1、第 1页 共 16页 第 六 讲 利用导数研究函数的图像及零点问题 复习指导 本讲复习时 应注重 利用 导数 来 研究函数 图像与零点问题 复习中要注意等价转化 分类讨论等数 学思想的应用 基础梳理 1 确定函数的图像 特征点 零点 极值点 顶点 与 y 轴的交点 特征线 渐近线 对称轴 2 函数的 零点 求 函数的零点的知识提示 判别式 介值定理 单调性 两个注意 描绘函数的图像首先 确定 函数 的 定义域 注意利用函数的图像确定函数的零点 三个防范 常见函数的图像 函数 y aex bx c a 0 b 0 与函数 y ax b clnx a 0 c 0 的图像类似于二次函数 y ax2
2、bx c a 0 的图像 函数 y aex bx c a 0 b 0 与函数 y ax b clnx a 0 c 0 的图像类似于二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像 函数 y aex bx2 cx d a 0 b 0 与函数 y ax2 bx c dlnx a 0 d 0 的图像类似于二 次函数 y ax3 bx2 cx d a 0 的图像 第 2页 共 16页 函数 y aex bx2 cx d a 0 b 0 与函数 y ax2 bx c dlnx a 0 d 0 的图像类似于二 次函数 y ax3 bx2 cx d a 0 的图像 双基自测 画函数 y x 1 lnx 的图像
3、 画函数 y ex x2 的图像 画函数 y e x x的图像 画函数 y lnxx 的图像 关于 x 的方程 exlnx 1 的实根个数是 1 初等数学的方法能够解决的函数问题 定义域 奇偶性 周期性 对称轴 渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题 值域 单调性 零点 极值点 考点一 函数的图像问题 题型 画函数的图像 例 1 画函数 y ex x 1 的图像 练习 1 画函数 y x2ex 的图像 例 2 10 山东文理 函数 y 2x x2 的图像大致是 第 3页 共 16页 解 因当 x 2 或 4 时 2x x2 0 故排除 B C 当 x 2 时 2x x2 14 4 0 故
4、排除 D 故选 A 练习 2 画函数 y ex 12x2 x 的图像 画函数 y x2 lnx 的 图像 例 3 画函数 y xex 的图像 画函数 y xln x的 图像 练习 3 画函数 y xlnx 的 图像 画函数 y xex的图像 题型 识图 例 4 12 山东 函 数 cos622 xxxy 的图像大致为 解 函数为奇函数 故 图像 关于原点对称 排除 A 令 y 0 得 x 16k 12 函数零点有无穷 多个 排除 C 且 y 轴右侧第一个零点为 12 0 又 y 2x 2 x 为增函数 当 0 x 12时 y 2x 2 x 0 cos6x 0 故 函数 0 22 6cos xx
5、 xy 排除 B 选 D 练习 4 11 山东理 函 数 y x2 2sinx 的 图像 大致是 解 函数 y x2 2sinx 为奇函数 且 y 12 2cosx 令 y 0 得 cosx 14 由于函数 y cosx 为周 期函数 而当 x 2 时 y x2 2sinx 0 当 x 2 时 y x2 2sinx 0 则答案应选 C 题型 用图 第 4页 共 16页 例 5 南京市 2013 届高三 9 月学情调研 2012 09 已知函数 f x 2x2 m 的 图像 与函数 g x ln x 的 图像 有四个交点 则实数 m 的取值范围 为 12 ln2 练习 5 已知 使 函数 f x
6、 x3 ax2 1 0 a M0 存在整数零点 的 实数 a 恰有 3 个 则 M0的取值 范围是 269 63 116 考点 二 函数的 零点 问题 题型 判断已知函数的零点所在区间 例 6 09 天津理 设函数 f x x3 lnx 则 y f x 的零点个数是 解 f x 1x x3 1 令 f x 0 得 x 3 令 f x 0 得 0 x 3 令 f x 0 得 x 3 故知函 数 y f x 在区间 0 3 上为减函数 在区间 3 为 增函数 在点 x 3 处有极小值 1 ln3 0 故 有 两个 零点 分别在 1 e 和 3 上 练习 6 已知函数 f x x4 9x 5 则 y
