数论算法

1、数论算法 第一章 整数的可除性1/40第 1 章 整 数 的 可 除 性内容1. 整除性2. 公因数、最大公因数3. 辗转相除法（欧几里得除法）4. 算术基本定理要点 培养对数论问题的认识及证明问题的思路数论从研究整数开始，叫“整数论” 。经进一步发展，叫做“数论” 。确切地说，数论是研究整数性质的学科。自然数（正整数） 负整数 0（统称整数） 。算术运算：加、减、乘、除（四则运算） 。加法、减法和乘法在整数范围内可以毫无阻碍地进行。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。数论算法主要从应用角度出发，研究数论问题中。

2、III数论算法-2,方法,Fermat的方法,连分数法,组合方程,数域筛法,RSA,RSA: Rivest，Shamir，Adelman（1978年）基于大数分解的困难性,RSA算法的步骤如下：,随机选择两个大的秘密素数p与q计算公开的模数r=p*q计算秘密的欧拉函数(r)=(p-1)(q-1),能选择一个与(r)互素的K，K可以定义为秘密密钥SK或公开密钥PK,，,计算模(r)即的K的乘法逆元素，这个量规定为秘密密钥SK或公开密钥PK，它取决于第4步的选择。,将明文X自乘PK次幂后按r取模进行加密运算，从而产生密文Y：,将密文Y自乘SK次幂后按r取模进行解密运算，从而产生明文X,RSA例,例：取p=23,q=43。

3、III数论算法-2,方法,Fermat的方法,连分数法,组合方程,数域筛法,RSA,RSA: Rivest，Shamir，Adelman（1978年）基于大数分解的困难性,RSA算法的步骤如下：,随机选择两个大的秘密素数p与q 计算公开的模数r=p*q 计算秘密的欧拉函数(r)=(p-1)(q-1),能选择一个与(r)互素的K，K可以定义为秘密密钥SK或公开密钥PK,，,计算模(r)即的K的乘法逆元素，这个量规定为秘密密钥SK或公开密钥PK， 它取决于第4步的选择。,将明文X自乘PK次幂后按r取模进行加密运算，从而产生密文Y：,将密文Y自乘SK次幂后按r取模进行解密运算，从而产生明文X,原理：若N为合数，。

4、一、数论算法 1求两数的最大公约数 function gcd(a,b:integer):integer;begin if b=0 then gcd:=aelse gcd:=gcd (b,a mod b);end ; 2求两数的最小公倍数 function lcm(a,b:integer):integer;beginif a0 do inc(lcm,a);end; 3素数的求法 A.小范围内判断一个数是否为质数：function prime (n: integer): Boolean;var I: integer;beginfor I:=2 to trunc(sqrt(n) doif n mod I=0 then begin prime:=false; exit;end;prime:=true;end; B.判断 longint 范围内的数是否为素数（包含求 50000 以内的素数表）：procedure getprime;var i,j:longint。

5、第二课,数论相关知识及基本算法,综合实践考核,素数和整除问题,1、基本概念和基本性质(1)整除和约数 一个整数a能被另一个整数d整除，记作d|a。0可被每个整数整除。如果a0且d|a，则|d|=|a|。如果d|a，则称a是d的倍数。d是a的约数。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除。a的非平凡约数也称为a的因子。整除有如下一些性质： 如果d|a，则对任意整数k有d|ka； 如果d|a且d|b，则d|(ab)； 如果b|a且a|b，则a=b； 如果d|a且a|c，则d|a。,具有自反、反对称和传递性，是一个偏序关系,素数和整除问题,下面举出几。

6、数论算法 第二章 同余运算1/67第 3 章 同 余 及 其 运 算内容1. 同余概念2. 性质3. 剩余类整数分类4. 模幂运算5. 一次不定方程要点 同余及其计算应用： 密码学 公钥密码学【例】 RSA 公钥算法：准备：选大素数 p、q，记 npq ，(n)(p1)(q 1) ，再选正整数 e，满足（e ，(n)）1（mod n）并求 d，满足 ed 1（mod (n)）加密：明文串 P 编码为数字 M，则密文 （mod n ）eC解密： （mod n），再将数字 M 解码得明文串 PC3.1 同 余 的 概 念 及 基 本 性 质（ 一 ） 同 余 概 念【定义 3.1.1】给定一个正整数 m，两个整数 a、b 叫做模m 同余，如。

7、数论基础及对称加密算法1提纲n数论基础v加密系统中常用的数论知识v复杂性理论简介n对称加密算法v对称密码体制模型v流密码v分组密码vDESvRijndael密码体制（ AES加密算法）vKASUMI分组密码 2数论基础3加密系统中常用数论知识n模 q运算v定义：给定任一正整数 q和任一整数 a，如果用a除以 q，得到商 s和余数 r，则有 a=sq+r，记ra mod q;v运算操作：加法 ： (a mod q)+(b mod q)=(a+b) mod q乘法： (a mod q)(b mod q)=(ab) mod q4加密系统中常用数论知识n模 q运算v运算性质：Zn定义为集合 0,1,q-1 ，也称为模 q的剩余类集合，以下为 Zn上的。

