1、函数应用题1如图，有一块四边形 绿化区域，其中 ， ，BCED09DC3BC，现准备经过 上一点 和 上一点 铺设水管 ，且 将四边1DECPEQPQ形 分成面积相等的两部分，设 ，Bx yE（1）求 的关系式；,xy（2）求水管 的长的最小值PQ解：（1）延长 BD、CE 交于 A，则 AD= ，AE=23则 SADE = SBDE = SBCE = 2S APQ = ， 3)(41yx (3)2xy（2） AQPAPQ230cos= 2)3()(2 x 12384当 即 ， 24时4x 3min P2.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求，BC 的长度大于
2、1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米. 为了广告牌稳固，要求06ACBAC 的长度越短越好，求 AC 最短为多少米？且当 AC 最短时，BC 长度为多少米？解：如图，设 BC 的长度为 x 米， AC 的长度为 y 米，则 AB 的长度为（ y0.5）米. 在 ABC 中，依余弦定理得：ACBBCAcos22即 1)5.0(yxy化简，得 41(2x ， 因此 012xy. 3)1(412 xxy当且仅当 时，取“=”号，即 时，y 有最小值231x323. 某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点 O 处（如图） ，一条海岸线 AO 在城市QP EDCBCABCABO 的正东方向，另一条海
3、岸线 OB 在城市 O 北偏东 方向，位于城市 O 北)31(tan偏东 方向 15km 的 P 处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条3(cos)25旅游观光线路：从城市 O 出发沿海岸线 OA 到达 C 处，再从海面直线航行，途经小岛 P 到达海岸线 OB 的 D 处，然后返回城市 O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问 C 处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.解：以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系. 据题意，直线 OB 的倾斜角为 ，2从而直线 OB 的方程为 y=3x. 2 分 由已知 ，|OP|=15， ，得点
4、P 的坐标为（9，12）. 4 分POC53cos设点 C 的坐标为 (t ，0)，则直线 PC 的方程为 ： ， 5 分)(912txty联立 y=3x，得 ， t 5. 7 分 5)3(ttD 9 分6512|212 tyOCSDD= =120. 11 分1052)(0)(65)(6 tttt上式当且仅当 ，即 t=10 时取等号. 52t而当 时，9t 12043791OCDS当 t=10 时，S OCD 取最小值 120.答：当 C 地处于城市 O 正东方向 10km 处时，能使三角形区域面积最小，其最小ACPBDO东北第 3 题面积为 120(km)2. 4. 某种出口产品的关税税率
5、 、市场价格 (单位：千元)与市场供应量 p(单位：万tx件)之间近似满足关系式： ，其中 、 均为常数当关税税率为 75%2)(1bktpkb时，若市场价格为 5 千元，则市场供应量约为 1 万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约为 2 万件（1）试确定 、 的值；kb（2）市场需求量 (单位：万件)与市场价格 近似满足关系式： 时，qxxq2qp市场价格称为市场平衡价格当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最大值解：(1)由已知， 3 分 1)7(5.01(021 2)7(5.0(.2 bkbk解得 ， 5 分(2)当 时， 7 分qpxxt2)5(1 10 分1025)
6、()(122 xtxt而 在(0，4上单调递减xf5)(当 时， f (x)有最大值 12 分441故当 时，关税税率的最大值为 500% 14 分x5.国家为了更好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察该地区有 100 户农民，且都从事蔬菜种植据了解，平均每户的年收入为 3万元为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事蔬菜加工。据估计，若能动员 户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的(0)x年收入有望提高 ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为2x万元3(),(50a（）在动员 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入x不低
7、于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求 的取值范围；x（）在（）的条件下，要使这 100 户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求 的最大值a解：（）由题意得 ） 3(10)2x310,即 又 解得 250.x,x5（）从事蔬菜加工的农民总收入为 万元，()50xa从事蔬菜种植的农民的年总收入为 ）万元。312根据题意得： ）恒成立，3()50xa()x即 恒成立 210ax， 恒成立 515xa而 ，当且仅当 时取等号， 2x0所以 的最大值为 5.a6.某鱼场从 2012 年初开始养鱼，到第二年初重量增长率为 200，以后每年的重量增长率都是前一年增
8、长率的一半，由于自然的原因，每年预计损失的重量为10。 （）若最初的鱼苗重量为 ，求 2014 年鱼的总重量；t（）若 年后，年初鱼的重量为 ，求 与 的关系式；nnan1a（）哪一年年末捕鱼，鱼的重量最大？20167.某学校有教职员工 150 人，为了提高教职员工的身体素质，学校每天在下班后开放健身房。据调查统计，每次去健身房的人有 10%下次直接回家，而直接回家的人有 20%下次去健身房.假设教职员工下班后，要么回家，要么去健身。若用 、nab分别表示在第 n 天学校教职工去健身房和直接回家的人数。若(,)nabNA=90。 （1）求 ， 并以 表示 ；2a1na（2）求证：无论何时，学校教职工去健身房的人数不会超过 100 人。219()*,210nnaNn解：（1）设第 n 次去健身房的人数为 an，去娱乐室的人数为 bn，则 150nba.1 分3 分1260,93ba 30173017)50(1211 nnnnnn aaab即.6 分（2）由（1）知， ，于是 1)(nn即 )0()701aann 12 分17()0n所以无论何时，学校教职工去健身房的人数不会超过 100 人。13 分