7、 f x 的图像在区间 1 3 内与 x 轴交点的个数 为 解 f x 4x3 9 令 f x 0 得 x 94 13 1 故 在区间 1 3 内 f x 0 即 y f x 在区 间 1 3 上单调递增 故 y f x 的图像在区间 1 3 内与 x 轴交点的个数为 1 题型 已知函数的零点的情况 求参数的范围 例 7 已知函数 f x kx g x lnxx 如果关于 x 的方程 f x g x 在区间 1e e 内有两 个 实数解 那么实数 k 的取值范围是 法一 方程 f x g x 在区间 1e e 内有两个实数解 即 k lnxx2 在区间 1e e 内有两个实数解 令 h x l
8、nxx2 则 h x 1x3 1 2lnx 令 h x 0 得 x e 则函数 h x 在 1e e 上单调递增 在 e e 上单调递减 故 h x max h e 12e 而 h 1e e2 h e 1e2 要使得方程 f x g x 在区间 1e e 内有两个实数解 故 k 的取值范围是 1e2 12e 法二 易知 g x lnxx 的经过原点的切线为 y 12ex 而点 1e e 与 e 1e 与原点连线 的 斜率分别 为 e2 与 1e2 故 k 的取值范围是 1e2 12e 练习 7 已知 f x ax2 a R f x 2lnx 讨论函数 F x f x g x 的单调性 若方程
9、f x g x 在区间 2 e 上 有 两个不等的实数解 求实数 a 的取值范围 第 5页 共 16页 解 F x f x g x ax2 2lnx 则 F x 2ax x2 1a 当 a 0 时 F x 0 F x 在 0 上单调递减 当 a 0 时 F x 2ax x 1a x 1a 在 0 1a 上 F x 0 则 F x 在 0 1a 上单调 递减 在 1a 上 F x 0 则 F x 在 1a 上单调递增 解 一 方程 f x g x 在区间 2 e 上由两个不等的实数解 即 F x 0 在区间 2 e 上有两 个不等的实数解 则 2 0 0 1 0 1 2 F Fe F a e a
10、 解得 ln22 a 1e 解 二 方程 f x g x 在区间 2 e 上由两个不等的实数解 即 a 2ln xx2 在区间 2 e 上有两个 不等的实数解 设 p x 2ln xx2 则 p x 2x3 1 2lnx 令 p x 0 得 x e 则在 2 e 上 p x 0 p x 在 2 e 上单调递增 在 e e 上 p x 0 则 p x 在 e e 上单调递减 故 p x max p e 1e 而 p 2 ln22 p e 1e2 故实数 a 的取值范围为 ln22 1e 例 8 已知 f x x2 ax 2lnx a R 当 a 2 时 求函数 y f x 在 x 1 处的切线方
11、程 若 函数 g x f x ax m 在区间 1e e 上由两个不等的 零点 求实数 m 的 取 值范围 解 当 a 2 时 f x x2 2x 2lnx 则 f x 2x 2 2x 则 f 1 2 f 1 2 故函数 y f x 在 x 1 处的切线方程为 y 2x 解 一 g x x2 m 2lnx 则 g x 2x x 1 x 1 故在 1e 1 上 g x 0 故 g x 在区 间 1e 1 上单调递增 在 1 e 上 g x 0 故 g x 在区间 1 e 上单调递减 故 g x max g 1 m 1 而 g 1e m 2 1e2 g e m 2 e2 由函数 g x f x a
12、x m 在区间 1e e 上由两个不等的 零点 则 g x max g 1 m 1 0 g 1e m 2 1e2 0 故实数 m 的取值范围为 1 m 2 1e2 解 二 方程 g x x2 m 2lnx 0 即 m x2 2lnx 令 h x x2 2lnx 则 h x 2x x 1 x 1 令 h x 0 得 x 1 h x 在区间 1e 1 上 单调递减 在 1 e 上单调递增 故 h x min h 1 1 而 h 1e 2 1e2 h e e2 2 由方程 g x f x ax m 在区间 1e e 上由两个不等的零点 得 1 m 第 6页 共 16页 2 1e2 题型 判断函数有零
13、点的条件 例 9 设函数 f x x3 2ex2 mx lnx 记 g x f x x 若函数 g x 至少存在 一 个零点 则实数 m 的取值范围是 解 g x x2 2ex m lnxx 则 g x 2 x e 1x2 1 lnx 在 0 e 上 g x 0 g x 单调递 减 在 e 上 g x 0 g x 单调递增 故 g x min g e m e2 1e 由 函数 g x 至少存在 一 个 零点 知 g x min g e m e2 1e 0 解得 m e2 1e 即 实数 m 的取值范围是 e2 1e 练习 9 已知函数 f x ax2 x ex 其中 e 是自然数的底数 a R
