1、存档编号 赣 南 师 范 学 院 学 士 学 位 论 文矩阵特征值的求法研究教学学院 数学与计算机科学学院 届 别 2015 届 专 业 数学与应用数学 学 号 110700064 姓 名 古家琼 指导教师 邱树林 完成日期 2015 年 5 月 5 日 赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）作者声明本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。特此声明。作
2、者专业 ： 数学与应用数学作者学号 ： 110700064作者签名 ： 古家琼2015 年 3 月 12 日赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）矩阵特征值的求法研究。 。 。 。Matrix eigenvalue in this studyGu Jiaqiong2014 年 5 月 5 日赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）- 1 -摘 要本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值得一些常见的证明方法。对于一般矩阵，我们通常采用的是求解矩阵特征多项式根的方法。若矩阵的特征多项式的根存在，则这个根即为矩阵特征值；如果没有根，则该矩阵无特征值。而对于一些抽象矩阵，主要有左
3、乘矩阵法。通过证明一个数为矩阵多项式根的方法及转置共轭法。在这三种方法的运用过程中，通过一些已证得的特殊矩阵特征值的相关结论，可以起到简化运算的效果。本文不仅给出了每一种方法与相关结论的证明，而且还通过大量的例题来说明这些方法的具体求解步骤。关键词：矩阵；特征值；特征多项式AbstractThis article mainly discuss about the characteristic of matrix and matrix eigenvalue of religion worth some common methods of proof. For general matrix, we
4、 usually adopt is the method of solving matrix characteristic polynomial roots. If the characteristic polynomial of matrix exists, the root of the root is the characteristic value of matrix; If there is no root, the matrix eigenvalues. For some abstract matrix, basically have left by matrix method.
5、By showing that a number of matrix polynomial root method and transposed conjugate method. In the process of the use of these three methods, through some has the special matrix eigenvalue related conclusions, can have the effect of simplified operation. This paper not only gives the proof of each me
6、thod and the related conclusions, but also through a lot of examples to illustrate the concrete solving steps of these methods.Key words: Matrix; Characteristic value; Characteristic polynomial赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）- 2 -目 录内容摘要 1关 键 词 1Abstract 1Key words 11引言 12向量在平面几何中的应用 12.1 垂直问题 12.2 三点共线问题 3
7、2.3 向量在平面几何中的综合运用 63向量在立体几何中的应用 73.1 空间的垂直问题 73.2 空间的角度问题 103.3 空间的距离问题 153.4 向量在立体几何中的综合应用 174. 结束语 19主要参考文献 20赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）- 3 -1.引言：矩阵在中国古代的萌芽，孕育了丰富的数学思想与方法，推动了中国社会政治和经济的发展，奠定了中国传统数学在世界数学发展史上的地位。矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在
8、已成为独立的一门数学分支-矩阵论。而特征问题又是矩阵理论的一个重要部分。矩阵特征问题也是数值计算的一个重要组成部分，也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题。求解矩阵特征值也是最普遍的问题之一。目前已经有许多国内外的知名学者对矩阵进行研究，矩阵理论对于问题的解决有着重要的作用。就我阅读的一些参考文献矩阵分析与应用张贤达著、 组合矩阵论柳柏濂著等。到现在已经有很多学者对矩阵有了一定的研究。但他们大部分都不是很全面，本文对矩阵特征值的一般求法进行总结，并探讨了一些特殊求法。2.矩阵特征值的定义及其性质：2.1，矩阵特征值的定义定义 1：给定一个 维矩阵 ，确定标量 的值，使得线性
9、代数方程nA=， 0具有 非零解 。这样的标量 称为矩阵 的特征值（eigenvalue） ，向量 称A为与 对应的特征向量（eigenvector ） 。式 有时也被称为特征值=，特征向量方程式。由于特征值 和特征向量 经常成对出现，因此常将( ， )称为矩阵 的特征对A（eigenpair） 。虽然特征值可以取零值，但是特征向量不可以是零向量。为了确定向量 ，将式子 改写成=A， 0()由于上式对任意向量 均应该成立，故式子 存在非零解 的唯一条()0A0件是矩阵 的行列式等于零；即det()应当指出，一个特征值不一定是唯一的，有可能多个特征值取相同的值，同一个特征值重复的次数称为特征值的
