高中数学选修4-4坐标系与参数方程知识点及12-16年高考真题.pdf

1、高 中 数 学 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程坐 标 系 与 参 数 方 程 是 高 考 全 国 卷 选 作 题 型 部 分 （ 一 般 为 第 23题 ） ,以 下 我们 将 扼 要 介 绍 坐 标 系 与 参 数 方 程 ,并 整 理 了 2012-2016年 全 国 卷 中 相 关 高 考 真 题及 参 考 答 案 .一 、 选 考 内 容 坐 标 系 与 参 数 方 程 高 考 考 试 大 纲 要 求 ：1 坐 标 系 ： 理 解 坐 标 系 的 作 用 . 了 解 在 平 面 直 角 坐 标 系 伸 缩 变 换 作 用 下 平 面 图 形 的 变 化 情 况 . 能

2、 在 极 坐 标 系 中 用 极 坐 标 表 示 点 的 位 置 ， 理 解 在 极 坐 标 系 和 平 面 直 角 坐 标 系中 表 示 点 的 位 置 的 区 别 ， 能 进 行 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 . 能 在 极 坐 标 系 中 给 出 简 单 图 形 （ 如 过 极 点 的 直 线 、 过 极 点 或 圆 心 在 极 点 的 圆 ）的 方 程 .通 过 比 较 这 些 图 形 在 极 坐 标 系 和 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 方 程 ， 理 解 用 方 程表 示 平 面 图 形 时 选 择 适 当 坐 标 系 的 意 义 .2 参 数 方 程 ： 了

3、解 参 数 方 程 ， 了 解 参 数 的 意 义 . 能 选 择 适 当 的 参 数 写 出 直 线 、 圆 和 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程 .二 、 知 识 归 纳 总 结 ：1 伸 缩 变 换 ： 设 点 ),( yxP 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 ， 在 变 换 )0(, )0(, yy xx： 的 作 用 下 ， 点 ),( yxP 对 应 到 点 ),( yxP ， 称 为 平 面 直 角 坐标 系 中 的 坐 标 伸 缩 变 换 ， 简 称 伸 缩 变 换 。2.极 坐 标 系 的 概 念 ： 在 平 面 内 取 一 个 定 点 O， 叫 做

4、极 点 ； 自 极 点 O引 一 条 射 线 Ox叫 做 极 轴 ； 再 选 定 一 个 长 度 单 位 、 一 个 角 度 单 位 (通 常 取 弧 度 )及 其 正 方 向 (通 常取 逆 时 针 方 向 )， 这 样 就 建 立 了 一 个 极 坐 标 系 。3 点 M 的 极 坐 标 ： 设 M 是 平 面 内 一 点 ， 极 点 O与 点 M 的 距 离 |OM 叫 做 点 M 的极 径 ， 记 为 ； 以 极 轴 Ox为 始 边 ， 射 线 OM 为 终 边 的 xOM 叫 做 点 M 的 极 角 ，记 为 。 有 序 数 对 ),( 叫 做 点 M 的 极 坐 标 ， 记 为 )

5、,( M .极 坐 标 ),( 与 )(2,( Zkk 表 示 同 一 个 点 。 极 点 O的 坐 标 为 )(,0( R .4.若 0 ， 则 0 ,规 定 点 ),( 与 点 ),( 关 于 极 点 对 称 ， 即 ),( 与),( 表 示 同 一 点 。 如 果 规 定 20,0 ， 那 么 除 极 点 外 ， 平 面 内 的 点 可用 唯 一 的 极 坐 标 ),( 表 示 ； 同 时 ， 极 坐 标 ),( 表 示 的 点 也 是 唯 一 确 定 的 。5 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 ：6. 圆 的 极 坐 标 方 程 ：在 极 坐 标 系 中 ， 以 极 点 为