14、 当 a 0 时 解不等式 f x 0 若当 x 1 1 时 不等式 f x 2ax 1 ex 0 恒成立 求 a 的取值范围 当 a 0 时 试判断 是否存在整数 k 使得方程 f x x 1 ex x 2 在 k k 1 上有解 若存在 请写出所有可能的 k 的值 若不存在 说明理由 解 ax2 x ex 0 因 ex 0 故 ax2 x 0 又 a 0 故 解集为 x 0 x 1a 当 x 1 1 时 即不等式 ax2 2a 1 x 1 0 恒成立 若 a 0 则 x 1 0 该不等式满足在 x 1 1 时恒成立 若 a 0 由于 4a2 1 0 故 g x ax2 2a 1 x 1 有
15、两个零点 则需满足 0 1 0 2 1 2 a g aa 即 0 0 2 1 2 a a aa 此时 a 无解 若 a 0 则需满足 0 1 0 1 0 a g g 即 0 0 2 3 a a a 故 23 a 0 综上所述 a 的 取值范围是 23 a 0 方程即为 ex x 2 0 设 h x ex x 2 由于 y ex 和 y x 2 均为增函数 则 y h x 也是 增函数 又 因 h 0 1 0 h 1 e 1 0 故 该函数的零点在区间 0 1 上 又由于函数为增函 数 故 该函数有且仅有一个零点 故 方程 ex x 2 0 有且仅有一个根 且在 0 1 内 故 存在唯 一的整数
16、 k 0 题 型 讨论含有参数的函数的零点 例 10 讨论方程 x3 3ax 2 0 a 0 的解的个数 第 7页 共 16页 解 设 f x x3 3ax 2 则 f x 3 x a x a 知 y f x 在 a 上单调递增 y f x 在 a a 上单调递减 y f x 在 a 上单调递增 y f x 的极大值为 f a 2 2a a 极小值为 f a 2 2a a 当 极小值 f a 2 2a a 0 时 即 0 a 1 方程仅有一个实数根 当 极小值 f a 2 2a a 0 时 即 a 1 方程仅有三个实数根 练习 10 已知函数 f x 12x2 kx lnx k 为常数 若 函
17、数 y f x 存在极值 则函数 y f x 的零点 个数 解 易知 当 k 2 时 y f x 有极值 因 x1 2 2 422 4kk kk 2k 1 故 lnx1 0 且函数 y f x 的极大值为 f x1 12x21 kx1 lnx1 12x21 2x1 12x1 x1 4 0 因函数 y f x 在 0 x1 是增函数 在 x1 x2 是减函数 故 当 x 0 x1 时 f x f x1 0 即 f x 在 0 x1 无零点 当 x x2 时 函数 y f x 是增函数 故函数 y f x 在 x2 至多有一个零点 另一方面 因 f 2k ln2k 0 f x2 0 则 f x2
18、f 2k 0 由零点定理得 函数 y f x 在 x2 2k 至少有一个零点 故 函数 y f x 在 x2 有且只有一个零 点 综上所述 当函数 y f x 存在极值时 函数 y f x 有 且只有一个零点 题型 函数的零点的综合问题 例 11 10 浙江文 已知函数 f x x a 2 x b a b R a b 当 a 1 b 2 时 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 设 x1 x2 是 f x 的两个极值点 x3 是 f x 的一个零点 且 x3 x1 x3 x2 证明 存在实数 x4 使得 x1 x2 x3 x4 按某种顺序排列后 成 等差数列 并求 x4 解 当
19、a 1 b 2 时 因 f x 3 x 1 x 53 故 f 2 1 f 2 0 故 y f x 在点 2 0 处的切线方程为 y x 2 证 f x 3 x a x 13 a 2b 由于 a b 故 a 13 a 2b 则 y f x 的两个极值点为 x a x 13 a 2b 不妨设 x1 a x2 13 a 2b 因 x3 x1 x3 x2 且 x3 是 y f x 的零点 故 x3 b 又 1 3 a 2b a 2 b 1 3 a 2b x4 1 2 a 1 3 a 2b 1 3 2a b 故 a 1 3 2a b 1 3 a 2b b 依次成 等差数列 故 存在实数 x4 满足题意
