1、考查角度 3 解三角形及其应用分类透析一 利用正、余弦定理解三角形例 1 (1) ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= . 45 513(2)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若a=1,c=2 ,B=30,则 sin C= . 3解析 (1)因为 cos A= ,cos C= ,且 A,C 为三角形的内角 ,所以45 513sin A= ,sin C= .35 1213所以 sin B=sin -(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= .6365又因为 = ,所以
2、 b= = . 2113(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+12-4 =7,即 b=332.7由正弦定理,得 sin C= = = . 23127 217答案 (1) (2)2113 217方法技巧 (1)利用正弦定理可以解决两类三角形问题: 已知两角和任一边,求其他边和角,这种情况有唯一解; 已知两边和其中一边所对的角,求其他边和角,这种情况可能有一解,可能有两解,可能无解,要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断 .(2)利用余弦定理可以解决三类三角形问题: 已知两边及其夹角,求其他边和角,这种情况有唯一解; 已知三边,求三角,这种情况有唯一解; 已知两边和其中
3、一边所对的角,求其他边和角,这种情况可能有一解,可能有两解,可能无解,要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断 .分类透析二 正、余弦定理的综合应用例 2 (1)在 ABC 中, B=60,AC= ,则 AB+2BC 的最大值为 3. (2)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,cos C= ,且19acos B+bcos A=2,则 ABC 面积的最大值为 . 解析 (1)依题意知 A+C=120,C= 120-A(0A120).由正弦定理可得 = = =2,AB= 2sin(120-A), (120-) 360BC=2sin A,AB+ 2BC=2sin(120-A
4、)+4sin A=5sin A+ cos 3A=2 sin(A+ )2 ,其中 tan = ,7 735当 A+= 90时“ =”成立,故所求最大值是 2 .7(2)由题设及余弦定理,可得a +b =2,故 c=2,2+2-22 2+2-22又由余弦定理可得 22=a2+b2-2ab ,即 a2+b2= ab+4.19 29a 2+b22 ab, ab+42 ab,ab ,当且仅当 a=b 时取等号 .29 94由 cos C= ,可得 sin C= = ,19 1-(19)2459S ABC= absin C= ab= ab = .12 12 459 259 259 94 52答案 (1)2
5、 (2)752方法技巧 (1)三角函数中的最值问题常常转化为三角函数问题,再结合辅助角公式或均值不等式求解;(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 .分类透析三 解三角形的实际应用例 3 (1)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( ).A.240( -1) m3B.180( -1) m2C.120( -1) m3D.30( +1) m3(2)(2018 唐山模拟)一艘海监船在某海域实施巡航监视,由 A 岛向正北方向行驶 80 海里至 M 处,然后沿东偏南 30方向行驶 5
6、0 海里至 N 处,再沿南偏东 30方向行驶 30 海里至 B 岛,则 A,B 两岛3之间的距离是 海里 . 解析 (1)由题图知 AB= = m, ACB=30,6075 2406+2 BAC=45.在 ABC 中,由正弦定理得 = ,可得30 45BC=120( -1) m.故选 C.3(2)连接 AN,则在 AMN 中,由余弦定理可得 cos 60=,解得 AN=70 海里 .502+802-225080由余弦定理可得 cos ANM= = ,所以 sin ANM=502+702-80225070 17.437在 ANB 中,由余弦定理可得 cos ANB= .(303)2+702-22
7、30370又 cos ANB=cos(150- ANM)=cos 150cos ANM+sin 150sin ANM= ,3314所以 = ,解得 AB=70 海里 .3314(303)2+702-2230370答案 (1)C (2)70方法技巧 利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解 .1.(
8、2018 年全国 卷,理 6 改编)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c=4 ,B=45,则 sin 2C= . 2解析 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 =25,即222b=5. cos C= = =- ,sin C= .2+2-22 1+25-32215 35 45 sin 2C=2sin Ccos C=2 =- .45 (-35) 2425答案 -24252.(2018 年全国 卷,理 9 改编)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 ABC 的面积为 3 ,b-c=2,cos A=- ,则
9、 a 的值为 .1514解析 因为 S ABC= bcsin A=3 ,sin A= = ,所12 15 1-2 154以 bc=24.又 b-c=2,所以 a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bccos A=64,所以 a=8.答案 83.(2018 年全国 卷,文 16 改编)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin(A-B)+2cos Asin B=-2sin 2C,16a2+16b2-13c2=0.若 ABC 的面积为 ,则 a+b-c 的值为( ).3154A.1 B.2 C.3 D.4解析 因为 sin(A-B)+2cos As