6、圆 心 ， r为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 r ；在 极 坐 标 系 中 ， 以 )0)(0,( aaC 为 圆 心 ， a为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 cos2a ；在 极 坐 标 系 中 ， 以 )0)(2,( aaC 为 圆 心 ， a为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 sin2a ；7.直 线 的 极 坐 标 方 程 ：在 极 坐 标 系 中 ， )0( 表 示 以 极 点 为 起 点 的 一 条 射 线 ；)( R 表 示 过 极 点 的 一 条 直 线 ；在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 )0)(0,( aaA ， 且 垂 直 于

7、极 轴 的 直 线 l的 极 坐 标 方 程 是a cos .8 参 数 方 程 的 概 念 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 yx, 都是 某 个 变 数 t的 函 数 )( )(tgy tfx ， 并 且 对 于 t的 每 一 个 允 许 值 ， 由 这 个 方 程 所 确 定的 点 ),( yxM 都 在 这 条 曲 线 上 ， 那 么 这 个 方 程 就 叫 做 这 条 曲 线 的 参 数 方 程 ， 联 系变 数 yx, 的 变 数 t叫 做 参 变 数 ， 简 称 参 数 .相 对 于 参 数 方 程 而 言 ， 直 接 给

8、 出 点 的 坐 标 间 关 系 的 方 程 叫 做 普 通 方 程 .9 常 见 参 数 方 程 ：)0(nt,sin ,cos,222 xxyay xyx 圆 222 )()( rbyax 的 参 数 方 程 可 表 示 为 sincosrby rax (为 参 数 ).椭 圆 )0(12222 babyax 的 参 数 方 程 可 表 示 为 sincosby ax ( 为 参 数 ).抛 物 线 pxy 22 的 参 数 方 程 可 表 示 为 pty ptx 22 2 (t为 参 数 ).经 过 点 ),( 000 yxM ， 倾 斜 角 为 的 直 线 l的 参 数 方 程 可 表

9、 示 为 sincos00 tyy txx (t为参 数 ).10 在 建 立 曲 线 的 参 数 方 程 时 ， 要 注 明 参 数 及 参 数 的 取 值 范 围 .在 参 数 方 程 与 普通 方 程 的 互 化 中 ， 必 须 使 yx, 的 取 值 范 围 保 持 一 致 .(2016 全 国 I（ 乙 ） )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 tay tax sin1 cost( 为 参 数 ， )0a .在 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 cos42 ：C .（ ） 说

10、明 1C 是 哪 一 种 曲 线 ， 并 将 1C 的 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 ；（ ） 直 线 3C 的 极 坐 标 方 程 为 0 ， 其 中 0 满 足 2tan 0 ， 若 曲 线 1C 与 2C 的公 共 点 都 在3C 上 ， 求 .【 参 考 答 案 】 ( )消 去 参 数 t得 到 1C 的 普 通 方 程 222 )1( ayx . 1C 是 以 )1,0( 为 圆 心 ， a为 半 径 的 圆 .将 sin,cos yx 代 入 1C 的 普 通 方 程 ， 得 到 1C 的 极 坐 标 方 程 为 ：01sin2 22 a .( )由 题 意 ， 曲 线 1

11、C ， 2C 公 共 点 的 极 坐 标 满 足 方 程 组 cos4 01sin2 22 a ， 若 0 ，由 方 程 组 得 01sincos8cos16 22 a ， 由 已 知 2tan ， 可 得0sincos8cos16 2 ， 从 而 01 2 a ， 解 得 1a (舍 去 ), 1a .1a 时 ， 极 点 也 为 1C ， 2C 公 共 点 的 公 共 点 ， 在 3C 上 ， 所 以 1a .(2016 全 国 （ 甲 ） )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 圆 C的 方 程 为 25)6( 22 yx .（ ） 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴

12、为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 求 C的 极 坐 标 方 程 ；（ ） 直 线 l的 参 数 方 程 是 sincosty tx t( 为 参 数 )， l与 C交 于 BA, 两 点 ，10| AB ， 求 l的 斜 率 .【 参 考 答 案 】 ( )由 sin,cos yx 可 得 圆 C的 极 坐 标 方 程 为 ：011cos122 .( )在 ( )中 建 立 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 )( R .设 BA, 所 对 应 的 极径 分 别 为 21, ， 将 l的 极 坐 标 方 程 代 入 C的 极 坐 标 方 程 得 011cos

