1、1第 1 讲 向量的概念及线性运算【知识梳理】一、向量的概念1.有关概念(1) 定义:既有 又有 的量叫向量注意向量和数量的区别 (2)向量的表示：几何表示: 向量常用 来表示 ；字母表示: 或AB,abc注意: 不能说向量就是有向线段; 向量不能比较大小.(3)向量的模(长度)：即向量的大小，记作 或ABa(4)零向量： 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的.(5)单位向量： 的向量叫做单位向量.(6)相等向量： 的两个向量叫相等向量.注意: 相等向量有传递性；任意两个相等的非零向量都可用同一有向线段表示，与起点无关. (自由向量)(7)相反向量： 的两个向量叫做相反向量. 的
2、相反向量是 . 的aaAB相反向量是 .AB2.平行向量(共线向量)(1) 定义:方向 的非零向量 叫做平行(共线) 向量, 记作： .,ab/b规定 和任何向量平行.(2) 注意:相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 A、二、向量的线性运算1. 向量的加法：平行四边形法则；三角形法则(首尾连，指终点) .性质： ； ；ab)()(cbacABC2. 向量的减法：三角形法则(共起点，指被减)。性质： ； ； 。)
3、(baABOAB3. 实数与向量的积： 是一个向量,满足: 大小： ，a方向： 时, 与 同向 ; 时, 与 反向; 时, = 。000a性质： ； ； ；)(a)( b)(4重要结论：(1)若 ，则 .b/ ,abR存 在 唯 一 使 得 b(2) 任意向量 ： ； .MNPNMPQN PMOaababAC2(3) ； .OABabOABab(4)与 共线的单位向量是 .(5) ， . - + ab - + (6) 四边形 为平行四边形 .ABCDABDC【典例精析】例 1.如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心.(1)图中与向量 相等的向量是 .(2)与向量 长度相等的向量有 个.
4、A(3)与向量 共线的向量有 例 2.如图，平行四边形 ABCD， ,.ABaDb1abb当 ， 满 足 什 么 条 件 时 ， 与 垂 直 ？2当 ， 满 足 什 么 条 件 时 ， ？3与 可 能 是 相 等 向 量 吗 ？例 3.计算：(3)4;a1()2();ba2cc例 4.梯形 ABCD 中， ,|AB|=2|DC|,M、 N 分别为 DC、 AB 中点. /ABDC,.ABaDb用 表示 .,ab,N共 线 同 向取 等反 向取 等 反 向取 等共 线同 向取 等0或 abBCAabBCNM3例 5.如图，在平行四边形 ABCD 中， M 是 AB 的中点，点 N 是 BD 上的
5、一点， 13BND求证: M、 N、 C 三点共线.例 6.用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【过关精练】一.选择题1正方形 ABCD 的边长为 1，则 ( )ABD=A1 B. C3 D22 22已知 ABC 和点 满足 .若存在实数 使得 成M0mABCM立，则 等于( )mA5 B4 C3 D23已知向量 ，且 ，则一定共线的三,ab,56,7PQabRabSab点是( )A B C DSQ,PRS4如图，在正六边形 ABCDEF 中， ( )ADEFA B. C. D.0CF5.如图，向量 的终点 A， B， C 在一条直线上，且 .,OAB 3ACB设 ，则以下
6、等式中成立的是( )pqrA B C D132r2pq12rpq2rpqDBCAO46在 中， AC 与 BD 交于点 O， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线交 CD 于点 F.若ABCD，则 ( B ),abFA. B. C. D.142213ab124ab123ab二.填空题7把同一平面内所有模不小于 2，不大于 4 的向量的起点移到同一点 O，则这些向量的终点构成的图形的面积是_8当非零向量 满足_时， 平分 间的夹角,abab,9若向量 满足 ，则 的最小值是_,8,1210若 P 为 ABC 的外心，且 ，则 ACB_120.PABC三.解答题11如图： 三点的坐标依次是 当 满足什么条件时,ABC(1,0)(,)xy ， ， ,？/O12如下图，已知 .123,OAeBe(1)如图，若 C， D 是 AB 的三等分点，求 ；,OCD(2)如图，若 C， D， E 是 AB 的四等分点，求 .,E
