1、返回总目录,第3章 基础数论,教学目的,了解模运算及辗转相除法 了解中国余式子定律 了解Lagrange定理与费马小定理 了解原根、二次剩余、Galois域等概念 了解质数理论和连分数 了解密码安全伪随机数字生成器, 模运算与辗转相除法,本章内容, 中国余式子定律, Lagrange定理与费马小定理, 原根, 二次剩余, Galois域, 连分数, 质数理论, 密码安全伪随机数字生成器,模运算与辗转相除法,3.1 模运算与辗转相除法,假设今天是星期五,请问10000天后是星期几?,(即5+10000除以7的余数),即:10000天后是星期二,同余,定义(同余,Congruence):令 。令
2、为两整数,称a同余b模n,记为 ,当n整除b-a。而所有与a同余的整数所组成的集合,即称为a的同余类。所有同余类所形成的集合,同余类,同余类满足的性质:,(1)(反身性,Reflexivity),(3)(迁移性,Transitivity),若 则,例:,令 则,模运算,加法:,(1)封闭性:若同余类 则,(2)交换律:若同余类 则,(4)存在加法单位素:存在 ,使得,(5)存在加法反元素:对任一 存在 使得,减法:,乘法:,交换群,定义(交换群) 考虑 ,其中G为集合,而*为运算。令公理:,(1)封闭性: 则; (2)交换律: 则; (3)结合律: 则; (4)存在单位素: , ,使得 (5)
3、存在反元素: , ,使得,若公理1、3、4、5成立,称为群(Group); 若以上公理15都成立,称为交换群。,交换环,辗转相除法,例:,求7812及6084的最大公因子,被除数=商除数+余数, gcd(被除数,除数)=gcd(除数,余数) 辗转相除法就是利用此性质,反复以 (除数/余数)取代(被除数/除数),其中:,所以gcd (7812 , 6084) = 36,辗转相除法,定理3.1 整数线性方程 有整数解,证明:,若 则:,为一整数解,若,有整数解,因: 且,所以,借助广义辗转相除法,存在整数 ,使得,对模乘法,证明:,根据交换群封闭性,则,因 ,故存在乘法反元素 、 使得 且 , 而
4、 故 为 的乘法反元素。,模运算与辗转相除法,3.2 中国余式子定理 (Chinese Remainder Theorem),定理:,令为 两两互质的正整数,令 则同余联立方程组在集合 有惟一解,其解为其中 ,而,余式定理应用,其中, 为n的质因数,,性质1:,存在群同构(Group Isomorphism),定义:,当为正整数时,定义 Euler-Phi 函数为,性质2:,Lagrange定理与费马小定理,3.3 Lagrange定理与费马小定理,令 为群,若 为子集,且在相同的运算*形成群则称 (或H)为G的子群(Subgroup)。,子群(Subgroup),Lagrange定理,定理(
5、Lagrange定理) 若G为有限群,H为G中之子群,则,证明:,H为G的子群,为方便起见,假设为乘法群。 可定等价关系如下:若 如此定义出的等价关系可将分割成若干个等价类,即,每个等价类都有#H个元素(考虑 为11对应)。因此#H整除 #G,费马小定理,定理(费马小定理),令为p质数、a为与p互质的整数,则,证明:,考虑乘法群 , 为其子群, 根据Lagrange定理,所以,其中,因此:,原根,考虑2的次方(mod 11):,3.4 原根,此时称2为乘法群 的原根(Primitive Root),当 时,则10必整除x;此时称10为2在(mod 11)(或在乘法群 )的秩(Order),秩,
6、定义:,令G为乘法群,而gG为其中一元素,则元素g的秩(Order)定义为,也可能不存在x N使得 ,此时定义 。若G为有限群,则 为G的子群,有,根据Lagrange定理,子群的元素个数必整除母群G的元素个数,故,原根定理,定理:,令g为质数p上的原根,则,(1)若x为整数,则 (2)若i、j为整数,则,证明:,子群与循环群,令G为任一乘法群, 为任一元素,则 为G中的子群(封闭性与反元素的存在性自然成立)。此子群称为由元素g所生成的子群。,定义:子群,定义:循环群(Cyclic Group),若存在 使得 ,则称G为循环群(Cyclic Group),而g为原根或生成元(Generator
7、)。,二次剩余,3.5 二次剩余 Quadratic Residue,定义:,同余式,a与n为互质整数,若有整数解,称a为(mod n)的二次剩余(Quadratic Residue) 若无解则称a为(mod n)的非二次剩余(Quadratic Nonresidue)。,二次剩余的性质,性质,令p为奇质数,可定义函数,Legendre符号,定义:,令p为质数,定义Legendre符号如下:,定理 ( Euler判别),令p为质数,a与p互质。则:,Legendre符号,性质,令p为奇质数,a、b为与p互质的整数,则,(2),(3),(4),(5),定理Quadratic Reciprocit
8、y,令p、q为奇质数,则,Jacobi 符号,定义:,令a为整数,n0为奇整数,其质因数分解为,定义Jacobi符号:,性质:,当n0为奇整数,Jacobi符号才可能有意义,(5),(3),(4),(2),(6),注:a、b为整数,m、n为奇整数,Galois域,3.6 Galois域,定义,域(Field):令K为一集合,并含有两个运算“ ”及“*”,则(K, ,*)为域,公理:,(K, ,*)为交换群,即,(1)( -封闭性) (2)( -单位素) (3)( -反元素) (4)( -结合律) (5)( -交换性),x=,x,x,y,Galois域,公理:,(1)(*-封闭性) (2)(*-
9、单位素) (3)(*-反元素) (4)(*-结合律) (5)(*-交换性),公理:,*对有 分配律,质数理论,3.7 质数理论,定义,令p为不为1的正整数,p为质数(Prime) 若某正整数d整除p(记为 ),则d=1或d=p。,Eratosthenes筛法,质数定理,质数定理,Riemann猜想,Hardy-Littlewood猜想,连分数,3.8 连分数,定义,任何以下形式的数均称为连分数,其中,q1、q2、为整数,连分数,性质,令 为一实数,其连分数表达式为,其中,,而其各项连分数的收敛值为:,当中 满足递推关系及初始条件,连分数,定理:,令 (且 )为实数x的某项连分数的收敛值,密码安
10、全伪随机数生成器,3.9 密码安全伪随机数生成器,BlumBlumShub() dop=RandomPrime();while (p%4!=3);doq=RandomPrime();while (p%4!=3);/p,q为随机质数且 = 3 mod 4n=p*q;dos=RandomInteger(1,n);while(gcd(s,n)!=1);/gcd(s,n)=1且s为随机数种子x0=s;for(i=1;i=k;i+)xi=xi-1*xi-1%n;bi=xi ,算法,Blum-Blum-Shub 伪随机数字生成器,密码安全伪随机数生成器,算法,RSA 伪随机数字生成器,RSA_PseudomBitGen() p=RandomPrime();q=RandomPrime();n=p*q;phi=(p-1)*(q-1);doe=RandomInteger(2,phi-1);while(gcd(e,phi)!=1);/gcd(e,phi)=1x0=RandomInteger(1,n-1);/x0为随机数种子for(i=1;i=k;i+)xi=PowerMod(xi-1,e,n);/xi=xi-1e%nbi=xi ,