1、1 / 5函数零点问题【教学目标】知识与技能：1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合.一、引例（1） 函数 e2xf的零点所在的一个区间是（ ） A. 2,1 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,2解法一:代数解法解：(
2、1)因为 0e2f， 1e20f，所以函数 xf的零点所在的一个区间是 ,故选 C.二、 基础知识回顾1函数零点概念2 / 5对函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零yfx0fxxyfx点2.零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是yfxa,b连续不断一条曲线，并且有 ，那么，函数 在0fabyfx区间 内有零点.即存在 ，使得 ，这个 c 也就是a,bc,fc方程 的根.0fx问题 1:函数 ,有 ,那1fx1120,20ff么在 上函数 有零点吗?2,fx问题 2:函数 在区间2()68fx有零点吗?1,3 0, 1,5引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?解
3、法二:几何解法(1). e2xf 可化为 2xe画出函数 和 的图象，可观察得出 C 正确.xyy函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记)函数 有零点 yFxfgx432116 4 2 2 4y = x + 2y = ex0 xy3 / 5方程 有实数根0Fxfgx函数 图像有交点.12,yf三、能力提升1.利用函数图像求函数零点问题例 1：（1）函数 的零点有 （ ） lgcosfxxA4 个 B3 个 C2 个 D1 个变式 1：若函数为 ，则有 个零点.lgcosfxx变式 2：若函数为 ，则有 个零点.lgcosfx解:由 ,可化为 ,画出 和lcs0fxx lgyx的图像,可得出
4、B 正确. 有 4 个零点, cosy lcosfx有 6 个零点.lgsfxx(2)函数 与 的图像在 有 个交点,1y2sinyx2,4交点的横坐标之和为 解:函数 与 的图像在 有 8 个交点,因为图1yx2sinyx2,4像都关于 点对称,故交点的横坐标之和为 4.0（3）:若关于 的方程 有两个不同的实数根,x2ax0a求 的取值范围.a108642245 10 15 20 25o y=cosxy=lgx108642245 10 15 20 25o ycosxylgxyx5432112344 2 2 4 6 8 10y = g(x)y = 1x 1y = sin2x xyo4 / 5
5、解 1:设 ,分别画两函数的图像,两图像有两个2,yaxa不同的交点即方程 有两个不同的实数根. 与2x xay2的图像，当 时，在第一象限平行，第二象限有一axy1a个交点，当 时只有一个交点在第二象限，当 时有两 1a个交点，故 .解 2:设 ,分别画两函数的图像,两图像有两21,yxa个不同的交点即方程 有两个不同的实数根.只有当xa的斜率小于 1 时有两个交点，即 ， .axy12 21a2.利用零点性质求参数的取值范围探究： 在 上有三个零点，求a的取值范32()69fxxR围.解：由 得22()313(4)3()1fxxxx令 ，得 或 ，0,得fx13x在 ， 上单调递()(,)
6、增，在 上单调递减,，()=(1)40fxfa极 大 值4a()(3)fxf极 小 值.054321128 6 4 2 2 4OyxO654321126 4 2 2 4 6 8xy6.565.554.543.532.521.510.50.515 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8A xoy4.543.532.521.510.50.511.522.56 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7xoy5 / 5变式1：方程 在 上有实数解，求a的取值32690xa2,4范围.解：由方程 在 上有实数解，即32x,3269xa由 的图像可得：32fx04a变式2： 在 上有实数解，求a的取值范围.02,4解1：由 ， .329,xax136,2变式3：若不等式 在 上恒成立，求a的取值范3290a,4围.解：转化为 恒成立问题，即(),13ax得 .min9(),13ax,6四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.