8、III数论算法 3.1基本概念 最大公因子 孙子定理 3.1基本概念 素数：因子为 1和自身 整除 整除性质： （ 1） 若 a|b, c为任何整数 ， 则 a|bc （ 2） 若 a|b并且 b|c， 则 a|c （ 3） 若 a|b并且 a|c， 则 a|b+c及 a|b-c 线性？ )(| 21 cdbda 整除性质（续） 算术基本定理 （ Fundamental Theorem of Arithmetic） ：任一自然数都可唯一表示成素数的积 （ 不计因子次序 ） (4)若 p为素数 ， p|ab， 则 p|a或 p|b (5)若 m|a并且 n|a， m和 n没有异于 1的公因子 ， 则 mn|a. 最大公因子 (Greatest Common Divisor) Euclid算法： gcd(a,b),a=b 。

9、2019/5/9,1,第十四讲 有关数论算法,内容提要：初等数论概念最大公约数模运算和模线性方程中国余数定理,初等数论概念,整除性和约数 1）d | a ，读作”d整除a”，表示a是d的倍数； 2）约数：d | a 且d0，则d是a的约数；（即定义约数为非负整数） 3）对整数a最小约数为1，最大为|a|。其中，1和|a|为整数的平凡约数,而a的非平凡约数称为a的因子； 素数和合数 1) 素数(质数)：对于整数a 1，如果它仅有平凡约数1和a，则a为素数； 2) 合数：不是素数的整数a ，且 a 1; 3) 整数1被称为基数，它不是素数也不是合数； 4) 整数0和所有负整数既不是素。

10、1总 复 习 数 论 算 法一 、 要 求 与 目 标1、 掌握基本方法2、 解决问题的动手能力二 、 范 围1、 未讲的不考。2、 不要求证明。三 、 重 点第 1 章 ：整 数 的 可 除 性1、 重点：最大公因子的计算，包括最大公因子概念和性质的运用；最小公倍数的计算，包括其概念与性质运用。2、 相关内容：整除的概念和性质，判断整除。3、 不要求：素数定理。第 2 章 ：同 余1、 重点：同余的概念与性质；剩余类概念与性质；欧拉定理与费马定理； 及其计算；二元一次（不定）方程有整数1a解的判断及求解，求特解的方法，一次（不定）方程组的求解。。

11、第八章 数论算法及计算几何算法,教学目标,理解求最大公约数的算法 掌握欧几里德公式的推广 掌握求解同余方程的算法 掌握运用中国剩余定理解决实际问题 理解线段相交的概念 掌握线段是否相交的判定算法 理解凸包的概念及穷举搜索的解决方法 掌握凸包问题及最接近点对问题的分治法,8.1最大公约数,定义1 设a，b是整数，b0，如果存在整数c，使得a=bc成立则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数(因数或除数)，可记为b|a；如果不存在整数c使得abc成立，则称a不被b整除，记为ba。 定理1(带余数除法) 设a与b是两个整数，b0，则存在唯一的两个整数q。

12、第八章 数论算法及计算几何算法,8.5 凸包问题,1、问题提出给定一个点集SP0,P1,Pn-1，它的凸包是一个最小的凸多边形P，且满足S中的每个点或者在P的边界上或者在P的内部。 如果点集S是两个点的集合，显然它的凸包是连接这两个点的线段；如果S是由三个不共线的点组成的集合，那么凸包是以这三个点为顶点的三角形；如果三点共线，则凸包是以距离最远的两个点为端点的线段。对于更大的集合，在直观上，可以把S中的每个点看作订在地上的木桩，那么凸包就是将所有木桩围起来的一个拉紧的橡皮绳的形状，如图8-1所示。,解决方法： 1、穷举搜索法 2。

13、第31章 数论算法,预备知识,1数论基础,数论是一门古老的数学分支。以前人们都认为它是完全纯粹数学，在现实生活中很难找到它的实际应用。自从1976年公开密钥密码体制诞生以来，现代密码学就和数论有着千丝万缕的联系。,一、引言,约定：字母N表示全体自然数集合，Z表示整数集合，即N=0，1，2，Z=，-2，-1，0，1，2，,自然数与整数,定义1：如果存在一个整数k使得n=kd，则称d整除n,记作d|n，其中d称作n的因子，n称作d的倍数。如果不存在这样一个整数使得n=kd，则称d不整除n，记为dn。,整除,定义2：整数p1称为素数，如果除了1和其本身外，p没有。

