始单纯形表中的系数矩阵A，I=B，N1，I，迭代后的表中约束系数矩阵为：B-1A，B-1I=B-1B，B-1N1，B-1I=I， B-1N1， B-1； 4）初始单纯形表中变量xj的系数向量为Pj，迭代后为Pj，则有Pj=B-1 Pj；,2 改进的单纯形算法,主要是计算 的差别,用改进的单纯形法求解下面的线性规划问题,
