1、1 专题七 数列 第一讲 真题示例 对应教材 题材评说 (2014高考课标全国卷 ， 12分 )已知数列 an满足 a1 1，an 1 3an 1， (1)证明 an 12是等比数列 ，并求 an的通项公式； (2)证明： 1a1 1a2 1an1)； (2)a1 14， an 1 1an 1(n1). 将特殊问题一般化 ， 是命题制作的有效途径 体现了特殊与一般的结合 . 教材变式训练 一、选择题 变 式 1 已知 an是等比数列 ， an0， 且 a25 a3a7 8.则 log2a1 log2a2 log2a9( ) A 8 B 9 C 10 D 11 变式 2 Sn 是等差数列 an的
2、前 n 项之和 ， 若 S7 S2 45， 则 S9 为 ( ) A 54 B 63 C 72 D 81 变式 3 已知 p：数列 an是等差数列 ， q：数列 an的通项公式 an k1n k2(k1， k2均为常数 )， 则 p 是 q 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 变 式 4 在等比数列 an中 ， an0， a5 a1 15， a4 a2 6， 设 bn log2an， bn的前n 项和为 Sn， 则 Sn10 时 n 的最小值为 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 变 式 5 已知 Sn 是等比数列 an的前 n 项和
3、 ， 且 S3， S9， S6 成等差数列 ， 下列结论正确的是 ( ) A a1， a7， a4 成等差数列 B a1， a7， a4 成等比数列 C a1， 2a7， a4 成等差数列 D a1， 2a7， a4 成等比数列 变 式 6 数列 7， 77， 777， 7 777， 的通项公式是 ( ) A an 7(10n 1 1) B an 79(10n 1) C an 79(10n 1 1) D an 7(10n 1) 二、填空题 变式 7 等差数列 an的前 n项和为 Sn， 已知 S6 20， S12 50， 则 S18的值为 _ 变式 8 在等比数列 an中 ， an0， a5
4、a1 15， a4 a2 6， 则 a3 _ 三、解答题 变 式 9 在等差数列 an中 ， 公差为 d 0， a1 2 且 a5 是 a3 与 a8 的等比中项 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 1（ an 1） an， 求数列 bn的前 2 016 项的和 2 变式 10 已知数列 an， a1 12， an 4an 1 1. (1)是否存在常数 C， 使 an C是等比数列 ， 若存在 ， 求出 C， 若不存在 ， 说明理由； (2)求数列 an的通项公式与前 n 项和 Sn. (时间： 45 分钟 满分： 60 分 ) 一、选择题 1 已知数列 an是等差数列 ， 且 a
5、3 3， a7 11， 则 an的公差 d 为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 2 已知等差数列 an中 ， a4 a5 a3， a7 2， 则 a9 ( ) A 8 B 6 C 4 D 2 3 在等比数列 an中 ， a1 27， a4 a3a5， 则公比 q ( ) A. 181 B 127 C.19 D 13 4 若数列 an的前 n 项和 Sn n2 6n(n N*)， 则数 列 nan中数值最小的项是 ( ) A 第 2 项 B 第 3 项 C 第 4 项 D 第 5 项 5 已知 an是正项等比数列 ， a2a4 2a3a6 a5a7 49， 则 a3 a6 等于 ( )
6、A 49 B 7 C 7 D 7 6 等差数列 an的前 m 项和为 40， 前 2m 项和为 120， 则它的前 3m 项和为 ( ) A 130 B 170 C 210 D 240 7 一个等差数列的前 20 项之和为 354， 前 20 项中偶数项的和与奇数项的和之比为32 27， 则该数列的公差 d 等于 ( ) A 1 B 3 C 5 D 7 8 两个等差数列 an和 bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn， 且 SnTn 5n 2n 3 ， 则 a2 a20b7 b15 ( ) A.10724 B 724 C.14912 D 1493 9 设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 an
7、的前 n 项和 ， 若 a1 2a8 3a4， 则 S8S16 ( ) A. 310 B 13 C.19 D 18 10 在单调递减的等比数列 an中 ， 若 a3 1， a2 a4 52， 则 a1 ( ) A 2 B 4 C. 2 D 2 2 3 二、填空题 11 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S3 6， S4 12， 则 S6 _ 12 等差数列 an中 ， a1 12 016， am 1n， an 1m(m n)， 则数列 an的公差 d 为 _ 13 已知等比数列 an， 其前 n 项和为 Sn， a1 a2 34， a4 a5 6， 则 S6 _ 14 已知数列 an是