20、且 x4 13 2a b 作业 1 设 a b 函数 y x a 2 x b 的图像可能是 第 8页 共 16页 解 y 3 x a x 13 a 2b 由 y 0 得 x a x 13 a 2b 故当 x a 时 y 取极大值 0 当 x 13 a 2b 时 y 取极小值且极小值为负 故选 C 或当 x b 时 y 0 当 x b 时 y 0 选 C 2 设函数 f x ax3 bx2 cx d a b c d R 对任意的实数 x 有 3f x 2f x 5x2 2x 15 恒成立 且 f 0 2 求 f x 的表达式 设 g x 2mf x 6m 8 x 6m 1 h x mx 若对于任
21、意 x y g x 和 y h x 的值至 少 有一个正数 求实数 m 的 取值范围 3 如果对于函数 y f x 的定义域内任意的 x1 x2 都有 f x1 f x2 x1 x2 成立 那么就称函 数 y f x 是定义域上的 平缓函数 判断函数 f x x2 x x 0 1 是否是 平缓函数 若函数 y f x 是闭区间 0 1 上的 平 缓 函数 且 f 0 f 1 证明 对于任意的 x1 x2 0 1 都有 f x1 f x2 12成立 设 a m 为实常数 m 0 若 f x alnx 是区间 m 上的 平 缓 函数 试估计 a 的取 值范围 用 m 表示 不必证明 解 x1 x2
22、 0 1 有 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 1 从而 f x1 f x2 x21 x1 x22 x2 x1 x2 x1 x2 1 x1 x2 故 函数 f x x2 x x 0 1 是 平缓函数 当 x1 x2 12时 由已知得 f x1 f x2 x1 x2 12 当 x1 x2 12时 因 x1 x2 0 1 不妨设 0 x1 x2 1 其中 x2 x1 12 因 f 0 f 1 故 f x1 f x2 f x1 f 0 f 1 f x2 f x1 f 0 f 1 f x2 x1 0 1 x2 x1 x2 1 12 1 12 故 对 于任意的 x1 x2 0 1 都有 f x1
23、f x2 12成立 结合函数 f x alnx 的 图像 性质及其在点 x m 处的切线斜率 估计 a 的取值范围是闭区间 m m 4 方程 2x3 6x2 7 0 在 0 2 内根的个数是 解 设 f x 2x3 6x2 7 则 f x 6x x 2 知 y f x 在 0 2 上单调递减 f 0 7 f 2 1 故方程 2x3 6x2 7 0 在 0 2 内根的个数是 1 5 已知 y f x 是定义在 0 0 上的奇函数 当 x 0 时 f x ax lnx 若函数 y f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点 则实数 a 的取值范围是 0 1e 6 7 2010 福建 函数 f x
24、x2 2x 3 x 0 2 ln x x 0 的零点个数为 第 9页 共 16页 A 3 B 2 C 7 D 0 8 已知函数 f x x a 2 x g x x lnx 其中 a 0 若 x 1是函数 h x f x g x 的极值点 求实数 a的值 若函数 x f x g x 在 e e2 e为自然对数的底数 上存在零点 求实数 a的取值范围 解 因 h x 2x a 2 x lnx 其定义域为 0 故 h x 2 1 x a x 2 因 x 1是函数 y h x 的极值点 故 h 1 0 即 3 a2 0 因 a 0 故 a 3 经检验当 a 3时 x 1是函数 y h x 的 极值点
25、故 a 3 由题意 可知方程 a 2 x lnx在区间 e e2 上有根 因 y a2 x 在 e e2 上是单调减函数 y lnx在 e e2 上是单调 增 函数 故 2 2 2 1 2 a e a e 故 a e 2e 9 设函数 f x x x 1 m g x lnx 当 m 1 时 求函数 y f x 在 0 m 上的最大值 记函数 p x f x g x 若函数 y p x 有零点 求 m 的取值范围 解 当 x 0 1 时 f x x 1 x m x 12 2 m 14 故当 x 12时 f x max m 14 当 x 1 m 时 因函数 y f x 在 1 m 上单调递增 故
