1、。 几抖 年 月 绵 阳 师 范 学 院 学 报第 卷 第 期, 卜 、 声 , 鑫 曰 卜 , 、 , , 举 , 盛 , 占 人 了 月 卜 、水 迷 大 已 件 勺 关 迷 大 已 件 则 玩 一 力 达徐 德 余绵 阳 师 范 学 院 教 学 与 信 息 科 学 系 , 四 川 绵 阳 】摘 要 首 先 给 出 同 时 用 初 等 行 变 换 与 初 等 列 变 换 求 可 逆 拒 阵 的 逆 矩 阵 的 方 法 , 然 后 将 此 方 法 推 广 , 得 到 求一 般 拒 阵 广 义 逆 拒 阵 的 具 有 实 用 性 的 方 法 。关 键 词 可 逆 拒 阵 逆 拒 阵 广 义 逆
2、 矩 阵中 图 法 分 类 号 文 献 标 识 码 文 章 编 号 石 抖 刁 供在 高 等 代 数 线 性 代 数 教 科 书 中 , 都 介 绍 了 用 初 等 行 或 列 变 换 求 可 逆 矩 阵 的 逆 矩 阵 的 方 法 。 但 是 ,在 方 法 中 限 制 了 只 能 用 初 等 行 变 换 或 初 等 列 变 换 , 不 能 同 时 用 行 、 列 变 换 。 学 生 往 往 要 问 是 否 有 同 时 使用 行 、 列 变 换 求 逆 矩 阵 的 方 法 下 面 先 来 介 绍 这 种 方 法 。同 时 用 行 、 列 初 等 变 换 求 可 逆 矩 阵 的 逆 矩 阵 方
3、法在 高 等 代 数 或 线 性 代 数 书 中 , 都 有 如 下 定 理定 理 一 个 矩 阵 总 可 以 通 过 初 等 变 换 化 为 以 下 形 式 的 矩 阵卜卜十产、一一一这 里 是 阶 单 位 矩 阵 , 。 表 示 、 , 的 零 矩 阵 , 等 于 的 秩 川 殉 。推 论 设 是 一 个 矩 阵 , 则 存 在 阶 可 逆 矩 尸 和 阶 可 逆 矩 阵 口 , 使 得口 二一卜一 , 卜推 论 设 是 阶 方 阵 , 则 存 在 阶 可 逆 阵 与 , 使 得,尸 姓 口 口 口推 论 设 是 阶 可 逆 矩 阵 , 则 存 在 阶 可 逆 阵 与 , 使 得几从 而
4、一 二由 推 论 , 得 到 求 的 逆 矩 阵 的 如 下 方 法初 等 行 列 变 换一 斗尸口一 , 二 尸例 同 时 用 行 、 列 初 等 变 换 求 矩 阵收 稿 日 期 片 一 犯作 者 简 介 徐 德 余 一 , 男 , 教 授 , 主 要 从 事 环 论 、 矩 阵 论 的 研 究 。一 一潮 涌 肺 抢 学 脚 然 膨 缪 粼 麟 撇 撇 珊 珊 琳一一, 、一一的 逆 矩 阵 。解 对 阶 分 块 矩 阵 作 行 、 列 初 等 变 换一一。 。 , , , 一,一了犷,胜 ,、 、一求 得矛 、 了才七,人通 心人五一一一 刁 三工一一一嘴厂了、 三曰上劝工二,曰工一一
5、、一、 、百了八飞 二一勺一一门几,五一了,、一一、 ,八四旧 、丫 ”“人二又 一声 ,工 、一一 工灵 活 应 用 这 种 方 法 , 可 简 化 求 矩 阵 的 计 算 。这 种 方 法 是 普 通 的 只 用 行 或 列 初 等 变 换 求 逆 矩 阵 的 推 广 , 而 普 通 的 只 用 行 或 列 初 等 变 换 求 逆 矩 阵的 方 法 是 这 种 方 法 的 特 例 , 该 方 法 在 求 广 义 逆 矩 阵 中 也 将 有 重 要 应 用 。求 广 义 逆 矩 阵 的 初 等 变 换 法方 程年 , 彭 诺 斯 提 出 , 如 果 某 个 满 足 下 述 方 程 中 的 某
