1、 2011 年江苏省高考数学试卷菁优网2010-2013 菁优网2011 年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分） （2011 江苏）已知集合 A=1，1，2，4，B=1，0，2，则 AB= _ 2 （5 分） （2011 江苏）函数 f（x）=log 5（2x+1）的单调增区间是 _ 3 （5 分） （2011 江苏）设复数 z 满足 i（z+1）=3+2i（i 为虚数单位） ，则 z 的实部是 _ 4 （5 分） （2011 江苏）根据如图所示的伪代码，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的 m 的值为 _ 5 （5 分） （2
2、011 江苏）从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _ 6 （5 分） （2011 江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s2= _ 7 （5 分） （2011 江苏）已知 ，则 的值为 _ 8 （5 分） （2011 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是 _ 9 （5 分） （2011 江苏）函数 f（x）=Asin（x+） ， （A， 是常数，A0， 0）的部分图象如图所示，则f（0）= _ 菁优网2010-2013
3、菁优网10 （5 分） （2011 江苏）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， = 2 ， =k + ，若 =0，则实数 k 的值为 _ 11 （5 分） （2011 江苏）已知实数 a0，函数 ，若 f（1 a）=f（1+a） ，则 a 的值为 _ 12 （5 分） （2011 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f（x）=e x（x0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 _ 13 （5 分） （2011 江苏）设 1=a1a2a7，其中 a1，
4、a 3，a 5，a 7 成公比为 q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为 1的等差数列，则 q 的最小值是 _ 14 （5 分） （2011 江苏）设集合 ，B=（x，y）|2mx+y2m+1，x，yR，若 AB，则实数 m 的取值范围是 _ 二、解答题（共 9 小题，满分 120 分）15 （14 分） （2011 江苏）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c（1）若 ，求 A 的值；（2）若 ，求 sinC 的值16 （14 分） （2011 江苏）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AB=AD，BAD=60 ，E、F 分别是 AP、AD
5、 的中点求证：（1）直线 EF平面 PCD；（2）平面 BEF平面 PAD17 （14 分） （2011 江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=x（cm） （1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，试问 x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值菁优
6、网2010-2013 菁优网18 （16 分） （2011 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P，A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点B，设直线 PA 的斜率为 k（1）若直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；（3）对任意 k0，求证：PAPB19 （16 分） （2011 江苏）已知 a，b 是实数，函数 f（x）=x 3+ax，g（x）=x 2+bx，f（x）和 g（x）是 f（x） ，g（x）的导函数，
7、若 f（x）g（x）0 在区间 I 上恒成立，则称 f（x）和 g（x）在区间 I 上单调性一致（1）设 a0，若函数 f（x）和 g（x）在区间 1，+）上单调性一致，求实数 b 的取值范围；（2）设 a0，且 ab，若函数 f（x）和 g（x）在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a b|的最大值20 （16 分） （2011 江苏）设 M 为部分正整数组成的集合，数列a n的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn，已知对任意整数 kM，当整数 nk 时，S n+k+Snk=2（S n+Sk）都成立（1）设 M=1，a 2=2，求 a5 的值；（2）设 M=3，4，求数列a n的通项
8、公式21 （10 分） （2011 江苏）A选修 41：几何证明选讲如图，圆 O1 与圆 O2 内切于点 A，其半径分别为 r1 与 r2（ r1r 2 ） 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C （ O1 不在 AB上） 求证：AB：AC 为定值 B选修 42：矩阵与变换菁优网2010-2013 菁优网已知矩阵 ，向量 求向量 ，使得 A2 = C选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 （ 为参数）的右焦点，且与直线 （t 为参数）平行的直线的普通方程D选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分）解不等式：x+|2x1|322 （10 分） （2011 江苏
9、） 如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=2，AB=1，点 N 是 BC 的中点，点 M在 CC1 上设二面角 A1DNM 的大小为 （1）当 =90 时，求 AM 的长；（2）当 时，求 CM 的长23 （10 分） （2011 江苏）设整数 n4，P （a ，b） 是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 a，b 1，2，3，n，ab（1）记 An 为满足 ab=3 的点 P 的个数，求 An；（2）记 Bn 为满足 是整数的点 P 的个数，求 Bn菁优网2010-2013 菁优网2011 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，
10、满分 70 分）1 （5 分） （2011 江苏）已知集合 A=1，1，2，4，B=1，0，2，则 AB= 1，2 考点： 交集及其运算4664233专题： 计算题分析： 根据已知中集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，根据集合交集运算法则我们易给出 AB解答： 解： 集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，AB=1，2故答案为：1，2点评： 本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案菁优网2010-2013 菁优网2 （5 分） （2011 江苏）函数 f（x）=log 5（2x+1）的单调增区间是 （ ，+） 考点： 对数函数的单调性与特殊点466
11、4233专题： 计算题分析： 要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间解答： 解：要使函数的解析有有意义则 2x+10故函数的定义域为（ ，+）由于内函数u=2x+1 为增函数，外函数 y=log5u 也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（，+）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是 （ ，+）故答案为：菁优网2010-2013 菁优网（ ，+）点评： 本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为 R 的错解3 （5 分） （2011 江苏）设复数 z 满足 i（