26、f x max m2 由 m2 m 14及 m 1 故 m 2 12 故当 m 2 12 时 f x max m2 当 1 m 2 12 时 f x max m 14 函数 y p x 有 零 点即方程 f x g x m x x 1 lnx 0 有解 即 m x x 1 lnx 有解 令 h x x x 1 lnx 当 x 0 1 时 h x x2 x lnx 因 h x 2x 1x 1 2 2 1 0 故 y h x 在 0 1 上是增函数 故 h x h 1 0 当 x 1 时 h x x2 x lnx 因 h x 2 x x 1 2 x 1 0 故函数 y h x 在 1 上是减函数
27、故 h x h 1 0 故方程 m x x 1 lnx 有解时 m 0 即函数 y p x 有零点时 m 0 10 徐州 12 一检 12 01 已知函数 f x ax2 x ex 其中 e 是自然数的底数 a R 当 a 0 时 解不等式 f x 0 若 y f x 在 1 1 上 是单调增函数 求 a 的取值范围 当 a 0 时 求整数 k 的所有值 使方程 f x x 2 在 k k 1 上有解 解 因 ex 0 故 不等式 f x 0 即为 ax2 x 0 又 a 0 故 不等式可化为 x x 1a 0 故 不等式 f x 0 的解集为 0 1a f x ax2 2a 1 x 1 ex
28、 当 a 0 时 f x x 1 ex f x 0 在 1 1 上恒成立 当且仅当 x 1 时取等号 故 a 0 符合要求 当 a 0 时 令 g x ax2 2a 1 x 1 因 4a2 1 0 故 g x 0 有两 个 不相等的实数根 x1 x2 不妨设 x1 x2 因此 y f x 有极大值又有极小值 若 a 0 因 g 1 g 0 a 0 故 y 第 10页 共 16页 f x 在 1 1 内有极值点 故 f x 在 1 1 上不单调 若 a 0 可知 x1 0 x2 因 y g x 的 图像 开口向下 要使 y f x 在 1 1 上单调 因 g 0 1 0 必须满足 1 0 1 0
29、gg 故 23 a 0 综上可知 a 的取值范围是 23 0 当 a 0 时 方程即为 xex x 2 由于 ex 0 故 x 0 不是方程的解 故 原方程等价于 ex 2x 1 0 令 h x ex 2x 1 因 h x ex 2x2 0 对于 x 0 0 恒成立 故 y h x 在 0 和 0 内是单调增函数 又 h 1 e 3 0 h 2 e2 2 0 h 3 1e3 13 0 h 2 1e2 0 故 方程 f x x 2 有且只有两个实数根 且分别在区间 1 2 和 3 2 上 故 整数 k 的所有值为 3 1 11 已知函数 f x 23x3 12x2 x 1 x R 求函数 f x
30、 的极大值和极小值 已知 x R 求函数 f sinx 的最大值和最小值 若函数 g x f x a 的 图像 与 x 轴有且只有一个交点 求 a 的取值范围 解 f x 2 x 12 x 1 故 f x 的极大值为 f 12 1324 f x 的极小值为 f 1 16 令 t sinx t 1 1 则 f sinx f t 23t3 12t2 t 1 由 知 f t 在 1 12 上单调递增 在 12 1 上单调递减 因 f 1 56 f 12 1324 f 1 16 故 f sinx 的最大值为 1324 最小值为 16 由 得 g 12 1324 a 0 或 g 1 16 a 0 故 a
31、 1324或 a 16 12 已知函数 f x 13x3 x2 ax a a R 当 a 3 时 求函数 y f x 的极值 若函数 y f x 的 图像 与 x 轴 有且只有一个交点 求 a 的 取值范围 解 当 a 3 时 f x 13x3 x2 3x 3 故 f x x 1 x 3 令 f x 0 得 x1 1 x2 3 当 x 1 时 f x 0 则 y f x 在 1 上单调递增 当 1 x 3 时 f x 0 则 y f x 在 1 3 上单调递减 当 x 3 时 f x 0 y f x 在 3 上单调递增 故 当 x 1 时 y f x 取得极大值为 f 1 143 当 3x 时