13、122 ,于 是11,cos 2121 . 44cos1444)( 22122121 AB .由 10AB 得 83cos2 ，315tan ， 所 以 直 线 l的 斜 率 为 315 或 315 .(2016 全 国 （ 丙 ） )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 sincos3yx ( 为 参 数 ) . 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ，曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 22)4sin( .（ ） 写 出 1C 的 普 通 方 程 和 2C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ ）

14、设 点 P在 1C 上 ， 点 Q在 2C 上 ， 求 | PQ 的 最 小 值 及 此 时 P的 直 角 坐 标 .【 参 考 答 案 】 ( ) 1C 的 普 通 方 程 为 13 22 yx ， 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为 04 yx .( )由 题 意 ， 可 设 点 P的 直 角 坐 标 为 )sin,cos3( .因 为 2C 是 直 线 ， 所 以 | PQ 的 最 小值 即 为 P到 2C 的 距 离 )(d 的 最 小 值 , 23sin22 4sincos3)( d ，当 且 仅 当 )(62 Zkk 时 ， )(d 取 得 最 小 值 ,最 小 值 为 2 ,此

15、 时 P的 直 角 坐 标 为 21,23 .(2015 全 国 I)在 直 角 坐 标 系 xOy中 ,直 线 21 xC： ， 圆12()1( 2)22 yxC ： ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .（ ） 求 1C ， 2C 的 极 坐 标 方 程 ；（ ） 若 直 线 3C 的 极 坐 标 方 程 为 )(4 R ， 设 2C 与 3C 的 交 点 为 NM, ,求MNC2 的 面 积 .【 参 考 答 案 】 ( )因 为 sin,cos yx ， 所 以 1C 的 极 坐 标 方 程 为 ： 2cos ，2C 的 极 坐

16、 标 方 程 为 04sin4cos22 .( )将 4 代 入 04sin4cos22 得 到 04232 ， 解 得2,22 21 .故 221 ， 即 2MN .由 于 2C 的 半 径 为 1， 所 以 MNC2的 面 积 为 21 .(2015 全 国 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ,曲 线 tty txC (sincos1 ： 为 参 数 ， )0t ， 其中 0 . 在 以 O为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 sin22 ：C ， cos323 ：C .（ ） 求 2C 与 3C 交 点 的 直 角 坐 标 ；（ ） 若 1C

17、 与 2C 相 交 于 点 A， 1C 与 3C 相 交 于 点 B， 求 | AB 的 最 大 值 .【 参 考 答 案 】 ( )曲 线 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为 0222 yyx ， 曲 线 3C 的 直 角 坐 标 方 程 为03222 xyx .联 立 032 0222 22 xyx yyx ， 解 得 00yx 或 2323yx .所 以 2C 与 3C 交点 的 直 角 坐 标 为 )0,0( 或 )23,23( .( )曲 线 1C 的 极 坐 标 方 程 为 )0,( R ， 其 中 0 .因 此 A的 极 坐 标 为),sin2( ， B的 极 坐 标 为 ),

18、cos32( ， 所 以)3sin(4cos32sin2 AB .当 65 时 ， AB 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 4.(2014 全 国 I)已 知 曲 线 194 22 yxC： ， 直 线 tty txl (222: 为 参 数 ) .（ ） 写 出 曲 线 C的 参 数 方 程 ， 直 线 l的 普 通 方 程 ；（ ） 过 曲 线 C上 任 意 一 点 P作 与 l夹 角 为 30 的 直 线 ， 交 l于 点 A， 求 | PA 的 最大 值 与 最 小 值 .【 参 考 答 案 】 ( )曲 线 C的 参 数 方 程 为 sin3cos2yx ,( 为 参 数 )，

19、 直 线 l的 普 通 方 程 为062 yx .( )曲 线 C上 任 意 点 )sin3,cos2( P 到 l的 距 离 为 6sin3cos455 d .则6)(sin555230sin dPA ， 其 中 为 锐 角 ， 且 34tan .当 1)sin( 时 ， PA 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 552 .当 1)sin( 时 ， PA 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 5 522 .(2014 全 国 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ,以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴建 立 极 坐 标 系 ， 半 圆 C的 极 坐 标 方 程