12、z+1）=3+2i（i 为虚数单位） ，则 z 的实部是 1 考点： 复数代数形式的混合运算4664233专题： 计算题分析： 复数方程两边同乘 i，化简后移项可得复数 z，然后求出它的实部解答： 解：因为i（z+1）=3+2i，所以ii（z+1）=3i+2ii，所以z+1=3i+2，z=1+3i 它的实部为：1；故答案为：1点评： 本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型4 （5 分） （2011 江苏）根据如图所示的伪代码，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的 m 的值为 3 菁优网2010-2013 菁优网考点： 伪代码4664233专题： 图表型分析：
13、 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，a=2 b=3，m=3故答案为：3点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一菁优网2010-2013 菁优网个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误5 （5 分） （2011 江苏）从 1，2
14、，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 考点： 古典概型及其概率计算公式4664233专题： 计算题分析： 根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案菁优网2010-2013 菁优网解答： 解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2） ，（1，3） ，（1，4） ，（2，3） ，（2，4） ，（3，4） ，共6 种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2） ，（2，4） ；则其概率为= ；故答案为：点评：
15、 本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏6 （5 分） （2011 江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s2= 3.2 考点： 极差、方差与标准差4664233专题： 计算题分析： 首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，菁优网2010-2013 菁优网得到结果解答： 解： 收到信件数分别是10，6，8，5，6，收到信件数的平均数是=7，该组数据的方差是，故答案为：3.2点评： 本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均
16、数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题7 （5 分） （2011 江苏）已知 ，则 的值为 考点： 二倍角的正切；两角和与差的正切函数4664233专题： 计算题；方程思想分析： 先利用两角和的正切公式求得 tanx的值，从而求得 tan2x，即可求得菁优网2010-2013 菁优网解答： 解：， =2，解得tanx= ；tan2x= = =故答案为点评： 本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题8 （5 分） （2011 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是
17、 4 考点： 两点间距离公式的应用4664233专题： 计算题分析： 由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点菁优网2010-2013 菁优网的直线的斜率是 1 时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果解答： 解：由题意知当过原点的直线的斜率是 1 时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，而 y=x 与 y=的两个交点的坐标是（， ） （， ） ，根据两点之间的距离公式得到|PQ|= =4，故答案为：4点评： 本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目菁优网
18、2010-2013 菁优网9 （5 分） （2011 江苏）函数 f（x）=Asin（x+） ， （A， 是常数，A0， 0）的部分图象如图所示，则f（0）= 考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换4664233专题： 计算题；数形结合分析： 根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，0） ， （， ）点，我们易结合A0，w0求出满足条件的A、 、 的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将 x=0代入即可得到 f（0）的值解答： 解：由的图象可得函数的周期 T 满足=解得 T=菁优网2010-2013 菁优网又 0，故=2又 函数图象的最低点为（ ，）点故 A=且 sin（2+）=
19、 即 +=故 =f（ x）= sin（2x+）f（ 0）= sin =故答案为：点评： 本题考查的知识点是函数y=Asin（x+）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、 、 的值，是解答本题的关键菁优网2010-2013 菁优网10 （5 分） （2011 江苏）已知 ， 是夹角为 的两个单位向量， = 2 ， =k + ，若 =0，则实数 k 的值为 考点： 平面向量数量积的运算4664233专题： 计算题分析： 利用向量的数量积公式求出 ；利用向量的运算律求出，列出方程求出 k解答： 解：是夹角为的两个单位向量=解得故答案为：点评： 本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律
20、、考查向量模的平方菁优网2010-2013 菁优网等于向量的平方11 （5 分） （2011 江苏）已知实数 a0，函数 ，若 f（1 a）=f（1+a） ，则 a 的值为 考点： 函数的值；分段函数的应用4664233专题： 计算题分析： 对 a 分类讨论判断出1a， 1+a 在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出 a解答： 解：当 a0时，1a 1，1+a12（ 1a）+a=1a2a 解得 a= 舍去当 a0 时，1a 1，1+a11+a2a=2+2a+a 解得 a=故答案为点评： 本题考查分段函数的函菁优网2010-2013 菁优网数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围12 （
21、5 分） （2011 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f（x）=e x（x0）的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程4664233专题： 计算题分析： 先设切点坐标为（m，e m） ，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m 处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点 M的纵坐标，同理可求出点 N 的纵坐标，将 t 用m 表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可解答： 解：设切点坐标
