数论基础

1、数论基础知识一 质数和合数（1）一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。（2）自然数除 0 和 1 外，按约数的个数分为质数和合数两类。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是 2 ，2 是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是 4。（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数 。互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（和） ，可能是。

2、数论基础及对称加密算法1提纲n数论基础v加密系统中常用的数论知识v复杂性理论简介n对称加密算法v对称密码体制模型v流密码v分组密码vDESvRijndael密码体制（ AES加密算法）vKASUMI分组密码 2数论基础3加密系统中常用数论知识n模 q运算v定义：给定任一正整数 q和任一整数 a，如果用a除以 q，得到商 s和余数 r，则有 a=sq+r，记ra mod q;v运算操作：加法 ： (a mod q)+(b mod q)=(a+b) mod q乘法： (a mod q)(b mod q)=(ab) mod q4加密系统中常用数论知识n模 q运算v运算性质：Zn定义为集合 0,1,q-1 ，也称为模 q的剩余类集合，以下为 Zn上的。

3、数论基础知识.txt 丶喜欢的歌，静静的听，喜欢的人，远远的看我笑了当初你不挺傲的吗现在您这是又玩哪出呢？全文:数论的基本知识本文将简单地介绍有关整数集合 Z=,-2,-1,0,1,2,和自然数集合 N=0,1,2,的最基本的数论概念。可除性与约数一个整数能被另一个整数整除的概念是数论中的一个中心概念，记号 d|a（读作“d 除 a”）意味着对某个整数 k，有 a = kd。0 可被每个整数整除。如果 a0 且 d|a，则|d|a|。如果 d|a，则我们也可以说 a 是 d 的倍数。如果 a 不能被 d 整除，则写作 dFa。如果 d|a 并且 d0，则我们说 d 是 a 的约数。注意，d|a。

4、数论基础知识,刘汝佳,基本概念,整除与约数、倍数. 注意负数可整除性的基本性质若a|b, a|c, 则a|(b+c)若a|b, 那么对所有整数c, a|bc若a|b, b|c, 则a|c整除关系具有传递性. 它是偏序关系(partial order), 是一个格,素数和合数,如果大于1的正整数p仅有的正因子是1和p, 则称p为素数(prime)大于1又不是素数的正整数称为合数(compound)如果n是合数, 则n必有一个小于或等于n1/2的素因子,算术基本定理,每个正整数都可以惟一地表示成素数的乘积，其中素数因子从小到大依次出现（这里的“乘积”可以有0个、1个或多个素因子）。换句话说, 任意正整数n。

5、第二章密码学的数学基础,数论理论介绍,1.数论介绍,数论概念:研究“离散数字集合”运算是“+” ,“” ，例:整数: 5 + 9 = 14; 5 3 = 5 + 5 + 5 = 15 多项式: x2 + 1 + x = x2+x+1; x (x2+1) = x3+x,运算概念,运算:模数运算模多项式运算进一步运算:指数运算,逆运算理解公钥算法的基础,2.整除,对整数 b!=0 及 a , 如果存在整数 m 使得 a=mb,称 b 整除 a, 也称b是a的因子记作 b|a 例 1,2,3,4,6,8,12,24 整除 24,3.素数与不可约多项式,素数: 只能被 1 和自身整除的数1 是一个平凡素数例 2,3,5,7 是素数, 4,6,8,9,10 不是素多项式或不可约多项式。

6、一、整数的表示 二、因数分解,第2章 数论基础,三、同余类同余关系是等价关系 aamodm abmodm bamodm abmodm bcmodm abcmodm,第2章 数论基础,三、同余类模运算的性质abmodm cdmodm则kakbmodm akbkmodma-b0modm 可加、可减、可乘、移项、乘方,第2章 数论基础,第2章 数论基础,0 1 2 3 4 5 6 70 0 1 2 3 4 5 6 71 1 2 3 4 5 6 7 02 2 3 4 5 6 7 0 13 3 4 5 6 7 0 1 24 4 5 6 7 0 1 2 35 5 6 7 0 1 2 3 46 6 7 0 1 2 3 4 57 7 0 1 2 3 4 5 6,第2章 数论基础,0 1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 72 0 2 4 6 0 2 4 63 0 3 6 1 4 7 2。

7、数论相关基础知识,提纲,群环域模运算欧几里德算法有限域GF(p)多项式运算有限域GF(2n),Abstract Algebra,Algebraic structure Semigroupclosure封闭性, associative 结合律Groupclosure, associativity, identity单位元, inverse逆元Ring+: associativity, commutativity交换律, identity, inverse 0*: associativity, distributivity分配律Fielda ringmultiplicative inverse 乘法逆元Lattice, Boolean,4.1 群环域,群 Group集合，元素二元运算 封闭性、结合律单位元、逆元有限群、无限群交换群（Abel）循环群生成元,环 Ring,环R二元运算: 。