32、 y f x 取得极小值为 f 3 6 因 f x x2 2x a 故 4 1 a 若 a 1 则 0 故 f x 0 在 R 上 恒成立 故 y f x 在 R 上单调递增 因 f 0 a 0 f 3 2a 0 故 当 a 1 时 函数 y f x 的 图像 与 x 轴有 且只有一个交点 若 a 1 则 0 故 f x 0 有两个不相等的实数根 不妨设为 x1 x2 x1 x2 故 x1 x2 2 x1x2 a 当 x 变化时 f x f x 的取值情况如下表 第 11页 共 16页 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 因 x21 2x1 a 0
33、故 a x21 2x1 即 f x1 13x1 x21 3 a 2 同理 f x2 13x2 x22 3 a 2 故 f x1 f x2 19x1x2 x21 3 a 2 x22 3 a 2 49a a2 3a 3 令 f x1 f x2 0 解得 a 0 而当 0 a 1 时 f 0 a 0 f 3 2a 0 故当 0 a 1 时 函数 y f x 的 图像 与 x 轴 有且只有一个交点 综上 所述 a 的 取值范围是 0 12 13 常州中学高三 上 期中 理 13 已知函数 f x ax3 bx2 b a x a b 是不同时为零的常数 其导函数为 y f x 当 a 13时 若存在 x
34、 3 1 使得 f x 0 成立 求 b 的取值范围 求证 函数 y f x 在 1 0 内至少有一个零点 若函数 y f x 为奇函数 且在 x 1 处的切线垂直于直线 x 2y 3 0 关于 x 的方程 f x 14t 在 1 t t 1 上有且只有一个实数根 求实数 t 的取值范围 解 当 a 13时 f x x b 2 b2 b 13 其对称轴为直线 x b 当 2 3 0bf 解得 b 26 115 当 2 1 0bf 无解 故 b 的取值范围是 26 115 因 f x 3ax2 2bx b a 当 a 0 时 x 12适合题意 当 a 0 时 3x2 2bax ba 1 0 令
35、t ba 则 3x2 2tx t 1 0 令 h x 3x2 2tx t 1 因 f 12 14 0 当 t 1 时 h 0 t 1 0 故 y h x 在 12 0 内有零点 故 当 a 0 时 y h x 在 1 0 内至少有一个零点 综 上可知 函数 y f x 在 1 0 内至少有一个零点 法二 f 0 b a f 1 2a b f 13 13 b 2a 由 a b 不同时为零 故 f 13 f 1 0 故结论成立 因函数 f x ax3 bx2 b a x 为奇函数 故 b 0 故 f x a x3 x 又 y f x 在 x 1 处的 切线垂直于直线 x 2y 3 0 故 a 1
36、即 f x x3 x 因 f x 3 x 33 x 33 故 y f x 在 33 33 上是增函数 在 33 33 上是减函数 由 f x 0 解得 x 0 x 1 当 1 t 33 时 f t 14t 0 即 t3 t 14t 解得 32 t 33 当 33 t 0 时 f t 14t 0 解得 33 t 0 当 t 0 时 显然不成立 当 0 t 33 时 f t 14t 0 即 t3 t 第 12页 共 16页 14t 解得 0 t 33 当 t 33 时 f t 14t 0 故 33 t 32 故所求 t 的取值范围是 32 t 0 或 0 t 32 14 已知函数 f x x2 2
37、alnx a 0 若关于 x 方程 f x 2ax 有惟一解 求 a 的值 解 记 g x f x 2ax x2 2ax 2alnx 则 g x 2x x2 ax a 若方程 f x 2ax 有惟一解 即 g x 0 有惟一解 令 g x 0 得 x2 ax a 0 因 a 0 x 0 故 2 1 4 02a a ax 舍 2 2 42a a ax 当 x 0 x2 时 g x 0 g x 在 0 x2 上是单调减函数 当 x x2 时 g x 0 g x 在 x2 上是单调增函数 当 x x2 时 g x 0 故 g x min g x2 因 g x 0 有惟一解 故 g x2 0 则 2
38、2 0 0gxgx 即 22 2 2 222 2 ln 2 0 0 x a x a x x a x a 两式相减得 ax2 a alnx2 0 因 a 0 故 x2 1 2lnx2 0 设函数 h x x 1 2lnx 因在 x 0 时 h x 是增函数 故方程 h x 0 至多有一解 因 h 1 0 故方程 的解为 x2 1 从而解得 a 12 15 已知函数 f x x2 ax a ex 其中 a 是常数 当 a 1 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处 的切线方程 若存在实数 k 使得关于 x 的方程 f x k 在 0 上有两个不相等的实数根 求 k 的取 值范围 解 由 f
