1、.坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换xx(0)设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 :g的作用下 , 点 P(x,y)对应到点 P ( x , y ) , 称为平面直角坐标系中的坐标伸ygy(0)缩变换 , 简称伸缩变换 .2. 极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系 .注 : 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两
2、条数轴为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可 . 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标：设 M是平面内一点 , 极点 O 与点 M的距离 |OM| 叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴 Ox 为始边 , 射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M的极角 , 记为 . 有序数对 ( , ) 叫做点 M的极坐标 , 记作 M ( , ) .一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数.特别地 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为 (0,)( R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02, 那么除极
3、点外, 平面内的点可用唯一的极坐标(,) 表示 ; 同时 , 极坐标 (,) 表示的点也是唯一确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 :(2) 互化公式 : 设 M 是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是( x, y) , 极坐标是 (,) (0 ), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 M直角坐标 ( x, y)极坐标 (,)xcos2x2y2互化公式sintany ( x 0)yx在一般情况下 , 由 tan确定角时 , 可根据点 M 所在的象限最小正角 .4. 常见曲
4、线的极坐标方程.曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径r (02)为 r 的圆圆心为 (r ,0), 半径2r cos()2为 r 的圆2圆 心 为 (r ,) , 半2r sin(0)2径为 r 的圆(1)过极点 , 倾斜角为R)或(R)(的直线(2)(0)和(0)过点 (a,0) , 与极轴cosa()垂直的直线22.过 点 (a, ), 与 极)2sina(0轴平行的直线注 : 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一, 即 ( , ),( ,2),( ,),( ,), 都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满
5、足极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程, 点 M (, ) 可以表示为44( ,2 )或 (4,2 )或 (-, 5 ) 等多种形式 , 其中 , 只有 (, ) 的极坐标满足方程.4444444二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标xf (t )x, y 都是某个变数 t 的函数 , 并且对于 t 的每一个允许值 , 由方程组所确定的yg (t )点 M ( x, y) 都在这条曲线上 , 那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做
6、普通方程 .2. 参数方程和普通方程的互化.(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数 x, y 中的一个与参数t 的关系 , 例如 xf (t ) , 把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数的关系xf (t)y g(t) , 那么就是曲线yg(t)的参数方程 , 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致 .注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示
7、，设圆O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 M 0 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设 M ( x, y) ，则xr cos( 为参数 ) 。yr sin这就是圆心在原点O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中的几何意义是 OM 0转过的角度。圆心为 (a, b) ，半径为 r 的圆的普通方程是 ( x a) 2( yb) 2r 2 ，xar cos它的参数方程为：yb( 为参数 ) 。r sin4椭圆的参数方程以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2y21(a bxa cos为参数，其中参数称为离心角；a2b20), 其参数方程为b sin()y.y2x21
8、(a b 0), 其参数方程为xb cos焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是2b2y( 为参数 ), 其中参数仍为离心角， 通常规定参数的范围为 aa sin0 ， 2 ）。注： 椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0 到 2 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0时，相应地也有 0，在其他象限内类似。225双曲线的参数方程以 坐 标 原 点 O 为 中 心 ， 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 议 程 为 x2y2xa sec1(a 0, b为参数 ) ，
9、 其 中0), 其 参 数 方 程 为(a2b2yb tan0,2 )且,3 .22焦点在y轴上的双曲线的标准方程是y2x2其参数方程为xb cot为参数，其中且a2b21(a 0, b 0),y(0,2)e.a csc以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程2x2 pt2以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线为参数y2 px( p 0) 的参数方程为2 pt(t).y7直线的参数方程.经过点 M 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为() 的直线 l 的普通方程是 yy0 tan (xx0 ), 而过 M 0 (x0 , y0 ) ，倾斜角为的直线 l 的参数方程为2xx0t cosyy0(t为参数 ) 。t sinM 0 ( x0 , y0 ) ，倾斜角为xx0t cos注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点的直线 l 的参数方程为y0(t为参数 ) ，其中 t 表示直线 l 上以定yt sinuuuuuur点 M 0 为起点，任一点M ( x, y) 为终点的有向线段M 0M 的数量，当点 M 在 M 0 上方时， t 0；当点 M 在 M 0 下方时， t 0；当点 M 与 M 0 重合时，t =0。我们也可以把参数t 理解为以 M 0 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。.
