1、第八章 数论算法及计算几何算法,教学目标,理解求最大公约数的算法 掌握欧几里德公式的推广 掌握求解同余方程的算法 掌握运用中国剩余定理解决实际问题 理解线段相交的概念 掌握线段是否相交的判定算法 理解凸包的概念及穷举搜索的解决方法 掌握凸包问题及最接近点对问题的分治法,8.1最大公约数,定义1 设a，b是整数，b0，如果存在整数c，使得a=bc成立则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数(因数或除数)，可记为b|a；如果不存在整数c使得abc成立，则称a不被b整除，记为ba。 定理1(带余数除法) 设a与b是两个整数，b0，则存在唯一的两个整数q和r，使得a=bq+r，0r|b|。（证明略）
2、 定义2 在定理1的表达式a=bq+r中，称q是a被b除的商，r是a被b除的余数。 最大公约数是指两个或两个以上整数的公共约数中最大者。,8.1.1欧几里德算法,欧几里德定理 任意给定两个整数a,b，不妨假设ab。它们的最大公约数用gcd(a，b)表示，则gcd(a，b)=gcd(b，a mod b) ，其中a mod b表示a被b除所得的余数 欧几里德递归定义式,应用举例（求100和210最大公约数） 欧几里德递归公式的推广 来解决“已知a, b求解一组x，y使得ax+by=gcd(a, b) ”问题 令gcd(a, b)=d，则ax+by=d；gcd(b,a mod b)=d (8-1)
3、（1）当b=0时，则gcd(a,b)=a；ax+by=a，即ax=a，则x=1，y取任意实数。简单起见，算法取y=0； （2）当b0时，令a=b，b=a mod b，则gcd(a, b)=d，ax+by=d。 由于b =a mod b = ，则ax+by=bx+( )y=ay +b(x -y)=d (8-2) 让式(8-1)和式(8-2)对应项相等，则x=y，y= x -y。,8.1.2 Stein算法,基于的两条结论 （1）gcd(a，0)=a。 （2）gcd(ka，kb)=k gcd(a，b) 算法步骤 步骤1：初始时，令c=1； 步骤2：如果a=0，c=b*c；如果b=0，c=a*c；算
4、法结束。 步骤3：令a1=a，b1=b； 步骤4：a和b奇偶性的判断。,如果a和b都是偶数，则a=a/2，b=b/2，c=2*c； 如果a是偶数，b不是偶数，则a=a/2； 如果b是偶数，a不是偶数，则b=b/2； 如果a和b都不是偶数，则a =|a1 b1|，b=min(a1,b1)； 转步骤2。 应用举例 求15和9的最大公约数,8.2同余方程,同余式 设a、b和m为整数，其中m0。若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余。记为 或 同余式的简单性质 （1）若a b(m)，则m|(b-a)。反过来，若m|(b-a)，则a b(m)； （2）如果a=km+b(k为整数)，则a b(m
5、)； （3）每个整数恰与0,1,，m-1这m个整数中的某一个对模m同余； （4）同余关系是一种等价关系： 反身性 a a(m)； 对称性a b(m)，则b a(m)，反之亦然； 传递性a b(m)，b c(m)，则a c(m)。 （5）如果a b(m)，x y(m)，则 a x (b y)(m); 特别地 。,例1：使2n+1能被3整除的一切自然数n 例2：求2999最后两位数码 同余方程 设 是整系数多项式，m是正整数，称f(x) 0(mod m) (8-4)是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。若 则称式(8-4)为n次同余方程 同余方程的解 设x0是整数，当xx0时式(8
6、-4)成立，则称x0是同余方程(8-4)的解。凡对于模m同余的解，被视为同一个解,一次同余方程 设a，b为整数，且，则称同余方程ax b(mod m) (8-5)为一次同余方程。 定义7 设a1,a2,an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1,x2,xn的方程 a1x1+a2x2+anxn=b是n元一次不定方程。 定理3 一次同余方程有解的充要条件是gcd(a,m)|b。若有解，则恰有d=gcd(a，m)个解。 证明（见板书） 一次同余方程的求解步骤,步骤1：求gcm(a，m)； 步骤2：令d= gcm(a，m)，如果d b，则式(8-5)无解，算法结束；如果 ,则转步骤3； 步骤3：根据欧