8、第五讲 数论基础,整数及运算性质 模运算与性质 素数 Euclid算法 Fermat定理与Euler定理 RSA算法,5.1 整数及运算性质,整数：0、正整数、负整数（为简便起见，这里主要讨论正整数，下同）。当a0时，整数的运算规则如下：,5.2 模运算与性质,当 b不是a的整数倍，必有:,此时可记做：b mod a=r ra,模运算性质： n|(a-b) ab mod n a|b = a|bc，对所有整数c ab mod n = b a mod n ab mod n 和 b c mod n = a c mod n,5.2 模运算与性质,(ab) mod n= (a mod n) (b mod n)(ab) mod n= (a mod n)(b mod n) mod n,举例：求117 mod 13的值。解法如下： 1。

9、返回总目录,第3章 基础数论,教学目的,了解模运算及辗转相除法 了解中国余式子定律 了解Lagrange定理与费马小定理 了解原根、二次剩余、Galois域等概念 了解质数理论和连分数 了解密码安全伪随机数字生成器, 模运算与辗转相除法,本章内容, 中国余式子定律, Lagrange定理与费马小定理, 原根, 二次剩余, Galois域, 连分数, 质数理论, 密码安全伪随机数字生成器,模运算与辗转相除法,3.1 模运算与辗转相除法,假设今天是星期五，请问10000天后是星期几？,（即5+10000除以7的余数）,即：10000天后是星期二,同余,定义（同余，Congruence）：令 。。

10、电子科技大学计算机科学与工程学院School of Computer Science And Technology, UESTC2005,信息安全理论与技术Introduction of Information Security Theory and Technology,第二章 基础数论,2.1 基本概念2.2 同余2.3 中国剩余定理2.4 模的幂运算2.5 费马小定理和欧拉定理,2.1 基本概念,1.定义： 设整数a和b,且a 0，如果存在整数k使得b=ak，那么就说b能被a整除，记作a|b，或者说b是a的倍数。 举例：3|15,-15|60,7 182.整除的基本性质 N 整数集 (1) a(a0), a|0,a|a (同理b N,1|b). (2) a|b, b|c a|c.（传递性） (3) a|b, a|c a|(xb+yc) (x,。

11、1数 论 基 础一、知识点介绍一、整除1整除的定义两个整数 a 和 b(b0)，若存在整数 k，使得 a=bk，我们称 a 能被 b 整除，记作 b|a2数的整除特征（1）1 与 0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a，总有 1|a0 是任何非零整数的倍数，a0，a 为整数，则 a|0（2）能被 2，5；4，25；8，125；3，9；11，7，13 整除的数的特征：能被 2 整除的数的特征：个位为 0，2，4，6，8 的整数能被 2 整除，我们记为 2k(k 为整数)能被 5 整除的数的特征：个位数为 0 或 5 的整数必被 5 整除，我们记为 5k(k 为整数)能被 4、25 整除的数的特征：末。

12、,3.1 同余的概念和基本性质,3.2 剩余类及完全剩余系,3.3 简化剩余系与欧拉函数,1,2,3,CH3 同余,4,3.4 欧拉定理 费马定理,3.1 同余的概念和基本性质,定理 1 整数a,b对模m同余 iff m|(a-b), 即: ab(mod m), iff m|(a-b). 证明 设ab(mod m), 则a=mq1+r, b=mq2+r, 0rm. 故(a-b)=m(q1-q2), m|(a-b). 反之, 设a=mq1+r1, b=mq2+r2, 0r1m, 0r2m, m|(a-b).于是, m|(a-b)=m(ql-q2)+(rl-r2), 故: m|(r1-r2). 又因|r1-r2|m, 得r1=r2.,3.1 同余的概念和基本性质,例：对那些模m，下列同余式成立？,同余与等号类似的性质： 定理2 若ab(mod m), cd(mod m),。

13、数论基础及应用1数论 是研究数的性质的学科是一门古老而充满现代魅力的数学学科。数论基本上可分为初等数论、解析数论、代数数论等几个较大的分支。2在古代，我国对数论的研究曾有过辉煌的成就 , 如孙子定理（国外文献一般称为中国剩余定理）、商高定理 (勾股数 )、圆周率的计算等等。在现代，我国一些著名的数学家，如华罗庚、王元、陈景润、潘承洞、丁夏畦等都在数论领域做出了一些举世公认的重要成果。3过去，人们把数论归类为纯粹数学，但现在在许多领域，数论的原理和定理都得到了广泛的应用。例如计算机的计算模型、硬件体系结构和。