22、为（m，e m）该图象在点P 处的切线 l的方程为yem=em（x m）令 x=0，解得菁优网2010-2013 菁优网y=（1m）e m过点 P 作 l的垂线的切线方程为yem=em（xm）令 x=0，解得y=em+mem线段 MN 的中点的纵坐标为t= （2m）em+memt= em+（2m）em+emmem，令 t=0 解得：m=1当m（0，1）时，t0，当m（1，+）时，t0当 m=1 时 t取最大值故答案为：点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题菁优网2010-2013 菁优网13 （5 分） （2011 江苏）设 1=a1a
23、2a7，其中 a1，a 3，a 5，a 7 成公比为 q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为 1的等差数列，则 q 的最小值是 考点： 等差数列与等比数列的综合4664233专题： 计算题；压轴题分析： 利用等差数列的通项公式将 a6 用 a2表示，求出a6 的最小值进一步求出a7 的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围解答： 解：方法1： 1=a1a2a7； a2，a 4，a 6 成公差为 1的等差数列，a6=a2+23，a6 的最小值为 3，a7 的最小值也为 3，此时 a1=1 且a1，a 3，a 5，a7 成公比为q 的等比数列，必有 q0，a7=a1q33，q33，q，
24、方法 2：由题意知1=a1a2a7；中a1，a 3，a 5，a7 成公比为菁优网2010-2013 菁优网q 的等比数列，a2，a 4，a 6 成公差为 1的等差数列，得，所以，即q321，所以q33，解得q ，故 q 的最小值是： 故答案为：点评： 解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前 n 项和公式列出方程组，解方程组求解即基本量法14 （5 分） （2011 江苏）设集合 ，B=（x，y）|2mx+y2m+1，x，yR，若 AB，则实数 m 的取值范围是 ，2+ 考点： 直线与圆的位置关系4664233专题： 计算题；压轴题分析： 根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆
25、心到直线的距离小于菁优网2010-2013 菁优网或等于半径，进而联立不等式组求得m 的范围解答： 解：依题意可知集合 A表示一系列圆内点的集合，集合 B表示出一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由 可得 m0 或 m当 m0 时，有| |m且|m ；则有 m m， mm ，又由 m0，则22m+1，可得AB=，当 m 时，有| |m或|菁优网2010-2013 菁优网|m，解可得：2m2+，1 m1+ ，又由 m ，则 m 的范围是 ，2+ ；综合可得 m的范围是 ，2+ ；故答案为 ，2+ 点评： 本题主要考查了直线与圆的位置关系一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线
26、的距离来判断二、解答题（共 9 小题，满分 120 分）15 （14 分） （2011 江苏）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c（1）若 ，求 A 的值；（2）若 ，求 sinC 的值考点： 正弦定理；两角和与差的正弦函数4664233专题： 计算题菁优网2010-2013 菁优网分析： （1）利用两角和的正弦函数化简，求出 tanA，然后求出 A的值即可（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a 与 c 的关系式，利用正弦定理求出 sinC 的值解答： 解：（1）因为，所以sinA=，所以 tanA=，所以 A=60（2）由及a2=b2+c22bccosA得 a2=b2c2
27、故ABC 是直角三角形且 B=所以sinC=cosA=点评： 本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数菁优网2010-2013 菁优网的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型16 （14 分） （2011 江苏）如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AB=AD，BAD=60 ，E、F 分别是 AP、AD 的中点求证：（1）直线 EF平面 PCD；（2）平面 BEF平面 PAD考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定4664233专题： 证明题分析： （1）要证直线 EF平面PCD，只需证明EFPD， EF不在平面PCD 中，PD平面PCD 即可（
28、2）连接BD，证明BFAD说明平面PAD平面ABCD=AD，推出 BF平面 PAD；然后证明平面BEF平面PAD解答： 证明：（1）在PAD 中，因为 E，F 分菁优网2010-2013 菁优网别为AP，AD 的中点，所以EFPD又因为 EF 不在平面 PCD中，PD平面 PCD所以直线EF平面PCD（2）连接BD因为AB=AD，BAD=60所以ABD为正三角形因为 F是 AD 的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面 PAD平面ABCD=AD，所以 BF平面 PAD又因为 BF平面 EBF，所以平面BEF平面PAD菁优网2010-2013 菁优网点评： 本题是中
29、档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型17 （14 分） （2011 江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=x（cm） （1）若广告商要求包装盒侧面积 S（cm 2）最大，试问 x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积 V（cm 3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高
30、与底面边长的比值考点： 函数模型的选择与应用4664233专题： 应用题分析： （1）可设包装盒的高为h（cm） ，底面边长为a（cm ） ，写出 a，h 与 x的关系式，并注明 x 的取值范围再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S关于 x 的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体菁优网2010-2013 菁优网积公式表示出包装盒容积 V 关于 x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可解答： 解：设包装盒的高为h（cm） ，底面边长为a（cm ） ，则a= x，h=（30x） ，0x30（1）S=4ah=8x（30x）=8（x15）2+1800，当 x=15
31、时，S 取最大值（2）V=a2h=2（x3+30x 2） ，V=6 x（20x） ，由 V=0 得x=20，当x（0，20）时，V0；当x（20，30）时，V0；当 x=20 时，包装盒容积V（cm 3）最大，此时，菁优网2010-2013 菁优网即此时包装盒的高与底面边长的比值是 点评： 考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力属于基础题18 （16 分） （2011 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，M、N 分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 P，A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点B，设直线 PA 的斜率为 k（1）若直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值；（2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d；（3）对任意 k0，求证：PAPB考点： 直线与圆锥曲线的综合问题4664233专题： 计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想分析： （1）由题设