7、几里德公式的推广，求出式(8-5)的一个解x0。 步骤3-1：根据欧几里德公式的推广算法求得满足ax +my=d的x，y；具体方法： 将ax+my=d变形可得到： ax=d-my (8-8) 式（8-8）两边同时模m得：(8-9) 可见，x是一次同余方程(8-9)的解。 步骤3-2：根据x求x0。具体方法： 由于 ，设 ，则根据同余式的性质得： 即： 。因此，x0=px= x(mod m)。 步骤4：根据(8-7)式可得(8-5)式的其它d-1个解为 ，i=1,2,d-1。算法结束。,量水 有三个分别装有a升水，b升水和c升水的量筒(gcd(a,b)=1，cba0)。现c筒装满水，问能否在c简
8、中量出d升水(cd0)。若能，请列出一种方案。 算法分析： 量水过程实际上就是倒来倒去，每次倒的时候总有如下几个特点： 总有一个筒中的水没有变动； 不是一个筒被倒满就是另一个筒被倒光； c筒仅起中转作用。而本身容积除了必须足够装下a筒和b筒的全部水外，别无其它限制。 通过上述分析知：问题实质上是将a筒倒满x次，b筒倒满y次，使得总结果有ax十byd (8-10) 设a3，b7，c10，求x,y,8.3同余方程组,若数r同时满足n个同余方程： ，则r称为这n个同余方程组成的同余方程组的解,定理 对同余方程组记 ， 其中， 表示m1和m2的最小公倍数。 若d(a1-a2)，则此同余方程组无解； 若
9、d|( a1-a2)，则此同余方程组有对模M的一类剩余解。 中国剩余定理（即孙子定理） 设 是两两互质的正整数，记M= ，则同余方程组,有对模M的唯一解 其中 证明（见板书） 例：早在几千年前中国的一本孙子算经就已经提及这个问题的解法了，原文为：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问物几何？” 答曰：“二十三”。,8.4线段相交,线段性质 有向线段 P1为始点，P2为终点，长度如果P1(0,0)，则 记为 无向线段为P1P2 叉积的概念 叉积是一种向量乘法 ，向量 叉乘向量 得到另一个向量 ，则 = = 方向为右手直角坐标系,几何意义 以 和 为边的平行四边形的
10、面积 叉积定义为一个矩阵行列式 思考1：叉积何时小于0？何时大于0？又何时等于0？ 思考2：对公共点P0而言，如何知道有向线段 在有向线段 的什么方向？通过叉积可以知道,确定两条线段是否相交 第一步：通过快速排斥实验来确定两条线段是否不相交； 第二步：在快速排斥实验判断有可能相交的前提下进行跨立实验，来确定两条线段是否相互跨立 确定任意一对线段相交 对应给定的一个线段集合，确定其中任意两条线段是否相交。该算法输入由若干条线段组成的集合，若这组线段中存在任意一对线段相交，则返回true；否则，返回false 两点假设 （1）线段集合中的所有线段都不是竖直的； （2）未有三条输入线段相交于同一点的
11、情形。,算法思想 假设一条垂直扫描线沿X轴方向从左到右顺序移动、穿过已知的若干线段。移动过程中，每遇到一个线段端点，它就将穿过扫描线的所有线段放入一个动态数据结构中，并利用它们之间的关系进行排序，核查是否有相交点存在。 该算法要求安排两个集合，一个是T序列，另一个是扫描线的一系列位置，即线段端点位置，并且要标记端点为线段的左端点还是线段的右端点。遇到左端点时将线段插入序列T中，并考察与其相邻的线段是否相交；遇到右端点时将线段从序列T中删除，此时考察被删除线段的左右两条线段是否相交。,8.5凸包问题,给定一个点集SP0,P1,Pn-1，它的凸包是一个最小的凸多边形P，且满足S中的每个点或者在P的
12、边界上或者在P的内部 如果点集S是两个点的集合，显然它的凸包是连接这两个点的线段； 如果S是由三个不共线的点组成的集合，那么凸包是以这三个点为顶点的三角形； 如果三点共线，则凸包是以距离最远的两个点为端点的线段。 对于更大的集合，在直观上，可以把S中的每个点看作订在地上的木桩，那么凸包就是将所有木桩围起来的一个拉紧的橡皮绳的形状，如图8-1所示。,8.5.1凸包问题的穷举搜索法,算法思想 根据凸多边形的定义，对于一个由n个点组成的集合S中的任意两个点Pi和Pj，当且仅当该集合中的其它点要么位于穿过Pi和Pj直线的同侧，要么位于线段PiPj上。则线段PiPj是该集合凸多边形边界的一部分。对每一个
