1、1-装-订 -线-班级 13投资学1班 姓名 范智颖 学号 13250504108- 广 东 财 经 大 学 答 题 纸（格式二）课程 管理科学研究方法 20 14 20 15 学年第 一 学期成绩 评阅人 徐辉 评语：线性规划模型在经济管理中的应用摘要：通过线性规划在经济管理中应用的两个例子: 投资模型和生产计划模型, 对线性规划问题的解决作了简单的分析，其结果表明，该模型的有效性、可靠性和实用性，为企业人力资源管理提供了一种新的科学计算方法，因此，本文的研究具有较强的应用价值。关键词：线性规划; 经济管理; 数学建模; 案例分析2引 言自从 1947年 G. B. Dantzig 提出求解
2、线性规划的单纯形法以来, 线性规划在理论上趋向成熟,实用中日益广泛与深入。 特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后, 线性规划的适用领域更为广泛了, 已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。它是帮助人们进行科学管理的一种有效的数学方法。发展生产力,提高经济效益是人类发展不可或缺的要求。而提高经济效益有两种途径: 一是技术改进:如开发新工艺, 新能源等; 二是生产组织与生产计划的改进, 即是合理利用现有的人力, 物力资源,使经济效益达到最好。而线性规划研究的是: 在一定条件下, 合理安排人力物力源, 使经济效益达到最好。一、 线性规划的数学模型与解法1、 线性规划的三
3、要素.一般地, 线性规划是求目标经济函数在线性约束条件下的最大或最小值问题。决策变量, 约束条件, 目标函数是线性规划的三要素, 其中决策变量是实际问题中的未知因素, 也是决策系统中的可控因素, 常用英文字母加下标表示, 即 x1, x2,x3, xn; 目标函数是将实 际系统中的目标用数学形式表示出来, 常用等式或不等式来表示; 约束条件是指实现目标的限制因素, 它涉及到经济管理的各个方面, 如原材料的供应, 计划指标, 市场销售状态, 产品质量要求等。 2 、线性规划的数学模型.线性规划数学模型是描述实际问题的数学形式, 它反映了实际问题数量间的本质规律。由于实际问题往往比较复杂, 建立线
4、性规划数学模型时, 对某一个问题要认真 分析, 抓 住最本质的因素, 用简单的数学式子将其描述出来, 使建立的数学模型既简单又能正确地反映问题的本质。从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤:( 1)根据影响所要达到目的的因素找到决策变量; ( 2) 由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数; ( 3) 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数, 约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。 2线性规划的数学模型的一般形式:( 1)列出约束条件及目标函数; ( 2)画出约束条件所表示的可行域; ( 3) 在可行域内
5、求目标函数的最优解。线性规划数学模型一般形式包含了线性规划的多种形式, 这对我们阐述一些基本概念和求解方法是不方便的。所以, 我们规定了线性规划数学模型的标准形式。线性规划的数学模型的标准形式:目录函数：3约束条件：线性规划的 M at lab标准形式:线性规划的目标函数可以是求最大值, 也可以是求最小值, 约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便, M atlab中规定线性规划的标准形式为:其中 c和 x为 n维列向量, b为 m 维列向量,A为 m n矩阵。例如线性规划：的 M a tlab标准型为:3 、线性规划的解法.单纯形方法求解线性规划问题的基本
6、方法是单纯形法。单纯形是美国数学家 G. B 丹齐克于 1947年首先.提出来的。它的理论根据是: 线性规划问题的可行域是 n维向量空间 Rn中的多面凸集, 其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所 1, 3 对应的可行解称为基 本可行解。 单 纯形法的基本思想是: 先找出一个基本可行解, 对它进行鉴别, 看是否是最优解; 若不是, 则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解, 再鉴别; 若仍不是,则再转换, 按此重复进行。因基本可行解的个数有限, 故经 有限次转换必能 得出问题的最 优解。如果问题无最优解也可用此法判别。单纯形法的一般解题步骤可归纳如下: ( 1) 把线性规划问题的约束
7、方程组表达成典范型方程组, 找出基本可行解作为初始基本可行解。 ( 2) 若基本可行解不存在, 即约束条件有矛盾, 则问题无解。 ( 3) 若基本可行解存在, 从初始基本可行解作为起点, 根据最优性条件和可行性条件, 引入非基变量取代某一基变量, 找出目标函数值更优的另一基本可行解。 ( 4) 按步骤 3进行迭代, 直到对应检验数满足最优性条件 (这时目标函数值不能再改善 ) , 得到问题的最优解。 ( 5) 若迭代过程中发现问题的目标函数值无界, 则终止迭代。用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解。本文案