14、爱我上海电力学院-李鑫,数论,主讲：李鑫,爱我上海电力学院-李鑫,模算术是一种整数算术，他将所有整数约减为一个固定的集合0,1,，n-1，其中n为某个整数。任何这个集合外的整数通过除以n取余数的方式约减到这个范围内。两个整数的最大公因子是可以整除这两个整数的最大正整数。域是一些元素的集合，其上定义了两个算术运算(加法和乘法)，它也具有一些常规的算术性质，如封闭性，结合律，交换律，分配律。有限域在密码的若干领域都有重要应用。一个有限域就是有有限个元素的域。可以证明有限域的阶(元素的个数)一定可以写为素数的幂形式pn，n。

15、数论基础,4.1 数论简介习题,4.1.1 素数和互素数1. 因子设a，b(b0)是两个整数，如果存在另一整数m，使得a=mb，则称b整除a，记为b|a，且称b是a的因子。,4.1 数论简介,数论是密码学特别是公钥密码学的基本工具，本章首先介绍密码学中常用的一些数论知识，然后介绍公钥密码体制的基本概念和几种重要算法。,整数具有以下性质： a|1，那么a=1。 a|b且b|a，则a=b。 对任一b (b0)，b|0。 b|g，b|h，则对任意整数m、n有b|(mg+nh)。这里只给出的证明，其他3个性质的证明都很简单。性质的证明： 由b|g，b|h知，存在整数g1、h1，使得g=bg1,h=bh1所以mg。

16、描述：小明被一个问题给难住了，现在需要你帮帮忙。问题是：给出两个正整数，求出它们的最大公约数和最小公倍数。 输入：第一行输入一个整数n（0n=10000)，表示有n组测试数据;随后的n行输入两个整数i,j（0i,j=32767)。输出：输出每组测试数据的最大公约数和最小公倍数,http:/acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=40,基础题1：公约数 公倍数,#includeintGCD(inta,intb)if(ab)returnGCD(b,a);。

17、数论基础,A.1 素数与互素A.2 同余与模运算A.3 欧拉定理A.4 几个有用的算法,授课内容,A.1 素数与互素,1 整除,定义1.1 设 a,b为整数，a0. 若有一整数q, 使得 b = aq, 则称 a是b的因数,b是a的倍数; 并称a整除b, 记为a|b, 可形式地表示为: a|b:=(q)(b=aq)若a不能整除b，记为ab.若b=aq,而a既非正负b又非正负1,则称a是b的真因数.,1 整除,关于整除，显然有下列定理：定理1.1 对所有a, 1|a. 对所有a, a|0. 对所有 a, a|a. 若a|b且b|c, 则a|c. 若a|b, 则对任意的c0, 有ac|bc. 若ac|bc且c0, 则a|b.,1 整除,若 a | b且a|c,则对任意的 m,n,有 a|(bm+cn。

18、返回总目录,第3章基础数论,了解模运算及辗转相除法了解中国余式子定律了解Lagrange定理与费马小定理了解原根、二次剩余、Galois域等概念了解质数理论和连分数了解密码安全伪随机数字生成器, 模运算与辗转相除法, 中国余式子定律, Lagrange定理与费马小定理, 原根, 二次剩余, Galois域, 连分数, 质数理论, 密码安全伪随机数字生成器,模运算与辗转相除法,1 模运算与辗转相除法,假设今天是星期五，请问10000天后是星期几？,（即5+10000除以7的余数）,即：10000天后是星期二,同余,定义（同余，Congruence）：令 。令 为两整数，称a同余b模n，。

19、初等数论基础n 1 基本常识n 2 解题方法与过程n 3 解题方法与技巧1 基本常识l1 数论中的记号 a|b（正整数 b能被 a整除）（ a,b）最大公约数 a,b最小公倍数ab(mod m) 两个整数 a,b，如果它们除以自然数 m所得的余数相等，称 a,b对于模 m同余l2 a被 b除商 q余 r a=bq+r （ 0=rb）l3 P1 ， P2， ， Pk为质数，是 a的全部质因数 a= （ P1R1） *（ P2R2）*( PkRk)_质因数唯一分解 4 a=bq1+r （ 0=rb） c=bq2+r（ 0=rb） 则 a c(mod b)5 （ a， b） *a， b=a*b6 mod x ab b c 则 a cab 则 anbnab cd accd ab cd 则 a+cb+d, a-cb-d7 若（ a， b） 。