8、等比数列 ， 若 a4 32， a6 6， 则 a10 _ 三、解答题 15 已知等差数列 an中 ， a1 1， 其前 n 项和 Sn 满足 Sn 4 Sn2 Sn 2 4(n N*) (1)求数列 an的通项公式； (2)令 bn 1anan 1， 求数列 bn的前 n 项和 Tn. 16 已知正整数数列 an是首项为 2 的等比数列 ， 且 a2 a3 24. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2n3an， 求数列 bn的前 n 项和 Tn. 4 数列 第二讲 真题示例 对应教材 题材评说 (2014高考课标全国卷 ， 12分 )已知 an是递增的等差数列 ， a2， a4
9、 是方程 x2 5x 6 0 的根 . (1)求 an的通项公式； (2)求数列 an2n 的前 n 项和 . 数列 an是等差数列 ， a1f(x 1)， a2 0， a3 f(x 1)，其中 f(x) x2 4x 2， 求通项公式 an. 函数、方程与数列有亲密无间的关系 ， 利用函数、方程的相关知识点为背景产生的数列问题具有生命力极强的特点 . 教材变式训练 变式 1 在等比数列 an中 ， an0， 1a1， 1a2， 1a2 1 成等差数列 ， 且 a1 2a2 2. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn log12an， 求数列 anbn的前 n 项 和 变式 2 两个等
10、差数列 an与 bn的前 3 项分别为 2， 6， 10 与 2， 8， 14， 由这两个等差数列的公共项从小到大的顺序构成一个新数列 cn (1)求数列 cn的通项公式； (2)若 nm) a， 则 P(6 m)等于 _ 9 某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的期望 E() 8.9， 则 y 的值为 _ 10 随机变量 的 概率分布由下表给出： x 7 8 9 10 P( x) 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量 的均值是 _ 三、解答题 11 一个盒子里装有 7 张卡片 ， 其中有红色卡片 4 张 ， 编号分别为 1， 2，
11、 3， 4；白色卡片 3 张 ， 编号分别为 2， 3， 4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同 ) (1)求取出的 4 张卡片中 ， 含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中 ， 红色 卡片编号的最大值设为 X， 求随机变量 X 的分布列和数学期望 12 在某次数学考试中 ， 考生的成绩 服从一个正态分布 ， 即 N(90， 100) (1)试求考试成绩 位于区间 (70， 110)内的概率是多少？ (2)若这次考试共有 2 000 名考生 ， 试估计考试成绩在 (80， 100)间的考 生大约有多少人？ 13 在某中学举办的校园文化周活动中 ，
12、 从周一到周五的五天中 ， 每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加 ， 要求每位学生必须参加三项活动 ， 其中甲同学必须参加周一的活动 ， 不参加周五的活动 ， 其余的三天的活动随机选择两项参加 ， 乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加 (1)求甲同学选周三的活动且乙同学 未选周三的活动的概率； (2)设 X 表示甲、乙、丙三名同学选择周三的活 动的人数之和 ， 求 X 的分布列和数学期望 14 某学校有两个相互独立的安全防范系统 (简 称系统 )A 和 B， 系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 110和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
13、 4950， 求 p 的值； (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ， 求 的概率分布列及数学期望 E()； (3)如果 A， B 系统各发生一次故障的维修费分别为 100 元与 50 元 ， 则若对两系统独立检验 1 次时 ， 求维修费用 X 的分布列和数学期望 17 15 心理学分析发现视觉和空间能力与性别有关 ， 某数学兴趣小组为了验证这个结论 ，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20)， 给所有同学几何题和代数题各一题 ， 让各位同学自由选择一 道题进行解答 选题情况如下表： (单位：人 ) 几何题 代数题 总计 男同学
14、22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 (1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ (2)经过多次测试后 ， 甲每次解答一道几何题所用的时间在 5 7 分钟 ， 乙每次解答一道几何题所用的时间在 6 8 分钟 ， 现甲、乙各解同一道几何题 ， 求乙比甲先解答完的概率； (3)现从选择做几何题的 8 名女同学中任意抽取 2 人对她们的答题情况进行全 程研究 ，记丙、丁 2 名女同学被抽到的人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 E(X) 下面临界值表仅供参考： P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2 n（ ad bc）2（ a b）（ c d）（ a c）（ b d）