8、例主要采用 M athem at ica软件进行求解。二、 线性规划的数学模型应用案例:案例 1 投资模型: 6x j 0( j= 1 2 设有下面 4个投资机会:项目 a 从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年末回收本利 115 ;%。项目 b 从第三年年年初需要投资, 到第五年末回收本利 125 , 但规定最大投 资额不超 过 4%万元;项目 c 第二年初需要投资, 到第五年末才能回收本利 4140 , 但 规定最大投资额不超过 3万%元;项目 d 五年内每年初可买公债, 于当年末归还, 并加利息 6 。%该部门现有资金 10万元, 问它应如何确定给这些项目每年的投资额, 使到第五年
9、末拥有的资金的本利总额最大? 试建立求出最优投资方案的数学模型。1 、建模步骤:( 1)确定问题的决策变量, 即 x ia, x ib, x ic, x id分别为第 i年投向 a b c d项目的投资额 ( i= 1 2,3 4, 5)。,( 2) 确定问题的目标函数: 设 Z 为第五年末拥有资金的本利息总额, 通过下面分析来找 Z 的表达式。由题意将一切可能的投资机会列于表 1。( 3)资金流转分析: 确立约束条件。原则 1 每年年初将手头全部资金投出去, 因此第一年年初应将 10万元全部投给 a d两项目,即 x1d + x1d = 100000。原则 2 第一年年底回收 各项投资的本利
10、息，即为第二年年初手头拥有的投资总额, 又全部投入第二年初可能有的投资机会, 故有 x2a + x2c +x2d = 106 x1d。以此类推, 每年年初投资额 = 头年末返回本利总额, 于是有:x3a + x3b + x3d = 115 x1 a + 106 x2d% x4a + x4d = 115 x2a + 106 x3d% x5d = 115 x3a + 106 x4d%。以上资金流转分析, 再加上各种投资金额的限制, 即为问题的约束条件。目标函数应该是四项投资在第五年末回收的本利之和, 即以下四项之和: 115 x4a, 140 x2c, 125 x3b, 106 x5d。所以问题的
11、数学模型为:52 、Matheatica软件求解m运行结果, 得到下列最优投资方案:第一年: x1a = 34782 609元, x1d = 39130 439.第二年:x2a = 39130 439 元, x2c = 30000 元,.x2d = 0，第三年: x3a = 0元, x3b = 40000元, x2d = 0，第四年: x4a = 45000元, x4d = 0，第五年: x5d = 0。到第五年末期拥有总金额为 143750元, 即盈利 43 75 %3 、投资模型一般表述:一般地, 投资问题可描述如下: 有 n个投资项目, 一定的投资金额, 须从中选择有最高收益的最优投资方
12、案。现在需要确定在投资金额一定的前提下, 如何合理地分配在 n个投资项目, 才能使收益最高。案例 2 生产计划模型某工厂在计 划期 内安排 生产 x1, x2 两 种产品, 这些产品分别需要 A, B C, D 四种不同设备,上加工, 按工艺规定,产品 x1 和 x2 在各设备加工台时数见下表。已知各设备在计划 期内有效台时 数分别是12 8 16 12 ( 一台 设备工 作一 小时 称为 一台, , 。时 ) , 该工厂每生产一件产品可得利润 2万元, 每生产一件产品 x2 可得利润 3万元, 问如何安排生产计划, 才能得到最多利润?表 2不同产 品在不同设备上加工台时数61、 建模步骤(
13、1) 确定 问题的 决策变 量, 题 中已 给出, 即x1, x2。( 2)确定问题的目标函数: 设 Z 为最大利润,即 m ax Z = 2x1 + 3x2。( 3)确立约束条件: ( 设备台时分配 ) :所以问题的数学模型为需引入松弛变量：x3 A 设备闲置台时数x4 B 设备闲置台时数x5 C 设备闲置台时数x6 D设备闲置台时数将线性规划模型化为标准型2 、Mathematica软件求解7运行结果：加工 4件 x1 产品, 2件 x2 产品, A, B, C 设备都不闲置, D 设备闲置 4 小时, 得到最大利润 18万元。2、 生产计划模型一般表述.计划生产 m 种产品, 生产一种产
14、品的利润分别是 a b, 。有 n台设备, 设备有一定的使用台时数, 如何安排生产计划才能使利润最大。三、 线性规划在经济管理中的优势分析以上两个例子可以看出, 线性规划在经济管理工作中可以从整体统筹规划, 尽量达到用最少的人力物力资源去完成任务, 或在人力物力资源一定的前提下, 合理规划统筹,以达到最高的经济效益。 4, 5线性规划的优势在于它是通过建立模型, 运用严格的数学方法, 并借助了图表和计算机等手段求解, 并以所得数据指导企业, 政府机构, 银行管理部门选择最优的资产组合方式, 以实现最大的管理目标; 它除了能在满足各方面的限制和条件下获得最大收益外, 还能表现在一个或多个的约束条
15、件发生变化时最优的资产组织的变化; 在条件比较复杂的情况下, 甚至还可应用多重目标线性规划来替代单一目标线性规划, 并为一组相互冲突的目标 和在数种解决方案 中进行权衡抉择, 从而得出一组最可行的最优方法。因此, 线性规划在企业经营决策, 计划投资, 优化组合方面起着重要的作用。总之, 线性规划法是一种较先进和科学的进行经济管理的方法。目前, 已有相当的企业、银行及管理部门采用线性规划法来解决生产上及投资规划上的各种问题, 并取得相当好经济效益或投资回报。参考文献1陈又星，徐辉，吴金椿管理科学研究方法数据，模型与决策M上海：同济大学出版社，2013 年 3 月第一版 2王文波. 数 学建模及其基础知识详解 M . 武汉: 武汉大学出版社, 2006. 3齐毅. 经 济应用数学性 代数与线 性规 划 M . 北京: 北京高等教育出版社, 2002. 4熊杨. 线性规划在现代管理中的应用 J. 山四 财经学院学报, 2009, ( 4). 5王志伟. 西 方经济学主要思想及流派 M . 北京: 高等教育出版社, 2004. 6蔡锁章. 数学建模 M . 北京: 中国林业 出版社, 2003.89