14、第九章 数论算法,内容提要,数论基础知识RSA公钥密码体制Miller素数测试算法,重点与难点,重点:数论基础知识RSA公钥密码体制难点:Miller素数测试算法及其正确性的证明.,学习目的与要求,通过学习相关的数论基础知识,理解与掌握RSA公钥密码体制,理解Miller素数测试算法.,数论是一门古老的数学分支。以前人们都认为它是完全纯粹数学，在现实生活中很难找到它的实际应用。自从1976年公开密钥密码体制诞生以来，现代密码学就和数论有着千丝万缕的联系。,一、引言,约定：字母N表示全体自然数集合，Z表示整数集合，即N=0，1，2，Z=，-2，-1，0，1，。

15、教学目标,理解求最大公约数的算法掌握欧几里德公式的推广掌握求解同余方程的算法掌握运用中国剩余定理解决实际问题理解双钥密码体制概念掌握RSA算法（实验四）,8.1最大公约数,定义1 设a，b是整数，b0，如果存在整数c，使得a=bc成立则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数(因数或除数)，可记为b|a；如果不存在整数c使得abc成立，则称a不被b整除，记为 。定理1(带余数除法) 设a与b是两个整数，b0，则存在唯一的两个整数q和r，使得a=bq+r，0r|b|。定义2 在定理1的表达式a=bq+r中，称q是a被b除的商，r是a被b除的余数。最大公约数是指两个或两个。

16、国际大学生程序设计竞赛数论与算法 主讲：王树林,数论基本知识,信息学中应用的关于素数和整除的知识并不多，关键在于灵活应用。素数和整除问题 如果a和b是整数，a0，若有整数c使bac，就说a整除b。在a整除b时，记a是b的一个因子，b是a的倍数。用符号ab表示a整除b，a不能整除b记为a b。 整除基本性质有：（1）若ab， ac，则a（bc）（2）若ab，则对所有整数c， abc（3）若ab， bc，则ac （传递性） 自反，反对称，传递性，偏序关系。是一个格。素数（prime）和合数（compound），如果一个整数p只有1和p两个因子，则p为素数，不为素数的其它数。

17、数论初步,最大公约数,2018/6/15,3 of 158,整除的基本性质,定理1： 对所有a, 1|a. 对所有a, a|0. 对所有 a, a|a. 若a|b且b|c, 则a|c. 若a|b, 则对任意的c, 有ac|bc. 若ac|bc且c0, 则a|b.,2018/6/15,4 of 158,整除的基本性质,若 a|b且a|c,则对任意的整数 m,n,有 a|(bm+cn).证明 因为a|b且a|c, 故b=aq1和c=aq2. 于是, bm+cn=a(q1m+q2n), 所以, a|(bm+cn).若c0且a|b, 则ac|bc.,2018/6/15,5 of 158,例,证明：若 3|n且7|n,则21|n.证明 因为3|n, 所以n=3m, 因此7|3m. 再由 7|7m得7|(7m-2*3m)=m. 所以, 21|n.,2018/6/15,6 of 158,最大公约数,定理2。

18、第十章 在密码学中的应用,网络安全体系的五类服务,引 言,攻击分类,威胁密码系统安全的是攻击者。 攻击者首先通过监听等手段截获密文。 然后试图通过对密文的分析来得到明文。 由于通常加密解密算法是对外公开的，攻击者往往对密钥更感兴趣。 一旦攻击者获得密钥，他就可以在系统更新密钥之前，利用该密钥解密一系列的密文。,RSA：最流行的公钥密码算法，加密和数字签名； ECC：椭圆曲线密码，采用ElGamal算法，公钥密码算法，安全性高，密钥量小，灵活性好； DSA：数字签名算法，是数字签名的一部分，公钥密码算法，数字签名。 MD5(SHA-1)。

19、第6章 数论算法,6.1 整数的表示,设B1为一正整数，对任一正整数a，在B进制下可唯一地表示为 ，0aim的情形8 do ci ai+carry9 carry ci/B 10 ci ci mod B11 for it+1 to m对mn的情形12 do ci bi+carry13 carry ci/B 14 ci ci mod B15 if carry016 then cicarry17 return c若将a，b的较大位数记为n。

20、1 数论与数论算法 一、 质数 与质因 数 分解 1. 质数 ： 也称素数， 指除 1 和它本身以外 没有其他因数的正整数 。 素数有无穷多 个。 1 不 是素数。 2. 质因 数分解 ： 任意一个大于 1 的正整数都可以唯一分解成若干个质数相乘的形式。即： 3. 【 例题 1 】 已知正整数 N 是两个不同质数的乘积， 请求出较大的那个质数 （洛谷 1075） 。 提示：若 P、Q 为质数， 令 N = P * Q ，则 N 除 1 和它本身 以外，有且仅有 P、 Q 两个因 数。这也是目前主流的“非对称加密算法”R S A 算法的实现原理。 a 2 *3 *5 * 7 .(1b c d = 0 ) bcd A Aa 为。