1、名校名 推荐第 2 讲排列与组合一、填空题1(2016 四川卷改编 )用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 _(用数字作答 )解析由题意，可知个位可以从1,3,5 中任选一个，有A 13种方法，其他数位4上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有 A 4种方法，所以奇数的个数为 A 13A 44343 2 1 72.答案722(2017 南京质检 )某外商计划在4 个候选城市中投资3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2 个，则该外商不同的投资方案有_种(用数字作答 )解析 法一 (直接法 )若 3 个不同的项目投资到4 个城市中的 3 个
2、，每个城市一项，共 A 43种方法；若 3 个不同的项目投资到4 个城市中的 2 个，一个城22322市一项、一个城市两项共 C34种方法由分类加法计数原理知共 A 4 C3A4A60(种)方法法二 (间接法 )先任意安排 3个项目，每个项目各有 4 种安排方法，共4364 种排法，其中 3 个项目落入同一城市的排法不符合要求共4 种，所以总投资方案共 434644 60(种)答案 603(2017 南昌一模 )甲、乙两人从4 门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 _种(用数字作答 )解析甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法可以分为两类：当甲、乙所选的课
3、程中2 门均不相同时，甲先从4 门中任选 2 门，乙选取剩下的2门，有 C42C226 种方法；当甲、乙所选的课程中有且只有1 门相同时，分为2 步：从 4 门中选 1 门作为相同的课程， 有 C14 4 种选法， 甲从剩余的 3门中任选 1 门，乙从最后剩余的 2 门中任选 1 门有 C13C126 种选法，由分步乘法计数原理此时共有 C14C13C1224 种方法综上，共有 6 2430 种方法答案304某台小型晚会由6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两1名校名 推荐位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 _种 (用数字作答 )
4、解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4 个节目无限制条件，有 A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3 个节目中选 1个节目排在第一位有31种排法，其他 3 个节目有 A 33种排法，C故有 C13A33种排法依分类加法计数原理， 知共有 A 44 C13A 33 42 种编排方案答案4257 位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有 _种排法 (用数字作答 )解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3 个位置，由于顺序一定，共有 C63种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C3620(种)答案206(2
5、017 南通测试 )从 5 台甲型和 4 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有 _种(用数字作答 )解析甲型 2 台乙型 1 台或甲型 1 台乙型 2 台，故共有 C25C14C15C2470 种方法答案707(2017 南京师大附中检测 )某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声 类节目 的 演出顺序，则 同类 节目 不相邻 的排法种 数为_(用数字作答 )解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种： “小品 1，小品 2，相声 ”，“小品 1，相声，小品 2” 和“
6、 相声，小品 1，小品 2” 对于第一种情况，形式为 “ 小212品 1 歌舞 1 小品中 2相声 ” ，有 A 2C3A3 36(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况， 三个节目形成 4 个人，其形式23为 “ 小品 1相声 小品 2”有 A 2A 448 种安排方法，故共有3636 48120 种安排方法法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有333223A4 144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A 322 24(种 )，于AAA2名校名 推荐是符合题意的排法共有14424 120(种)答案1208(2017 青岛模拟 )将甲
7、、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有_种 (用数字作答 )123解析一个路口有 3 人的分配方法有C3C2A 3(种) ；两个路口各有2 人的分配方法有 C23C22A 33(种)由分类加法计数原理，甲、 乙在同一路口的分配方案为C31C22A 33C23C22A 3336(种)答案36二、解答题9现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同的取法有多少种？解分两类：第一类，含有1 张红色卡片，共有不同的取法C41C122264(种 )
8、；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312 3C3422012 208(种)由分类加法计数原理知不同的取法有264208472(种)107 名师生站成一排照相留念，其中老师1 人，男生 4 人，女生 2 人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；(2)4 名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端解 (1)两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，则共有 6 个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有 A 66A 22 1 440 种站法(2)4 名男生互不相邻，应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有 A 33A 44 144 种站法
9、6(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A 6 720 种站法，当老师不站在左端时，老师有5 种站法，女生甲有5 种站法，余下的5 个人在五5个位置进行排列共有A 5553 000 种站法根据分类计数原理知共有720 3 0003 720 种站法3名校名 推荐11(2017 镇江调研 )三对夫妻站成一排照相， 则仅有一对夫妻相邻的站法总数为_解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有 2 种排法，故有 C13A 226 种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有 2 种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复
10、合元素B，有 C12A 22C128 种排法；第三步，将复合元素A， B 和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A 336种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有 686288 种答案28812(2017 黄冈模拟 )在某班进行的演进比赛中， 共有 5 位选手参加， 其中 3 位女生， 2 位男生，如果 2 位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_(用数字作答 )解析若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有 C12C13A 3336 种；若第一个出场的是女生(不是女生甲 )，则剩余的 2 个122
11、女生排列好， 2 个男生插空，方法有C2A 2A324 种故所有出场顺序的排法种数为 3624 60.答案6013(1)现有 10 个保送上大学的名额，分配给7 所学校，每校至少有1 个名额，问名额分配的方法共有多少种？(2)已知集合A 5 ， B1,2 ，C1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解(1)法一每个学校至少一个名额，则分去7 个，剩余 3 个名额分到 7 所学校的方法种数就是要求的分配方法种数分类：若 3 个名额分到一所学校有7 种方法；若分配到 2 所学校有 C27242(种)；3若分配到 3 所学校有 C735(种
12、)共有 74235 84(种 )方法 .法二 10 个元素之间有 9 个间隔，要求分成 7 份，相当于用 6 块档板插在 9 个间隔中，共有 C6984 种不同方法4名校名 推荐所以名 分配的方法共有84 种(2)从集合 B 中取元素 2 ，确定 C31A 33个点当从集合 B 中取元素1，且从 C 中取元素 1， 确定的不同点有C31 11C3 .当从 B 中取元素 1，且从 C 中取出元素 3 或 4， 确定的不同点有C12A 33个由分 加法 数原理，共确定C13A 33C13 C12A 33 33(个 )不同点14(2017 州 研 ) 集合 M 1,0,1 ，集合 An( x1， x
13、2，x3， xn)|xiM，i1,2，n ，集合 An 中 足条件“ 1|x1 |x2| |xn|m”的元素个数 Snm.(1)求 S22和 S42的 ；当nn 1m 1n 1(2)m22.mn ，求 ： S 3(1)解S228，S2432.(2) 明 集合 P0 ，Q 1,1 若 |x1|x2| |xn| 1，即 x1， x2，x3， xn 中有 (n1)个取自集合 P,1 个取自集合 Q，故共有 Cnn121 种可能，即 C1n21，同理， |x1|x2| |xn|2，即 x1，x2，x3，xn 中有 (n2)个取自集合 P,2个取自集合 Q，故共有 Cnn222 种可能，即 C2n22，若 |x1|x2| |xn| m，即 x1，x2，x3， xn 中有 (nm)个取自集合 P， m 个取自集合 Q，故共有 Cnn m2m 种可能，即 Cmn2m，所以 SnmC1n21 C2n22 Cmn2m，kk因 当 0kn ， Cn 1，故 Cn1 0，所以 SmnCn11 Cn2 2 Cnm m2220 01 12 2m mm1m 1nnn (CnCn Cn2 )(Cn1)2 (Cn 1)2C 2220 01 12 2m mm 1 m 1n nm 1m2 (Cn CnCn2 Cn2Cn2 Cn(22222 )2n) (12)n (2n 1 2m 1)3n2n1 2m 1.5