6、 几 个 , 就 称 它 为 的 某 几 条 广 义 逆凡 丫 沌 ,尤 生 丫 二 ,了 二 ,粼 , 二 剐 。以 上 四 个 方 程 是 对 任 意 复 数 矩 阵 而 言 的 , 称 为 一 方 程 , 本 文 只 讨 论 实 数 矩 阵 。例 如 , 有 某 个 , 只 满 足 式 , 则 称 为 的 广 义 逆 , 记 为 二 。 如 果 另 一 个 满 足 、 ,则 称 为 的 , 广 义 逆 , 记 为 。 川 , , 若 二 川 , , , 则 称 为 的 一 广 义 逆 。广 义 逆 减 号 逆 的 存 在 性 及 求 法定 义 任 给 。 、 。 , 如 果 存 在 。
7、、 。 , 满 足 名 叼 以 , 则 称 为 的 一 个 川 广 义 逆 , 简 称 减 号 逆 。 并 记 它 们一 一的 全 体 为 叉 摊 左川 中 的 元 素 , 记 为 一 , 如 果 有 不 同 的 元 素 , 则 用 , , 加 以 区 别 。引 理 设 。 。 。 、 , 其 中 、 都 是 满 秩 方 阵 , 那 么 骨 口 护 。 。证 二 侣 汹 叉 滩骨骨 刀 口 朴骨 口 万 尸 。 川 。引 理 告 诉 我 们 , 两 个 等 阶 矩 阵 , , 如 果 其 中 一 个 的 减 号 逆 可 求 出 来 , 另 一 个 的 减 号 逆 也 可 以 求 出 来 。进
8、而 一 个 的 全 部 减 号 逆 求 出 来 了 , 另 一 个 的 全 部 减 号 逆 也 可 以 求 出 来 。定 理 存 在 性 任 给 矩 阵 。 。 , 那 么 川 一 定 存 在 。证 当 时 , 即 。 , 这 时 。当 二 时 , 存 在 满 秩 矩 阵 。 、 。 与 、 , 使 得尸 召 二于 是, 中 的 元 素 是 任 意 实 数 。矛、护 ,一一几由 引 理 得卜” ” 中 的 元 素 是 任 意 实 数 。由 于 存 在 , 从 而 证 得 存 在 。由 定 理 知 , 要 求 矩 阵 的 广 义 逆 减 号 逆 , 只 须 先 求 出 的 等 价 标 准 形 的
9、 广 义 逆 , 就 可 以 写 出 的广 义 逆 。 而 中 的 尸 、 , 可 用 前 面 介 绍 的 方 法 求 出 。 因 此 , 同 时 用 行 、 列 等 变 换 法 求 出 逆 矩 阵 的 方 法与 求 矩 阵 的 广 义 逆 的 方 法 是 统 一 的 。求、 、 ,二内 乎 、一一设例解 因 为一一一勺 勺,一一、矛几几一 一所 以、 才 、 、一一、 、了一一卫、 、 以少一一一 、人矛、一一口古月 、 、卜日肠其 中一, 夸 , 、 、少 口 。 晋 “ 二 。 。月一一而一, 是 任 意 实 数 , 、矛 、, 咬一一 一所 以” , 为 任 意 实 数 。户、口之了、
10、川一一 二川由 于 一 般 书 中 并 没 有 给 出 求 广 义 逆 的 具 体 方 法 , 因 此 这 种 方 法 具 有 实 际 意 义 。参 考 文 献 张 禾 瑞 , 郝 丙 新 高 等 代 数 第 版 北 京 高 等 教 育 出 版 社 ,【 北 京 大 学 数 学 系 高 等 代 数 第 版 【 北 京 高 等 教 育 出 版 社 , 一【 徐 德 余 高 等 代 数 成 都 四 川 大 学 出 版 社 ,李 乔 矩 阵 论 八 讲 上 海 上 海 科 学 技 术 出 版 社 ,【 崔 玉 亭 , 李 淑 霞 广 义 逆 矩 阵 青 岛 青 岛 海 洋 大 学 出 版 社 ,川 伪 幻玩一飞 , , 叮 嗯 ,岛 罗一 一
