1、考点一：等差、等比数列的概念与性质例题 1.（1）数列 an和b n满足 （n=1，2，3），)(12nnbba（1）求证b n为等差数列的充要条件是 an为等差数列。（2）数列 an和c n满足 ，探究 为等差数列的充分必要*)(1Ncnna条证明：（1）必要性 若b n为等差数列，设首项 b1，公差 d则 dbdbn2)21(11 a n为是公差为 的等差数列,a充分性 若a n为等差数列，设首项 a1，公差 d则 nbb )()(12121 212 dn )()(1nan当 n=1 时，b 1=a1也适合b n+1 bn=2d， b n是公差为 2d 的等差数列 （2）结论是：a n为等
2、差数列的充要条件是c n为等差数列且 bn=bn+1其中 （n=1，2，3） n例题 2.已知数列 的首项 （a 是常数，且 ），na11a（ ），数列 的首项 ， （ ）。 24221annb2nbn（1）证明： 从第 2项起是以 2为公比的等比数列；nb（2）设 为数列 的前 n项和，且 是等比数列，求实数 的值；SnSa（3）当 a0时，求数列 的最小项。a分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由 的不同而要分类讨论。解：（1） 2nabn 221 )1()(4)1()( nna(n2)nnb2由 得 ， ，12a42a ， ，20即 从第 2 项起是以 2
3、为公比的等比数列。nb（2）1(4)34(2)n nnaSa当 n2 时， 1 11(2)34()nn na 是等比数列, (n2)是常数，nS1nS3a+4=0，即 。43a（3）由（1）知当 时， ，22(4)(1)nnnba所以 ，21()()nna所以数列 为 2a+1，4a ，8a-1，16a，32a+7，n显然最小项是前三项中的一项。当 时，最小项为 8a-1；1(0,)4a当 时，最小项为 4a 或 8a-1；当 时，最小项为 4a；(,)2当 时，最小项为 4a 或 2a+1；1a当 时，最小项为 2a+1。(,)考点二：求数列的通项与求和例题 3已知数列 中各项为：na12、
4、1122、111222、 1n个 2n个（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前 n项之和 Sn . 解：（1） 2(10)(10)99nnann 10()3nn记：A = , 则 A= 为整数103n3n= A (A+1) ， 得证 na(2) 212099nn4 212(0)(01)9n nnS21188n例题 4. 已知数列 满足 ， ),2(1Nnann na41（）求数列 的通项公式 ；nn（）设 ，求数列 的前 项和 ；21nabnbnS（）设 ，数列 的前 项和为 求证：对任意的 ，)(sicncnTNn74nT个解：（） ， ，12)(1nna)1(
5、)2(1nnnna又 ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列3)(1an3， 即 . 1)2()(nnn 123)(nna（） 649311 nb 9232)(64)(9 nnS nn（） ，1)(2si 23)()(311nnnnc当 时，则 1232 nnT 21132 )(8174n746)(68n， 对任意的 ， 321TNnT考点三：数列与不等式的联系例题 5.已知 为锐角，且 ，12tan函数 ，数列a n的首项 .)4si()(2xxf )(,21nnafa 求函数 的表达式； 求证： ；na1 求证： ),2(1*21 Nnan解： 又 为锐角)(tan2ta 4142six
6、f2)( 都大于 0nna211na,32 0na nnnna 1)1(21 1nn 132121 1nn aaaa11nn , , 又432)(2a14)(2a nan12 131n 1n 221naa例题 6 已知数列 满足na11,2naN（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ，证明： 是nb nn bnbbb a)1(4411321 na等差数列；（）证明： 2313nNaa解：（1） ，1nn)1(2n故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。，nnana（2） ，nnbbba)1(4411321 nnbb24)(21n)(1121 )(2nbbb得 ，即 nn1)( 1)(
7、2nb2)(n得 ，即112nbb11nnb所以数列 是等差数列（3） 11122nnnaa设 ，则 132naS )1(322naS )1(2naS3112nn例题 7. 已知函数 ,数列 满足 , ()ln1fxxna10; 数列 满足 , .求证:1nnab1()2nbb*N（） （）10;na1;na（）若 则当 n2 时, .12,!nb解：() 先用数学归纳法证明 , .01na*N（1）当 n=1 时,由已知得结论成立;（2）假设当 n=k 时,结论成立,即 .则当 n=k+1 时,k因为 0g(0)=0.因为 ,所以 ,即 0,从而01na0nga2nnfa21.na() 因为
8、 ,所以 , , 11,()2nnbb01nb2所以 , 121!nn由() 知: , 所以 = ,21,na1na1n31212nnaa 因为 , n2, 1210.n所以 = .na11na 12n21n由 两式可知 : .!nb考点四：数列与函数、向量等的联系例题 8.已知函数 f(x)= ，设正项数列 满足 =l， 52168xna11nnaf(1)写出 、 的值; 2a3(2)试比较 与 的大小，并说明理由；n4(3)设数列 满足 = ，记 Sn= 证明：当 n2 时,S n (2n1)nbn5a1ib14解：(1) ，因为 所以15268nna1,237,.84a（2）因为 所以1
9、0,nn60,2.nn,154()5346822nnnnaa a因为 所以 与 同号，20,1因为 ， ， 即154a250,4a3,50,4n5.4na（3）当 时，2n1115353()4242nnnnnbaaba，154n所以 ，2131 2nnnnbbb所以312 1(2)4(1)4nnnnnS 例题 9.在平面直角坐标系中，已知三个点列A n，B n， Cn，其中 ),(),(nnbBaA，满足向量 与向量 共线，且点（B，n）在方向向量为)0,1(nC1nAC（1，6）的线上 .,1ab（1）试用 a与 n表示 ；)2(（2）若 a6与 a7两项中至少有一项是 an的最小值，试求
10、a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解：（1） ,),1(),( 111 naCBAbCBaA nnnnnnn 共 线 ，与又B n在方向向量为（1， 6）的直线上， 6,61nbb即 121123121 .)(.)()(6 nnn aaab)(6)9()()(62n（2）二次函数 是开口向上，对称轴为axaxf 26)9(3)(2的抛物线69a又因为在 a6与 a7两项中至少有一项是数列a n的最小项，对称轴 3624,1569215,2 aax内 ， 即应 该 在例题 10.已知 ，若数列 an),10(log)(naaxf成等
11、差数列.*)(42(,2321 Nff 使 得（1）求 an的通项 an;（2）设 若b n的前 n项和是 Sn，且),(fb.312:,1424 aSann求 证解：解：设 2，f(a 1), f(a2), f(a3),，f (an),2n+4 的公差为 d，则2n+4=2+(n+21)d d=2,2log2)()( nadnfn.2a（2） ，222)(log)( nnannfb64S268222446 424242244222()()(1)(),1,() ()11,0()1nnnnnnnnnaSaaaaaaa 又422422222 0,0,11()131nnnnnaaSaa 故 解 得 又例题 11. 已知数列 中， ， na1*12(.)nnaaN（1）求 ；234,（2）求数列 的通项 ；nn（3）设数列 满足 ，求证：nb211,nnkbba1()nk解：（1） 234,aa（2） 12(.)nn121().nnaa得 1()nn即： ，1()nna1a所以 32112(2)1nnan所以 *()nN（3）由（2）得： ，21111, .0nnnbbbk所以 是单调递增数列，故要证： 只需证n ()nkk若 ，则 显然成立1k12b若 ，则11nnnbk所以 1nb因此： 1211().()2kk kbk 所以 kb所以 1()n
