1、 2010 年江苏省高考数学试卷菁优网2010-2013 菁优网2010 年江苏省高考数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分） （2010 江苏）设集合 A=1，1，3，B=a+2 ，a 2+4，A B=3，则实数 a= _ 2 （5 分） （2010 江苏）设复数 z 满足 z（23i）=6+4i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 _ 3 （5 分） （2010 江苏）盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 _ 4 （5 分） （2010 江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
2、了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有 _ 根在棉花纤维的长度小于 20mm5 （5 分） （2010 江苏）设函数 f（x）=x（e x+aex） （xR）是偶函数，则实数 a= _ 6 （5 分） （2010 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是 _ 7 （5 分） （2010 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 _ 8 （5 分） （2010 江苏）函数 y=x2（x0）的图象在点（a k
3、，a k2）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1，k 为正整数，a 1=16，则 a1+a3+a5= _ 9 （5 分） （2010 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 _ 10 （5 分） （2010 江苏）定义在区间 上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P，过点 P作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为 _ 菁优网2010-2013 菁优网11 （5 分） （2010 江苏）已知函
4、数 ，则满足不等式 f（1x 2）f（2x）的 x 的范围是 _ 12 （5 分） （2010 江苏）设实数 x，y 满足 3xy28，4 9，则 的最大值是 _ 13 （5 分） （2010 江苏）在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 + =6cosC，则 +的值是 _ 14 （5 分） （2010 江苏）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则 S 的最小值是 _ 二、解答题（共 9 小题，满分 110 分）15 （14 分） （2010 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（ 1，2） 、B（2，3） 、C （
5、2，1） （1）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数 t 满足（ ） =0，求 t 的值16 （14 分） （2010 江苏）如图，在四棱锥 PABCD 中， PD平面ABCD，PD=DC=BC=1 ，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离17 （14 分） （2010 江苏）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H（单位：m ） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角 ABE=，ADE= （1）该小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值；（2）
6、该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， 最大？菁优网2010-2013 菁优网18 （16 分） （2010 江苏）在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F设过点 T（t，m）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M（x 1，y 1） 、N （x 2，y 2） ，其中m0，y 10，y 20（1）设动点 P 满足 PF2PB2=4，求点 P 的轨迹；（2）设 ，求点 T 的坐标；（3）设 t=9，求证：直线 MN 必过 x 轴
7、上的一定点（其坐标与 m 无关） 19 （16 分） （2010 江苏）设各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 2a2=a1+a3，数列 是公差为 d的等差数列（1）求数列a n的通项公式（用 n，d 表示） ；（2）设 c 为实数，对满足 m+n=3k 且 mn 的任意正整数 m，n，k，不等式 Sm+SncS k 都成立求证：c 的最大值为 20 （16 分） （2010 江苏）设 f（x）是定义在区间（1，+）上的函数，其导函数为 f（x） 如果存在实数 a 和函数 h（x） ，其中 h（x）对任意的 x（1，+）都有 h（x ）0，使得 f（x）=h （x） （x 2a
8、x+1） ，则称函数 f（x）具有性质 P（a） ，设函数 f（ x）= ，其中 b 为实数（1）求证：函数 f（x）具有性质 P（b） ；（2）求函数 f（x）的单调区间21 （10 分） （2010 江苏）本题包括 A、B、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤菁优网2010-2013 菁优网A：AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C，若 DA=DC，求证：AB=2BCB：在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，0） ，B （2，0） ，C
9、（2，1） 设 k 为非零实数，矩阵M= ，N= ，点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B 1、C 1，A 1B1C1 的面积是ABC 面积的 2 倍，求 k 的值C：在极坐标系中，已知圆 =2cos 与直线 3cos+4sin+a=0 相切，求实数 a 的值D：设 a、b 是非负实数，求证： 22 （2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为 80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二
10、等品则亏损 2 万元设生产各种产品相互独立（1）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；（2）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率23 （10 分） （2010 江苏）已知 ABC 的三边长都是有理数（1）求证 cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数 n，cosnA 是有理数菁优网2010-2013 菁优网2010 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分） （2010 江苏）设集合 A=1，1，3，B=a+2 ，a 2+4，A B=3，则实数 a=
11、 1 考点： 交集及其运算4664233专题： 计算题分析： 根据交集的概念，知道元素 3 在集合 B 中，进而求 a 即可解答： 解：AB=33B，又a2+43a+2=3 即 a=1故答案为 1点评： 本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型2 （5 分） （2010 江苏）设复数 z 满足 z（23i）=6+4i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为 2 考点： 复数代数形式的乘除运算；复数求模4664233专题： 计算题分析： 直接对复数方程两边求模，利用菁优网2010-2013 菁优网|23i|=|3+2i|，求出 z 的模解答：