10、多重度（multiplicity） 。例如， 单位矩阵的 个特征值都等nn于 1，其多重度为 。n观察式子 ，可得到：若特征值外问题具有非零解 ,则标量 必然det()0A 0x使 矩阵 奇异。因此，特征值问题的求解由以下两步组成：n（1） 求出所有使矩阵 奇异的标量 （特征值） ；（2） 给出一个使矩阵 奇异的特征值 ，求出所有满足 的(A非零向量 ，它就是与 对应的特征向量。 x根据代数学基本定理知，即使矩阵 是实的，特征方程的根也可能是复的，而且根的A多重数可以是任意的甚至可以是 重根。这些根统称矩阵 的特征值。 n关于特征值，有必要先集中介绍以下术语：（1） 称 的特征值 具有代数多重
11、度（algebraic multiplicity） ，若 是特征A多项式 的 重根。det(z（2） 若特征值 的代数多重度为 1，则称该特征值为单特征值（simple eigenvalue） 。赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）- 4 -非单的特征值称为多重特征值（multiplicity eigenvalue） 。（3） 称 的特征值 具有几何多重度（geometric multiplicity） ，A 若与 对应的线性无关特征向量的个数为 。换言之，几何多重度是特征空间 的维数。(ul（4） 矩阵 称为减次矩阵（derogatory matrix） ，若至少有一个特征值的几
12、何多重度大于 1.（5） 一特征值称为半单特征值（semi-simple eigenvalue） ，若它的代数多重度等于它的几何多重度。不是半单的特征值称为亏损特征值（defective eigenvalue） 。一般来说，矩阵 的特征值是各不相同的。若特征多项式存在多重根，则称矩A阵 具有退化特征值（degenerate enginvalue） 。A需要注意的是，即使矩阵 是实矩阵，其特征值也有可能是复的。以 Givens 旋转矩阵cosini为例，其特征方程2det( (cos)sin0sincsA然而，若 不是 的整数倍，则 。此时，特征方程不可能有 的实根，即 Givens 旋20转矩
13、阵的两个特征值都为复数，与它们对应的特征向量也是复向量。2.2，矩阵特征值的性质及证明性质 1 矩阵 奇异，当且仅当至少有一个特征值 。证明 先证充分条件。将特征值 代入特征方程，得 ，从而知det(A矩阵 奇异。再证必要条件。假定矩阵 奇异，则 ，或者等价写作AAdet(。因此，在矩阵 奇异的情况下 是矩阵 的特征值。det(0) 0性质 2 矩阵 和 具有相同的特征值。T证明 由行列式的性质：对于任何矩阵 ，恒有 。因此，若t(det(是矩阵 的特征值，则有det(det(det最后一个特征方程说明， 也是转置矩阵 的特征值，即矩阵 和 具有相同的特征值。 AA性质 3 若 是 矩阵 的特
14、征值，则有n（1） 是矩阵 的特征值。kk（2）若 非奇异，则 具有特征值 1/ 。A1（3）矩阵 的特征值为 。22证明 （1）用归纳法证明。先证明对 ， 是 的特征值。假定 是矩2u阵 的特征对，即 ，其中， 。此式两边左乘矩阵 后，得 ，uu0A()从而有2 2()(,Au0这意味着 是矩阵 的特征对。现在假定 是矩阵 的特征对，即2(,) 1k)1k成立。在此式两边左乘矩阵 ，立即有11kkAu1()(,kkkku赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）- 5 -这就证明了 是 的特征值。kA（2）因为 是矩阵 的的特征值，故 。若矩阵 可逆，则有det()0AA1 10det
15、()det() 当矩阵 可逆时，行列式 ，故上式意味着 ，或等价为0101det()0这表明，1/ 是矩阵 的特征值。1A（3） 令 是矩阵 的特征值，而 是矩阵 的特征值，则有2A和 。综合这两式，得 ，u2(u=2()Auu故 对矩阵 的每一个特征值均成立。A若 矩阵 具有 个不同的特征值 ，其中， ，则存在一mn12,n mn个非奇异的 矩阵 使得 ，其中， 为 Jordan 型，即T（*）10k 为块对角矩阵，定义为， 0100iii innn i 1,2ikn（*）式（*）所示矩阵分解称为 Jordan 型分解。Jordan 块矩阵主对角线的相同特征值重复出现的个数称为该特征值的几何
16、多重度（geometric multiplicity） 。in这是几何多重度的第二种定义。3 矩阵特征值的常规求法3.1 定义法求矩阵 的特征值和特征向量的定义法：A求出矩阵 特征多项式 的全部特征根，这些特征根就是矩阵fEA的特征值。例 1 已知矩阵，12求其特征值。解：因为特征多项式为赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）- 6 -赣南师范学院 2014 届本科生毕业论文（设计）- 7 -矩 阵 特 征 值 的 若 干 求 法 和 应 用 摘 要 ： 矩 阵 特 征 值 和 特 征 向 量 是 线 性 代 数 研 究 的 重 要 内 容 ， 并 在 其 他 领 域 也 有 着 非
17、常 重 要 的 研 究 价 值 .本 文 主 要 介 绍 了 矩 阵 特 征 值 和 特 征 向 量 的 四 种 求 解 方 法 ， 并 且 介 绍 了 特征 值 在 线 性 代 数 以 及 微 分 方 程 求 解 问 题 中 的 一 些 应 用 . 关 键 词 ： 矩 阵 ;特 征 值 ;特 征 向 量 Sevral ways and Aplications of Eigenvalue of the Matrix Abstract： Matrix is the main resarch tols of linear lgebra nd avanced algebra nd universit
18、es play vital role in atheatics, while in other ares also has very important resarch value. This paer describes the four method for solving the igenvalues and eignvectors, and introduces ome of the aplications of the igenvalue problem of linear lgebra nd iferntial equation solving. Key words： matrix; eignvalue; igenvector
