1、通项公式的求法,一、公式法,二、迭加法,若 an+1=an+f(n), 则:,若 an+1=f(n)an, 则:,三、叠乘法,四、化归法,通过恰当的恒等变形, 如配方、因式分解、取对数、取倒数等, 转化为等比数列或等差数列.,(1)若 an+1=pan+q, 则:,an+1-=p(an-).,(3)若 an+1=pan+q(n), 则:,(4)若 an+1=panq, 则:,lgan+1=qlgan+lgp.,五、归纳法,先计算数列的前若干项, 通过观察规律, 猜想通项公式, 进而用数学归纳法证之.,例 已知数列 an 满足: a1=1, an+1 =2an+32n-1, 求 an 的通项公式
2、.,an=(3n-1)2n-2,a1=1,典型例题,2.数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-7n-8, (1)求 an 的通项公式; (2)求 |an| 的前 n 项和 Tn.,解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-14;,当 n2 时, an=Sn-Sn-1=2n-8,(2)由 (1) 知, 当 n4 时, an0; 当 n5 时, an0;,当 n5 时, Tn=-S4+Sn-S4=Sn-2S4,=n2-7n-8-2(-20),当 n4 时, Tn=-Sn=-n2+7n+8,=n2-7n+32.,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1),=2-21-n.,即
3、 an=2-21-n.,解法二 由解法一知 an-an-1=21-n,消去 an-1 得 an=2-21-n.,解法三,则 =-2.,即 an=2-21-n.,4.数列 an 的前 n 项和 Sn 满足条件 lgSn+(n-1)lgb=lg(bn+1+n-2), 其中, b0 且 b1. (1)求数列 an 的通项公式; (2)若对nN*, n4 时, 恒有 an+1an, 试求 b 的取值范围.,解: (1)由已知得 lgSnbn-1=lg(bn+1 +n-2),Snbn-1=bn+1 +n-2(b1).,当 n=1 时, a1=S1=b2-1;,当 n2 时, an=Sn-Sn-1,即 (
4、n-3)b2-2(n-2)b+(n-1)0 对 n4 恒成立.,亦即 (b-1)(n-3)b-(n-1)0 对 n4 恒成立.,b3.,解法1: 设等差数列 an 的首项 a1=a, 公差为 d,则通项公式为 an=a+(n-1)d,由此可得:,经验证知 an=1 时, Sn=5; 另一种情况时, Sn=-4, 均合题意.,解法2: Sn 是等差数列的前 n 项和, 故可设 Sn=an2+bn,依题意得:,在等差数列中, n2 时, an=Sn-Sn-1, a1 亦适合公式.,解法3: Sn 是等差数列的前 n 项和,解法4: 依题意 S3=3a2, S4=2(a2+a3), S5=5a3,解
5、: a1=a,=4-21+2-1a,故猜想: an=4-23-n+21-na, 用数学归纳法证明如下:,=4-20+2-2a,=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,证明从略.,故 an=4-23-n+21-na.,解法二: 构造等比数列求解(略).,7.设数列 an 是公差不为 0 的等差数列, Sn 是数列 an 的前 n 项和, 且 S32=9S2, S4=4S2, 求数列 an 的通项公式.,解: 设等差数列 an 的公差为 d,(3a1+3d)2=9(2a1+d), ,4a1+6d=4(2a1+d), ,由 得: d=2a1, 代入 有: 9a12=4a1
6、.,当 a1=0 时, d=0, 与已知条件矛盾, 舍去;,8.已知数列 an 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 an 的通项公式; (2)令 bn=an3n, 求数列 bn 前 n 项和的公式.,解: (1)设数列 an 的公差为 d,则由已知得 3a1+3d=12,d=2.,an=2+(n-1)2=2n.,故数列 an 的通项公式为 an=2n.,(2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 bn 前 n 项和,Sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n ,3Sn=232+433+(2n-2)3n+2n3n+1 ,将 式减 式得:,-2Sn=2(3
7、+32+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.,又 a1=2,数列复习建议,1.函数观点下的数列问题,用函数的观点来认识数列,用函数的思维理解数列问题，,用研究函数的方法来解决数列问题.,分别是等差数列及等比数列,且,试比较,与,的大小.,(3)等差数列,则当n= 时，,最大？,已知数列,分析,归纳可知，这是一个周期为3的数列：,2.研究数列问题的思维特征；,（2）如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法.,（1）判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如是，用公式和性质解决.,解决数列问题的基本思路是：,（13）,求,求,分析要点:
8、,1.判断是否为特殊数列?,2.选用公式,难点：是否讨论q？,a=b，, 要关注数列的项数：,（15）,则,分析要点： （1）不是先看这个和的最后一项如何，而应通过这个和，把相关的数列的属性做一判断.,(2)如果不是等差、等比数列，那么，再研究它的通项的特征，寻求方法.,3n+10=1+（m-1）3,m=n+4，共n+4项,数列研究的基本问题:,与,的关系,这种关系体现在两个方面：,基本关系式：,能力拓展：,研究数列,的常见方法之一：,研究与数列,关系密切的数列,另一方面：,分析：,要有,之间的转化的意识,的关系主要体现在：,方法1：研究通项,方法2：研究数列的项与项的关系：,在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式,递推关系的特点是差的形式,重点掌握三种类型的由递推公式求通项方法,另解：,答案：,