10、in B=-2sin 2C,且 sin(A-B)+2cos Asin B=sin Acos B-cos Asin B+2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin(180-C)=sin C,所以 sin C=-2sin 2C=-4sin Ccos C.因为 sin C0,所以 cos C=- ,sin C= .由余弦定14 154理可知 =- ,即 16a2+16b2-16c2+8ab=0.又 16a2+16b2-2+2-22 1413c2=0,所以 c2= ab.由已知得 S ABC= absin C= ab= ,解得83 12 158 315
11、4ab=6,所以 c=4.即有 所以( a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25,2+2=13,=6, 解得 a+b=5,所以 a+b-c=1.答案 A4.(2018 年江苏卷,13 改编)若 ABC 的内角 A,B,C 满足 sin A+ sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 . 2解析 由 sin A+ sin B=2sin C 可得 a+ b=2c,2 2c= ,+22 cos C= =2+2-22 2+2-(+22 )22= = + -342+122- 222 38 14 242 - = .384 24 6- 24答案 6- 245.(2018 年北京卷,文 1
12、4 改编)在 ABC 中,已知 a2+b2-c2=4S(S 为ABC 的面积),若 c= ,则 a- b 的取值范围是( ).222A.(0, ) B.(-1,0)2C.(-1, ) D.(- , )2 2 2解析 a 2+b2-c2=4S,a 2+b2-c2=4 absin C =2absin C,12=sin C, cos C=sin C,C= .2+2-22 4 = = = =2,a= 2sin A,b=2sin B. 222a- b=2sin A- 2sin B =2sin A- sin B=2sin A-22 22 2sin =sin A-cos A= sin .2 (34 -) 2
13、 (-4)又 0A ,- A- , 34 4 42- 1 sin ,- 1a- b ,故选 C.2 (-4) 2 22 2答案 C1.(2018 年沈阳模拟)如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m, ACB=45, CAB=105,则 A,B 两点的距离为( ).A.50 m2B.50 m3C.25 m2D. m2522解析 由正弦定理得 AB= = =50 (m).502212 2答案 A2.(2018 天津河东区模拟)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,b=5,B= ,tan A=2,则 a 的值是( ).
14、4A.10 B.2 C. D.2 10 10 2解析 在 ABC 中, tan A= =2,sin2A+cos2A=1, sin A=.255由正弦定理可得 = ,解得 a=2 .故选 B.255522 10答案 B3.(2017 年北京昌平模拟)在 ABC 中,已知 AB=3,AC=5,A=120,则=( ).A. B. C. D.57 75 35 53解析 AB= 3,AC=5,A=120,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=49,BC= 7.由正弦定理,得 = = ,故选 B.75答案 B4.(2018 广东茂名二模)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是
15、 a,b,c,若2bcos C+c=2a,且 b= ,c=3,则 a=( ).13A.1 B. C.2 D.46 2解析 2bcos C+c=2a, 由正弦定理可得2sin Bcos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin Bcos C+2cos Bsin C, sin C=2cos Bsin C. sin C0, cos B= .又 0B, B= .12 3b= ,c=3, 由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B,解得 a=4.13答案 D5.(2018 成都模拟)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且B=2C,2bcos C-2cco
16、s B=a,则角 A 的大小为( ).A. B. C. D.2 3 4 6解析 由正弦定理得 2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, sin Bcos C=3sin Ccos B, sin 2Ccos C=3sin Ccos 2C, 2cos2C=3(cos2C-sin2C),解得 tan2C= .13B= 2C,C 为锐角, tan C= ,C= ,B= ,A= .故选 A.33 6 3 2答案 A6.(2018 年佛山调研)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a,b,c 成等差数
17、列,则角 B 的取值范围是( ).A. B.3,2) (0,3C. D.(6,2) 3,)解析 因为 2b=a+c,所以 cos B= = -1.由2+2-22 38 (+)2基本不等式 ,得 cos B 4-1= ,所以角 B 的取值范围+2 38 12是 ,故选 B.(0,3答案 B7.(2018 届江西赣州期末)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足 2acos A=bcos C+ccos B,且 b+c=4,则 a 的最小值为( ).A.2 B.2 C.3 D.22 3解析 由正弦定理得 2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin
18、 A,故 cos A= .12由余弦定理得 cos A= = = ,2+2-22 (+)2-2-22 12即 a2=16-3bc16 -3 =4,(+2 )2所以 a 的最小值为 2.故选 A.答案 A8.(2018 届邢台二中月考)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c,若 sin = ,且 a+c=2,则 ABC 周长的取值范围是( ).(32+4) 22A.(2,3 B.3,4) C.(4,5 D.5,6)解析 由 0B 得 B+ ,432 474 sin B+ = ,32 4 22 B+ = ,解得 B= .32 434 3又 a+c= 2, 由余弦定理可得 b2=a
19、2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac=4-3ac.a+c= 2,a+c2 ,当且仅当 a=c 时取等号 , 0ac1, -3 -3ac0,则 1 b24,即 1 b2. ABC 的周长 L=a+b+c=b+23,4) .故选 B.答案 B9.(2018 届河南濮阳一模)在 ABC 中,sin A,sin B,sin C 成等比数列,则 的取值范围是( ).2+A. B.(-, 22 (0,22C.(-1, D.2 (0,3- 32 解析 由已知可得 sin2B=sin Asin C,即 b2=ac, cos B= = = ,2+2-22 2+2-2 2-2 12 0B ,si
20、n B+cos B= sin (1, .3 2 (+4) 2原式 = = ,2+(+)2-1+设 t=sin B+cos B,则原式 = =t- (1t ).2-1 1 2 函数 y=t- 是增函数,当 t=1 时, y=0,当 t= 时, y= , 原式1 2 22的取值范围是 ,故选 B.(0,22答案 B10.(2018 届南昌一模)已知台风中心位于城市 A 东偏北 ( 为锐角)度的 150 公里处,以 v 公里 /小时沿正西方向快速移动,2 .5 小时后到达距城市 A 西偏北 ( 为锐角)度的 200 公里处,若 cos = cos ,则 v=( ).34A.60 B.80 C.100
21、 D.125解析 画出图象如图所示,由余弦定理得(2 .5v)2=2002+1502+2200150cos(+ ), 由正弦定理得 = ,sin = sin .150200 43因为 cos = cos ,所以由 sin2+ cos2= 1,解得 sin = ,34 35故 cos = ,sin = ,cos = ,故 cos(+ )= - =0,代入 45 45 35 12251225解得 v=100.故选 C.答案 C11.(2018 上海普陀二模)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若( b2+c2-a2)tan A=bc,则角 A 的大小为 . 解析 由
22、( b2+c2-a2)tan A=bc 两边同除以 2bc,得 tan A= ,由余弦定理可得 cos Atan A= , sin 2+2-22 12 12A= .A 是锐角, A= .12 6答案 612.(2018 届河南许昌调研)如图,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40,则灯塔 A 与 B 的距离为 km. 解析 由题图可知, ACB=120,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB=a2+a2-2aa=3a2,(-12)解得 AB= a(km).3答案
23、a313.(2018 届济南期末)已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若cos B= ,b=4,sin C=2sin A,则 ABC 的面积为 . 14解析 sin C=2sin A, 由正弦定理可得 c=2a.由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B, 42=a2+c2- ac,与 c=2a 联立解得12a=2,c=4. cos B= ,B(0,), sin B= = , ABC14 1-2 154的面积 S= acsin B= 24 = .12 12 154 15答案 1514.(2018 年衡水金卷五)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域
24、类”里有一个题目:“问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里 .里法三百步 .欲知为田几何 .”这道题讲的是有一个三角形沙田,三边分别为 13 里,14里,15 里,假设 1 里按 500 米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为 米 . 解析 由题意画出图象(如图),且 AB=13 里 =6500 米, BC=14 里=7000 米, AC=15 里 =7500 米 .在 ABC 中,由余弦定理得 cos B= =2+2-22= .132+142-15221314 513因为 B 为锐角,所以 sin B= = .1-21213设 ABC 外接圆的半径为 R,则由正弦定理
25、有 =2R,所以 R= = =4062.5 米 .2750021213答案 4062.515.(2018 河北衡水二调)已知锐角 ABC 的外接圆的半径为 1,B= ,6则 的取值范围为 . 解析 如图,设 | |=c,| |=a, ABC 的外接圆的半径为 1,B= , 由正弦定理得 = =2,a= 2sin A,c=2sin C,C= -A.6 56由 得 A .02,056 -2, 3 2 =cacos =4 sin Asin C6 32=2 sin Asin -A356=2 sin A cos A+ sin A312 32= sin Acos A+3sin2A= sin 2A+332 3(1-2)2= sin 2A- cos 2A+ = sin + .32 32 32 3 (2-3)32 A ,3 2 2A- , sin 2A- 1,3 323 32 3 3 sin + + .3 (2-3)32 332 的取值范围为 . (3,3+32答案 (3,3+32
