1、第八章 数论算法及计算几何算法,8.5 凸包问题,1、问题提出给定一个点集SP0,P1,Pn-1，它的凸包是一个最小的凸多边形P，且满足S中的每个点或者在P的边界上或者在P的内部。 如果点集S是两个点的集合，显然它的凸包是连接这两个点的线段；如果S是由三个不共线的点组成的集合，那么凸包是以这三个点为顶点的三角形；如果三点共线，则凸包是以距离最远的两个点为端点的线段。对于更大的集合，在直观上，可以把S中的每个点看作订在地上的木桩，那么凸包就是将所有木桩围起来的一个拉紧的橡皮绳的形状，如图8-1所示。,解决方法： 1、穷举搜索法 2、分治法,1、算法思想 ： 根据凸多边形的定义，对于一个由n个点组
2、成的集合S中的任意两个点Pi和Pj，当且仅当该集合中的其它点要么位于穿过Pi和Pj直线的同侧，要么位于线段PiPj上。则线段PiPj是该集合凸多边形边界的一部分。对每一个点都做一遍检验之后，满足条件的线段就构成了该凸包的边界。,8.5.1凸包问题的穷举搜索法,2、算法求解步骤 ：步骤1：对于集合中的任意两点Pi和Pj ，定义穿过两点Pi和Pj的直线方程 。 (x-xi) / (xj-xi) =(y-yi) / (yj-yi)步骤2：将点集S中的其余点代入直线方程，然后检查是否位于线段同侧，如果不是，说明线段PiPj不是点集S的凸多边形的边界。 否则，PiPj是凸多边形的边界。步骤3：对点集中的
3、每个点，重复上述步骤1和步骤2，直到找出全部多边形的边界。,3、算法程序语言描述 详见课本4、算法分析 点集中的点构成的线段数目最多为n(n-1)/2，对每一条线段，最坏情况要检查点集中其余n-2个点属于哪个半平面， 故算法的时间复杂性为O(n3),8.5.2凸包问题的分治法1、算法思想 将点集S中的点按照x坐标升序排序，x坐标相同的按照y坐标升序排序，排好序的序列存放在点结构数组P中。 那么最左边的点P0、最右边的点Pn-1肯定是凸包上的点。 线段P0Pn-1将集合S中的点分成两个集合S1和S2。,子集S1的凸包由线段P0Pn-1作为下边界、多节链条作为上边界组成。这条上边界称为上包。子集S
4、2的凸包由线段P0Pn-1作为上边界、多节链条作为下边界组成。这条下边界称为下包。整个集合的凸包由上包和下包构成。如图8-2所示。,2、算法求解步骤 构造上包步骤：找到子集S1中的点Pmax，它是距离线段P0Pn-1最远的点 连接 ，找出S1中位于直线 左边的点，这些点构成集合S11；找出S1中位于直线 左边的点，这些点构成集合S12；P0PmaxPn-1内部的点不予考虑。递归构造S11和S12的上包，然后简单地将它们连接起来，得到S1的上包。 构造下包步骤：找到子集S2中的点Pmin，它是距离线段P0Pn-1最远的点 连接 ，找出S2中位于直线 右边的点，这些点构成集合S21；找出S2中位于
5、直线 右边的点，这些点构成集合S22；P0PminPn-1内部的点不予考虑递归构造S21和S22的下包，然后简单地将它们连接起来，得到S2的下包 。,3、 算法程序语言描述 详见课本,8.6最接近点对问题,1、问题提出最接近点对问题要求给定平面上n个点组成的集合S，找出其中n个点组成的点对中距离最近的一对点 。该问题具有很大的实际应用价值，例如，一个控制空中或者海上交通的系统就需要了解2个最近的交通工具，以预测可能产生的相撞事故。2、解决问题方法 穷举搜索、分治法（略）,8.6.1最接近点对问题的穷举搜索法1、算法思想 分别计算点集中每一对点的距离Dij，从中找出值最小的那对点。 为了避免点对
6、的重复计算，算法只考虑ij的情况.2、算法描述Double shortdis( )double temp=,d=0; for(int i=0; in-1;i+ ) for(int j=i+1; jn,j+ ) d=sqrt( (pow( pi.x-pj.x) , 2)+pow(pi.y-pj.y),2 ); if(dtempt) tempt=d; p1=pi; p2=pj; ,3、算法分析从算法描述可知循环体内的时间是常数时间，循环次数 ， 因此算法的时间复杂性为O(n2) 。,8.6.2最接近点对问题的分治法1、算法思想 将所给平面上的n个点的集合S分成规模大致相等的两个子集S1和S2。递归
7、求解S1和S2中的最接近点对； 集合S中的最接近点对： 或者是子问题S1的解； 或者是子问题S2的解， 或者是一个点在S1中，一个点在S2中的情况组成的最接近点对。,一维情形下最小点对：算法描述：Step1：用xm将x1,x2,xn分成两部分S1和S2 Step2：递归求S1中最接近点对，其距离为d1；Step3：递归求S2中最接近点对，其距离为d2；Step4：求S1中的最大值p，S2中的最小值q；Step5：计算d3=|p-q|；Step6：比较d1,d2,d3确定哪个是最接近点对。算法分析解此递归方程可得T(n)=O(nlogn)。,二维情形算法描述：Step1：选取一垂直线l：x=xm
8、作为分割线。其中xm为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2Step2：递归求S1中最接近点对，其距离为d1Step3：递归求S2中最接近点对，其距离为d2Step4：令d=min(d1,d2)Step5：找出S1中的某个点p和S2中的某个点q组成的点对(p,q) （难点）Step6：比较|p-q|,d1,d2确定哪个是最接近点对思考：如何找出点对(p,q) ？如果|p-q|小于d，则p点分布在P1带形区域内(左虚线和分割线l所夹的区域)，q点分布在P2带形区域内(右虚线和分割线l所夹的区域)。如图8-5所示,对于P1中任意一点p，与它距离小于d的点分布在以p点为圆心，以d为半径的圆内。因此，与点p构成最接近点对的P2中的点一定落在一个d2d的矩形R中。如图8-6所示。,由d的意义可知，矩形R中任何两个S中的点的距离都大于等于d。由此可知，至少可以将d2d的矩形R分割成如图8-7所示的六部分，其中任何一部分包含P2中的点最多有一个 因此，在矩形R中最多只有6个P2中的点与p构成最接近点对,思考：针对P1中的任意一点p，检查P2中的哪6个点，从而可以找出最接近点对呢 ？可以将p和P2中所有点到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的P2中的点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点与p在l上的投影点的距离小于d 算法分析（nlogn),
