1、坐标系与参数方程 知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用(0):xyA下,点 P(x,y)对应到点 ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.()Pxy2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示 ,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射OO线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆Ox时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.
2、但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设 M是平面内一点,极点 与点 M的距离|OM|叫做点 M的极径,记为 ;以极轴 为始OOx边,射线 为终边的角 叫做点 M的极角,记为 .有序数对 叫做点 M的极坐Ox(,)标,记作 .(,)一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.0,特别地,当点 在极点时,它的极坐标为(0, )( R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;0,2 (,)同时,极坐标 表示的点也是唯一确定的.()3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的
3、正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐标是 (M()xy,),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:0点 直角坐标 (,)xy极坐标 (,)互化公式cosiny22tan(0)xy在一般情况下,由 确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.tanM4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆r (02)r圆心为 ,半径(0)为 的圆r 2cos()2r圆心为 ,半()2径为 的圆r sin(0)r过极点,倾斜角为的直线(1) ()()RR或(2) 00和过点 ,与极轴(0)a垂直的直线c
4、os()2a过点 ,与极()2a轴平行的直线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的()2),(),()唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 点 可以表示为,(,)4M等多种形式,其中,只有 的极坐标满足方5(,2)(,2)444或 或 - (,)4程 .二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数,xyt,并且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点 都在这条曲线上,那()xftygt ()M么方程就
5、叫做这条曲线的参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于,xyt参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求,xyt()xft出另一个变数与参数的关系 ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与()ygt()xftyg普通方程的互化中,必须使 的取值范围保持一致.,x注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的
6、参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作OrM0 O匀速圆周运动，设 ，则 。(,)xycos()in为 参 数这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角r0M度。圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，(,)abr22()()xaybr它的参数方程为： 。cosinxay为 参 数4椭圆的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其Ox21(0),xyab参数方程为 ，其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标cos()inxayb为 参 数 准方程是
7、其参数方程为 其中参数 仍为离21(0),acos(),inxbya为 参 数 心角，通常规定参数 的范围为 0，2 ） 。注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 0的范围内） ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也2 02有 ，在其他象限内类似。05双曲线的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的双曲线的标准议程为Ox其参数方程为 ，其中21(0,),xyabsec()tanyb为 参 数3,),.2且焦点在 轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为y21(0,
8、),yxabcot(0,).sxbea为 参 数 ， 其 中 且以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方程为2(0)ypx2().xpty为 参 数7直线的参数方程经过点 ，倾斜角为 的直线 的普通方程是0(,)Mxy()2l而过 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为0tany0,xyl。0cosixt()t为 参 数注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 ，倾斜角为 的直线 的参0(,)Mxyl数方程为 ，其中 表示直线 上以定点 为起点，任一点0cosinxty()t为 参 数 tl0为终点的有向线段 的数量，当点 在 上方时， 0；当点 在(,)M00tM下方时， 0；当点 与 重合时， =0。我们也可以把参数 理解为以 为原0tMt 0点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的l单位长度相同。