20、 为 2,0,cos2 .（ ） 求 C的 参 数 方 程 ；（ ） 设 点 D在 C上 ， C在 D处 的 切 线 与 直 线 23: xyl 垂 直 ， 根 据 （ ） 中你 得 到 的 参 数 方 程 ， 确 定 D的 坐 标 .【 参 考 答 案 】 ( )C的 直 角 坐 标 方 程 为 )10(1)1( 22 yyx ， 进 而 C的 参 数 方 程 为 ty tx sincos1,(t为 参 数 t0 ).( )设 )sin,cos1( ttD ， 由 ( )C是 以 )0,1(G 为 圆 心 ， 1 为 半 径 的 上 半 圆 ， 因 为 C在 点 D处 的 切 线 与 l垂

21、直 ， 所 以 直 线 GD与 l的 斜 率 相 同 ， 3tan t ， 3t .故 D的 直 角 坐 标 为)3sin,3cos1( ， 即 )23,23( .(2013 全 国 )已 知 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 tty tx (sin55 cos54 为 参 数 ) ， 以 坐 标 原点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 sin2 .（ ） 把 1C 的 参 数 方 程 化 为 极 坐 标 方 程 ；（ ） 求 1C 与 2C 交 点 的 极 坐 标 )20,0( .【 参 考 答 案 】 (

22、 ) 1C 的 普 通 方 程 为 25)5()4( 22 yx ， 展 开 有01610822 yxyx ， 将 sincosyx 代 入 01610822 yxyx ， 便 可 得 1C的 极 坐 标 方 程 ， 即 016sin10cos82 .( ) 2C 的 普 通 方 程 为 0222 yyx .由 02 25)5()4( 22 22 yyx yx 解 得 11yx 或 20yx ，所 以 1C 与 2C 交 点 的 极 坐 标 分 别 为 )4,2( ， )2,2( .(2013 全 国 )已 知 动 点 QP, 都 在 曲 线 tty txC (sin2cos2 ： 为 参 数

23、 ) ， 对 应 参 数 分别 为 t 与 )20(2 t ， M 为 PQ中 点 .（ ） 求 M 的 轨 迹 的 参 数 方 程 ；（ ） 将 M 到 坐 标 原 点 的 距 离 d 表 示 为 的 函 数 ， 并 判 断 M 的 轨 迹 是 否 过 坐 标原 点 .【 参 考 答 案 】 ( )依 题 意 有 )2sin2,2cos2(),sin2,cos2( QP ， 因 此)2sinsin,2cos(cos M .点 M 的 轨 迹 参 数 方 程 为 2sinsin 2coscosyx ， ( 为参 数 ， 20 ).( )M 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 )20(cos

24、2222 yxd ,当 时 ，0d ， 故 M 点 的 轨 迹 过 坐 标 原 点 .(2012 全 国 )已 知 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 (sin3cos2 yx 为 参 数 ) ， 以 坐 标 原 点 为 极点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 2 ， 正 方 形ABCD的 顶 点 都 在 2C ， 且 DCBA , 依 逆 时 针 次 序 排 列 ， 点 A的 极 坐 标 为 3,2 .（ ） 求 点 DCBA , 的 直 角 坐 标 ；（ ） 设 P为 1C 上 任 意 一 点 ， 求 2222 | PDPCPBPA 的 取 值 范 围 .【 参 考 答 案 】 ( )由 已 知 可 得 )3sin2,3cos2( A ， )23sin(2),23cos(2( B ，)3sin(2),3cos(2( C ， )233sin(2),233cos(2( D .即 就 是 )3,1(A ，)1,3(B ， )31( ，C , )1,3( D .( )设 )sin3,cos2( P ， 令 2222 | PDPCPBPAS ， 则 222 sin203216sin36cos16 S ， 因 为 1sin0 2 ， 所 以 S 的 取 值 范 围 是52,32 .