39、x x2 ax a ex 得 f x x2 a 2 x ex 当 a 1 时 f 1 e f 1 4e 故曲 线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 y e 4e x 1 即 y 4ex 3e 令 f x 0 得 x 0 或 x a 2 当 a 2 0 即 a 2 时 在区间 0 上 f x 0 故 f x 是 0 上的增函数 故方程 f x k 在 0 上不可能有两个不相等的实数根 当 a 2 0 即 2a 时 f x f x 随 x 的 变化情况如下表 x 0 0 a 2 a 2 a 2 f x 0 0 f x a a 4 e a 2 由上表可知函数 y f x 在 0 上的最小
40、值为 f a 2 a 4 e a 2 因函数 y f x 是 0 a 2 上的减函数 是 a 2 上的增函数 且当 x a 时 有 f x e a a a 故要 使方程 f x k 在 0 上有两个不相等的实数根 k 的取 值 范围必须是 a 4 e a 2 a 泰州中学 2012 届高三上学期期中 16 已知 f x ex kx 若 k e3 求 y f x 的单调区间 若对任意 x R 有 f x 0 恒成立 求 k 的取值范围 若 f x 0 有两相异实根 求 k 的取值范围 解 因 f x ex e3x 故 f x ex e3 令 f x 0 得 ex e3 0 x 3 故 y f x
41、 的单调増 区间为 3 y f x 的单调减区间为 3 对任意 x R 有 f x 0 恒成立 即对任意的 x 0 有 f x 0 恒成立 即 x 0 时 f x min 0 又 f x ex k 当 k 0 时 x 0 有 f x 0 y f x 在 0 上为增函数 故 f x min f 0 1 0 满足题意 当 k 1 时 令 f x 0 得 故 x lnk 0 故 y f x 在 x lnk 时取得最小值 故 f x min 第 13页 共 16页 f lnk k 1 lnk 因 f x min 0 故 k 1 lnk 0 即 k e 综上 当 k e 时 有对任意的 x 都 有 f
42、x 0 恒成立 若 f x 0 有两个相异实根 又 f x 0 至多只有一解 故 y f x 的极小值存在且小于 0 即 k 0 且 f x min f lnk k 1 lnk 0 因 k 0 故 1 lnk 0 即 lnk 1 故 k e 故当 k e 时 f x 0 有两个相异实根 17 已知函数 f x x2 2ex t 1 g x x e 2 x x 0 其中 e 表示自然对数的底数 若 g x m 有零点 求 m 的取值范围 确定 t 的取值范围 使得 g x f x 0 有两个相异实根 解一 因 g x x e 2 x 2 e2 2e 等号成立的条件是 x e 故 g x 的值域是
43、 2e 因 而只需 m 2e 则 g x m 就有零点 解二 作出 g x x e 2 x的 图像 如图 可知若使 g x m 有零点 则只需 m 2e 解三 由 g x m 得 x2 mx e2 0 此方程有大于零的根 故 m2 0 m2 4e2 0 等价于 m 0 m 2e或 m 2e 故 m 2e 若 g x f x 0 有两个相异的实根 即 g x f x 中函数 g x 与 f x 的 图像 有两个不同的交点 作出 g x x e 2 x x 0 的 图像 因 f x x e 2 t 1 e2 其对称轴为 x e 开口向下 最大值 为 t 1 e2 故当 t 1 e2 2e 即 t
44、e2 2e 1 时 g x 与 f x 有两个交点 即 g x f x 0 有 两个相异实根 故 t 的取值范围是 e2 2e 1 18 已知函数 f x x 1 x 1 lnx 若 2xf x 2f x x a 在 1 3 上恰 有 两个相异实数根 求 a 的取值范围 解 2xf x 2f x x a 即 a x 2lnx 法一 令 g x x 2lnx 则 g x 1x x 2 g x 在区间 1 2 上单调递减 在 2 3 上单调递增 故 g x min g 2 2 1 ln2 而 g 1 1 g 3 3 2ln3 由 2xf x 2f x x a 在 1 3 上恰有两 个相异实数根 故