12、 解：z（23i ）=2（3+2i） ，|z|（2 3i）|=2|（3+2i）|，|23i|=|3+2i|，z 的模为 2故答案为：2点评： 本题考查复数运算、模的性质，是基础题3 （5 分） （2010 江苏）盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 考点： 古典概型及其概率计算公式4664233专题： 计算题分析： 算出基本事件的总个数n=C42=6，再 算出事件 A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件 A的概率，即P（A）= 即可解答： 解：考查古典概型知识总个数n=C42=6，事件 A 中包菁优网2010-2013 菁优网含的
13、基本事件的个数m=C31=3故填： 点评： 本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数 n；（2）算出事件 A 中包含的基本事件的个数 m；（3）算出事件 A 的概率，即 P（A）= 4 （5 分） （2010 江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标） ，所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有 30 根在棉花纤维的长度小于 20mm考点： 频率分布直方图4664233专题： 计算题分析： 由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于 20mm段的频率，根据
14、频率与频数的关系可得频数解答： 解：由图可知，棉花纤维的长度小菁优网2010-2013 菁优网于 20mm 段的频率为0.001+0.001+0.004，则频数为100（0.001+0.001+0.004）5=30故填：30点评： 本题考查频率分布直方图的知识考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题5 （5 分） （2010 江苏）设函数 f（x）=x（e x+aex） （xR）是偶函数，则实数 a= 1 考点： 函数奇偶性的性质4664233分析： 由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可解答： 解：因为
15、函数 f（x）=x（e x+aex）（xR）是偶函数，所以 g（x）=ex+aex 为奇函数由 g（0）=0，得菁优网2010-2013 菁优网a=1故答案是1点评： 考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法6 （5 分） （2010 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是 4 考点： 双曲线的定义4664233专题： 计算题分析： d 为点 M 到右准线 x=1的距离，根据题意可求得 d，进而先根据双曲线的第二定义可知 =e，求得 MF答案可得解答： 解：=e=2，d 为点 M 到右准线 x=1的距离，则d=2，MF=4故答
16、案为 4点评： 本题主要考查双曲线的定义属基础题7 （5 分） （2010 江苏）如图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 63 菁优网2010-2013 菁优网考点： 设计程序框图解决实际问题4664233专题： 操作型分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+2n33 的最小的 S 值，并输出解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+22+2n33 的最小的 S 值S=1+2+22+23+24=3133，不满足条件S=1+2+22+23
17、+24+25=6333，满足条件故输出的 S值为：63故答案为：63点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模菁优网2010-2013 菁优网块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模8 （5 分） （2010 江苏）函数 y=x2（x0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1，k 为正整数，a 1=16，则 a1+a3+a5= 21 考点： 抛
18、物线的简单性质4664233专题： 计算题分析： 先求出函数y=x2 在点（a k，a k2）处的切线方程，然后令y=0 代入求出x 的值，再结合 a1 的值得到数列的通项公式，再得到a1+a3+a5 的值解答： 解：在点（a k，a k2）处的切线方菁优网2010-2013 菁优网程为：yak2=2ak（xak） ，当 y=0 时，解得 ，所以故答案为：21点评： 考查函数的切线方程、数列的通项9 （5 分） （2010 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是 （ 13，13） 考点： 直
19、线与圆的位置关系4664233分析： 求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可解答： 解：圆半径为 2，圆心（0，0）到直线12x5y+c=0的距离小于1，c 的取值范围是（13 ， 13） 点评： 考查圆与直线的位置关系 （圆心到菁优网2010-2013 菁优网直线的距离小于半径和1 的差，此时4 个，等于 3个，大于这个差小于半径和 1 的和是 2 个 ）是有难度的基础题10 （5 分） （2010 江苏）定义在区间 上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P，过点 P作 PP1x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点
20、P2，则线段 P1P2 的长为 考点： 余弦函数的图象；正切函数的图象4664233专题： 计算题分析： 先将求 P1P2的长转化为求 sinx 的值，再由 x 满足6cosx=5tanx可求出 sinx的值，从而得到答案解答： 解：线段P1P2 的长即为 sinx 的值，且其中的 x满足6cosx=5tanx，解得 sinx=线段P1P2 的长为故答案为 菁优网2010-2013 菁优网点评： 考查三角函数的图象、数形结合思想11 （5 分） （2010 江苏）已知函数 ，则满足不等式 f（1x 2）f（2x）的 x 的范围是 （1 ， 1） 考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他
21、不等式的解法4664233专题： 压轴题分析： 由题意f（x）在0，+ ）上是增函数，而 x0 时，f（x）=1，故满足不等式 f（1 x2）f（2x）的x 需满足，解出 x 即可解答： 解：由题意，菁优网2010-2013 菁优网可得故答案为：点评： 本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力12 （5 分） （2010 江苏）设实数 x，y 满足 3xy28，4 9，则 的最大值是 27 考点： 基本不等式在最值问题中的应用4664233专题： 计算题；转化思想分析： 首先分析题目由实数x，y 满足条件3xy28，49求的最大值的问题根据不等式的等
22、价转换思想可得到：，菁优网2010-2013 菁优网，代入 求解最大值即可得到答案解答： 解：因为实数 x，y 满足3xy28，49，则有：，又，即 的最大值是 27故答案为27点评： 此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意菁优网2010-2013 菁优网13 （5 分） （2010 江苏）在锐角 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 + =6cosC，则 +的值是 4 考点： 正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值4664233专题： 计算题；压轴题分析： 由+ =6cosC，结合余