13、点都做一遍检验之后，满足条件的线段就构成了该凸包的边界 算法求解步骤 对于集合中的任意两点Pi和Pj ，定义穿过它们直线方程 。 将点集S中的其余点代入直线方程，然后检查是否位于线段同侧，如果不是，说明线段PiPj不是点集S的凸多边形的边界。否则，PiPj是凸多边形的边界。 对点集中的每个点，重复上述步骤，直到找出全部多边形的边界,算法分析 点集中的点构成的线段数目最多为n(n-1)/2，对每一条线段，最坏情况要检查点集中其余n-2个点属于哪个半平面，故算法的时间复杂性为O(n3),8.5.2凸包问题的分治法,算法思想 将点集S中的点按照x坐标升序排序，x坐标相同的按照y坐标升序排序，排好序的
14、序列存放在点结构数组P中。那么最左边的点P0、最右边的点Pn-1肯定是凸包上的点。线段P0Pn-1将集合S中的点分成两个集合S1和S2。,子集S1的凸包由线段P0Pn-1作为下边界、多节链条作为上边界组成。这条上边界称为上包。 子集S2的凸包由线段P0Pn-1作为上边界、多节链条作为下边界组成。 这条下边界称为下包。整个集合的凸包由上包和下包构成。如图8-2所示。,算法求解步骤 构造上包 找到子集S1中的点Pmax，它是距离线段P0Pn-1最远的点 连接 ，找出S1中位于直线 左边的点，这些点构成集合S11；找出S1中位于直线 左边的点，这些点构成集合S12；P0PmaxPn-1内部的点不予考
15、虑 递归构造S11和S12的上包，然后简单地将它们连接起来，得到S1的上包 构造下包 找到子集S2中的点Pmin，它是距离线段P0Pn-1最远的点 连接 ，找出S2中位于直线 右边的点，这些点构成集合S21；找出S2中位于直线 右边的点，这些点构成集合S22；P0PminPn-1内部的点不予考虑 递归构造S21和S22的上包，然后简单地将它们连接起来，得到S2的上包,8.6最接近点对问题,最接近点对问题要求给定平面上n个点组成的集合S，找出其中n个点组成的点对中距离最近的一对点 。,8.6.1最接近点对问题的穷举搜索法,算法思想 分别计算点集中每一对点的距离，从中找出值最小的那对点。为了避免点
16、对的重复计算，算法只考虑ij的情况,8.6.2最接近点对问题的分治法,算法分析 从算法描述可知循环体内的时间是常数时间，循环次数 ， 因此算法的时间复杂性为O(n2),算法思想 将所给平面上的n个点的集合S分成规模大致相等的两个子集S1和S2。递归求解S1和S2中的最接近点对；集合S中的最接近点对或者是子问题S1的解，或者是子问题S2的解，或者是一个点在S1中，一个点在S2中的情况组成的最接近点对。,一维情形 用xm将x1,x2,xn分成两部分S1和S2 递归求S1中最接近点对，其距离为d1 递归求S2中最接近点对，其距离为d2 求S1中的最大值p，S2中的最小值q 比较|p-q|,d1,d2
17、确定哪个是最接近点对。 算法分析解此递归方程可得T(n)=O(nlogn)。,二维情形 选取一垂直线l：x=xm作为分割线。其中xm为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2 递归求S1中最接近点对，其距离为d1 递归求S2中最接近点对，其距离为d2 令d=min(d1,d2) 找出S1中的某个点p和S2中的某个点q组成的点对(p,q) （难点） 比较|p-q|,d1,d2确定哪个是最接近点对 思考：如何找出点对(p,q) ？ 如果|p-q|小于d，则p点分布在P1带形区域内(左虚线和分割线l所夹的区域)，q点分布在P2带形区域内(右虚线和分割线l所夹的区域)。如图8-5所示,对于P1
18、中任意一点p，与它距离小于d的点分布在以p点为圆心，以d为半径的圆内。因此，与点p构成最接近点对的P2中的点一定落在一个d2d的矩形R中。如图8-6所示。,由d的意义可知，矩形R中任何两个S中的点的距离都大于等于d。由此可知，至少可以将d2d的矩形R分割成如图8-7所示的六部分，其中任何一部分包含P2中的点最多有一个 因此，在矩形R中最多只有6个P2中的点与p构成最接近点对,思考：针对P1中的任意一点p，检查P2中的哪6个点，从而可以找出最接近点对呢 ？可以将p和P2中所有点到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的P2中的点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点与p在l上的投影点的距离小于d 算法分析（nlogn),