45、 a 的取值范围 为 2 2ln2 3 2ln3 法二 2xf x 2f x x a 即 2lnx x a 而 曲线 y 2lnx 的斜率为 1 的切线为 y x 2 ln2 而曲线 y 2lnx 的过点 1 0 的斜率为 1 割线为 y x 1 过点 3 2ln3 的斜率为 1 割线为 y x 3 2ln3 由 2xf x 2f x x a 在 1 3 上恰有两个相异实数根可知 3 2ln3 a 2 2ln2 故 a 的取值范围 为 2 2ln2 3 2ln3 19 已知函数 f x x4 4x3 ax2 1 在区间 0 1 上单调递增 在区间 1 2 上单调递减 求 a 的值 求证 x 1
46、 是该函数的一条对称轴 第 14页 共 16页 是否存在实数 b 使函数 g x bx2 1 的 图像 与函数 y f x 的 图像 恰好 有 两个交点 若存 在 求出 b 的值 若不存在 请说明理由 解 f x 4x3 12x2 2ax 因 y f x 在区间 0 1 上单调递增 在 1 2 上单调递减 故当 x 1 时 y f x 取得极大值 故 f x 0 即 f 1 0 故 a 4 设点 A x0 f x0 为 y f x 上的任意一点 它关于 x 1 的对称点的坐标为 B 2 x0 f x0 因 f 2 x0 f x0 故 x 1 为 y f x 的图像的一条对称轴 由 g x bx
47、2 1 与 f x x4 4x3 4x2 1 的图 像恰有 2 个不同的 交点对应于方程 bx2 1 x4 4x3 4x2 1 恰有 2 个不同的实根 即 x4 4x3 4 b x2 0 故 x 0 是一个根 当 x 0 时 b 4 故当 x 0 时 方程有等根 b 0 故 b 4 或 b 0 为所求 20 已知函数 ln 0 ln 0 x x xfx x x x 判断函数 y f x 的奇偶性 求 y f x 的单调区间 若关于 x 的 方程 f x k 恰有三个不同的根 求实数 k 的取值范围 解 当 x 0 时 x 0 因 f x xlnx f x xlnx 故 f x f x 当 x
48、0 时 x 0 因 f x xln x f x xln x 故 f x f x 故 y f x 是奇函数 当 x 0 时 f x xlnx f x 1 lnx 令 f x 0 得 0 x 1e 故 当 x 0 1e 时 y f x 是减 函数 令 f x 0 得 x 1e 故 当 x 1e 时 y f x 是增函数 又 y f x 是奇函数 故 当 x 1e 0 时 y f x 是减函数 x 1e 时 y f x 是增函数 故 y f x 的单调减区间为 1e 0 0 1e 单调增区间为 1e 1e 考察 y f x 的 图像 变化 由 知 当 x 0 1e 时 y f x 由 0 递减到 f
49、 1e 1e 当 x 1e 时 y f x 由 f 1e 递增到 当 x 1e 时 y f x 由 递增到 f 1e 1e 当 x 1e 0 时 y f x 由 f 1e 递减到 0 因方程 f x k 恰有三个不同的根 故 y f x 的 图像 与 y k 的 图像 应有 3 个不同的交点 故 1e k 0 或 0 k 1e 连云港市 12 13 第一次高三期末 21 已知函数 f x 13x3 mx2 x 13m 其中 m R 求函数 y f x 的单调区间 若对任意的 x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 4 求实数 m 的取值范围 求函数 f x 的零点个数 解 f x x2
50、2mx 1 由 f x 0 得 x m m2 1 或 x m m2 1 故 函数 f x 的单 第 15页 共 16页 调增区间为 m m2 1 m m2 1 减区间 m m2 1 m m2 1 对任 意 的 x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 4 等价于 函数 y f x x 1 1 的 最大值与最小值的差小于等于 4 对于 f x x2 2mx 1 对称轴 x m 当 m 1 时 f x 的最大值为 f 1 最小值为 f 1 由 f 1 f 1 4 即 4m 4 解得 m 1 舍去 当 1 m 1 时 f x 的最大值为 f 1 或 f 1 最小值为 f m 由 f 1 f m