23、弦定理可得，而化简+= ，代入可求解答： 解： + =6cosC，由余弦定理可得，则 +=菁优网2010-2013 菁优网=故答案为：4点评： 本题主要考查了三角形的 正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用14 （5 分） （2010 江苏）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则 S 的最小值是 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值4664233专题： 综合题；压轴题分析： 先设剪成的小正三角形的边长为 x表示出 S 的解析式，然后求 S 的最小值，方法一：对菁优网2010-2013 菁优网函数 S 进行求导，令导函数等
24、于 0求出 x 的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；方法二：令3x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值解答： 解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：（方法一）利用导数求函数最小值，=，当时，S（ x）0，递减；当菁优网2010-2013 菁优网时，S（ x）0，递增；故当 时，S 的最小值是（方法二）利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S 的最小值是 点评： 考查函数中的建模应用，等价转化思想一题多解二、解答题（共 9 小题，满分 110 分）15 （14 分） （2010 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（ 1，2） 、B（2，3） 、C （2，1）
25、（1）求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数 t 满足（ ） =0，求 t 的值考点： 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用4664233专题： 计算题分析： （1） （方法一）由题设菁优网2010-2013 菁优网知，则从而得：（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：由 E 是AC，BD 的中点，易得D（1，4）从而得：BC= 、AD= ；（2）由题设知：=（ 2，1） ，由（） =0，得：（3+2t，5+t）（2， 1）=0，从而得：或者由菁优网2010-2013 菁优网，得：解答： 解：（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的
26、两条对角线的长分别为、（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：E 为 B、C 的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D 的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC= 、AD= ；（2）由题设知：菁优网2010-2013 菁优网=（ 2，1） ，由（） =0，得：（3+2t，5+t）（2， 1）=0，从而 5t=11，所以 或者：，点评： 本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力16 （14 分） （2010 江苏）如图，在四棱锥 PABCD 中， PD平面ABCD，PD=DC=BC=1 ，AB=2，ABDC，B
27、CD=90（1）求证：PCBC；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离菁优网2010-2013 菁优网考点： 点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系4664233专题： 计算题；证明题分析： （1） ，要证明 PCBC，可以转化为证明 BC 垂直于 PC 所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90，容易证明 BC平面PCD，从而得证；（2） ，有两种方法可以求点 A 到平面 PBC 的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取 AB 的中点 E，容易证明 DE平面 PBC，点D、E 到平面PBC 的距离相等，而 A菁优网2010-201
28、3 菁优网到平面 PBC的距离等于E 到平面PBC 的距离的 2 倍，由第一问证明的结论知平面 PBC平面PCD，交线是 PC，所以只求 D 到 PC的距离即可，在等腰直角三角形 PDC中易求；方法二，等体积法：连接 AC，则三棱锥 PACB与三棱锥APBC 体积相等，而三棱锥 PACB体积易求，三棱锥APBC 的地面 PBC 的面积易求，其高即为点 A到平面 PBC的距离，设为 h，则利用体积相等即求解答： 解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC由BCD=90，得 CDBC，又菁优网2010-2013 菁优网PDDC=D，PD、DC 平面 PCD，所以 BC平面
29、 PCD因为 PC平面 PCD，故PCBC（2） （方法一）分别取AB、PC 的中点 E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2倍由（1）知：BC平面PCD，所以平面 PBC平面 PCD 于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以 DF平面PBC 于 F易知DF= ，故点 A 到平面PBC 的距离等于 （方法二）菁优网2010-2013 菁优网等体积法：连接 AC设点 A 到平面PBC 的距离为 h因为ABDC，BCD=90，所以ABC=90从而AB=2，BC
30、=1，得ABC的面积 SABC=1由 PD平面ABCD 及PD=1，得三棱锥 PABC的体积因为 PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC又PD=DC=1，所以由PCBC，BC=1，得PBC的面积由VAPBC=VPABC，菁优网2010-2013 菁优网，得 ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 点评： 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力17 （14 分） （2010 江苏）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H（单位：m ） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角 ABE=，ADE= （1）该
31、小组已经测得一组 、 的值，tan =1.24，tan =1.20，请据此算出 H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位：m） ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为 125m，试问 d 为多少时， 最大？考点： 解三角形的实际应用4664233专题： 综合题分析： （1）在 RtABE 中可得AD=，在 RtADE 中可得AB=，BD=菁优网2010-2013 菁优网，再根据ADAB=DB即可得到H（2）先用 d分别表示出tan 和tan，再根据两角和公式，求得tan（ ）=，再根据均值不等式可知当 d=55 时，tan（ ）有最大值即 有最大值，得到答案解答： 解：（1）=tanAD= ，同理：AB=，BD= ADAB=DB，故得
