1、数论初步,最大公约数,2018/6/15,3 of 158,整除的基本性质,定理1： 对所有a, 1|a. 对所有a, a|0. 对所有 a, a|a. 若a|b且b|c, 则a|c. 若a|b, 则对任意的c, 有ac|bc. 若ac|bc且c0, 则a|b.,2018/6/15,4 of 158,整除的基本性质,若 a|b且a|c,则对任意的整数 m,n,有 a|(bm+cn).证明 因为a|b且a|c, 故b=aq1和c=aq2. 于是, bm+cn=a(q1m+q2n), 所以, a|(bm+cn).若c0且a|b, 则ac|bc.,2018/6/15,5 of 158,例,证明：若
2、3|n且7|n,则21|n.证明 因为3|n, 所以n=3m, 因此7|3m. 再由 7|7m得7|(7m-2*3m)=m. 所以, 21|n.,2018/6/15,6 of 158,最大公约数,定理2 设a和b都是正整数, 且ab, a=bq+r 0r0, b0, 则存在整数x和 y, 使得(a,b)= ax+by.例 用欧几里德算法求(1997,57). 用1997和57的线性组合表示(1997,57). 求1997和57的所有公约数,2018/6/15,13 of 158,答案,用欧几里德算法求(1997,57).用1997和57的线性组合表示(1997,57)求1997和57的所有公约
3、数解 用下划线标识余数 19975735 + 2 57228 + 1 2l2 + 0因此, (1997,57)=l, 即1997和57是互素的.,2018/6/15,14 of 158,答案,用下划线标识余数 19975735 + 2 57228 + 1 2l2 + 0 1=57-228 =57-(1997-5735)28 =-281997+(1+3528)57 =-281997+98157由于1997和57是互素的, 公因数只有1.,2018/6/15,15 of 158,最大公约数,定理4 设a1, a2, , akZ，记A = y | y = a1x1 a2x2 akxk ， xiZ，
4、i k . 如果y0是集合A中最小的正数，则 y0 = (a1, a2, , ak).即a1, , ak的最大公约数等于a1, , ak的所有整系数线性组合所形成集合A中的最小正整数.证明 设d是a1, a2, , ak的一个公约数，则dy0，所以d y0。,2018/6/15,16 of 158,A = y | y = a1x1 a2x2 akxk.,设y0 = a1x1 akxk，对任意的y = a1x1 akxkA，由带余除法，存在q, r0Z，使得 y = qy0 r0，0 r0 y0 .因此r0 = y qy0 = a1(x1 qx1) an(xn qxn)A.如果r0 0，那么，因
5、为0 r0 y0， 所以r0是A中比y0还小的正数，这与y0的定义矛盾。所以r0 = 0，即y0y。显然aiA（1 i n），所以y0整除每个ai（1 i n）。即y0是a1, a2, , ak的公约数。证毕。,不定方程,2018/6/15,18 of 158,不定方程,这里介绍的不定方程，是指整系数代数方程，并且限定它的解是整数。设a1, a2, , an是非零整数，b是整数，称关于未知数x1, x2, , xn的方程a1x1 a2x2 anxn = b (1)是n元一次不定方程。若存在整数x10, x20, , xn0满足方程(1)，则称(x10, x20, , xn0)是方程(1)的解，
6、或说x1 = x10，x2 = x20，xn = xn0是方程(1)的解。,2018/6/15,19 of 158,a1x1 a2x2 anxn = b (1),定理5 方程(1)有解的充要条件是(a1, a2, , an)b。 (2)证明 记d = (a1, a2, , an)。若方程(1)有解，设为(x1, x2, , xn)。则由dai（1 i n）及整除的性质容易知道式(2)成立。必要性得证。另一方面由定理4，存在整数y1, y2, , yn使得a1y1 a2y2 anyn = (a1, a2, , an) = d。因此，若式(2)成立，则,就是方程(1)的解， 充分性得证。证毕。,2
7、018/6/15,20 of 158,不定方程,定理6 设a，b，c是整数，方程 ax by = c (3)若有解(x0, y0)，则它的一切解具有 ， tZ (4)的形式，其中,2018/6/15,21 of 158,不定方程,证明 容易验证，由式(4)确定的x与y满足方程(3)。下面证明，方程(3)的解都可写成式(4)中的形式。设(x, y)是方程(3)的解，则由 ax0 by0 = ax by = c得到 a(x x0) = b(y y0)，,2018/6/15,22 of 158,不定方程,定理7 对于任意的整数a，b，c，下面的结论成立：() 由bac及(a, b) = 1可以推出b
8、c；() 由bc，ac及(a, b) = 1可以推出abc。证明 () 若(a, b) = 1，则存在整数x与y，使得ax by = 1。 因此 acx bcy = c。 (*) 由上式及bac得到bc。结论()得证；() 若(a, b) = 1，则存在整数x，y使得式(*)成立。由bc与ac得到abac，abbc，再由式(*)得到abc。结论()得证。证毕。,2018/6/15,23 of 158,不定方程,ax0 by0 = ax by = c得到 a(x x0) = b(y y0)，由此，以及和定理7，得到 x x0，因此存在整数t，使得 证毕。,2018/6/15,24 of 158,
9、不定方程,解方程ax by = c的步骤： () 判断方程是否有解，即(a, b)c是否成立；() 利用辗转相除法求出x0，y0，使得 ax0 by0 = (a, b)；() 写出方程的解,2018/6/15,25 of 158,例,例1：求不定方程18x 24y = 9的解。例2：求不定方程3x 6y = 15的解。解 (3, 6) = 315，所以方程有解。由辗转相除法（或直接观察），可知x = 1，y = 1是 3x 6y = 3 的解， 所以x0 = 5，y0 = 5是原方程的一个解。由定理6，所求方程的解是,2018/6/15,26 of 158,不定方程,求不定方程3x 6y 12z = 15的解。解 原方程等价于x 2y 4z = 5。 依次解方程 t 4z = 5， x 2y = t， 分别得到,
