广义逆矩阵及其应用.doc

1、题 目 广义逆矩阵及其应用 学 院 专 业 通信与信息系统 学 生 学 号 目 录第 1章 前言 1第 2章 广义逆矩阵 22.1 广义逆矩阵的定义 22.2 广义逆矩阵的性质 3第 3章 广义逆矩阵的计算 123.1 一般广义逆求解 123.2 Moore-Penrose 广义逆 16结论 19- 1 -第 1章 前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方

2、程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。1903 年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义

3、逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904 年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在 1920 年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在 1933 年和 1936 年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951 年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955 年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose) 以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)

4、 等价的广义逆矩阵定义，因此通称为 Moore-Penrose 广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。- 2 -第 2章 广义逆矩阵2.1 广义逆矩阵的定义1、Penrose 广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的 Moore-Penrose 定义。定义 2.1 设矩阵 ，若矩阵 满足如下四个 Penrose 方程nmCAmnCX（）A（）（）H)

5、(（）X中的一部分或全部方程，则称 为 的一个广义逆矩阵。A若 只满足（）式，则 成为 的一个 -逆，可记为 ，所有满足 -逆X11A1的 构成的集合记为 。若 满足四个方程中的第 个方程，则称 为1Xkji, X的一个 -逆，记为 ，所有满足 -逆的 构成的集合记为Akji, kjiA, ,。ji,2、常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有=15 类，其中常见的有 ， ， ， ， 。43241C1A2,3,1A4,321A定义 2.2 设有复矩阵 。若有一个 复矩阵 存在，使下式成立，则nmnX称 为 的减号逆：XA(2.1)AX当 存在时，显然

6、满足上式，可见减号逆 是普通逆矩阵 的推广；另11A 1A外，由 得，H)(即- 3 -HHAX可见，当 为 的一个减号逆时， 就是 的一个减号逆。XA定义 2.3 设复矩阵 ，若有一个 矩阵 ，满足：nmCnX且称 为 的一个自反逆矩阵，记作为 ， 满足 Penrose 方程的（） ， （）式，rA所以 。2,1Ar显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵 是矩阵 的 -逆，即 , XA11AX若矩阵 也是矩阵 的 -逆，即 ， 则 为 的一个自反逆矩阵。X1A定义 2.4 设复矩阵 ，若有一个 矩阵 ，满足：nmCn及 ，AXH)(则称 为 的最小二乘广义逆，记作 ， 满足 Penrose

7、方程的（） ， （）式，XAll所以 。3,1m最小二乘广义逆是用条件 对减号逆进行约束后所得到的子集。AXH)(定义 2.5 设复矩阵 ，若有一个 矩阵 ，满足：nmCAn及 ，H)(则称 为 的最小范数广义逆，记作 ， 满足 Penrose 方程的（） ， （）式，XmA所以 。4,1Al显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。若 满足全部四个方程，则称 为 的 Moore-Penrose 广义逆矩阵，记为 。XA2.2 广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。定义 2.6 设矩阵

8、（r0） ，如果存在一个列满秩矩阵 与一个行nmCArmCF满秩矩阵 使得nrG- 4 -，FGA则称上式为 的一个满秩分解。A定理 2.1 对任意矩阵 （r0） ，必存在着矩阵 和 使nmCrmCFnrG。FGA证明： 由 ，对 进行若干次初等行变换后，可将 化为行阶梯矩阵rankA A，B，0B其中 。故存在若干个 阶初等矩阵的乘积 ，使得rankGmP，A即 ，B1将 分块为 , ， ，1PMFP1rmC)(rm便有 。FGA0,因 是可逆矩阵 的前 列，所以 是一个 列满秩矩阵， 是 行满F1PrrmGnr秩矩阵，故 是 的一个满秩分解。GA上式 是 的一个满秩分解，但是 的满秩分解并

9、不是唯一的。任意取一A个 阶非奇异矩阵 ,若 是一个满秩分解，则显然 也是 的一rBFBF1A个满秩分解。一、1-逆的性质定理 2.2 设 ，则 的 Moore-Penrose 逆存在且唯一。nmCA证 设 .若 r=0，则 是 零矩阵，可以验证 零矩阵满足四个rakAnmnPenrose 方程。若 r0，则 有满秩分解分解 ,FG取 ，则 满足 4个 Penrose方程，所以， 是HHFGX11XXMoore-Penrose广义逆矩阵。- 5 -设 ， 均满足四个 Penrose 方程，则XYYAYAAYXXHHH HH综上所诉， 存在且唯一。满足四个 Penrose 方程的所有方程，所以，

10、 属于 15类广义逆矩阵中的任A 意一类。上面我们证明了 的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。对任意的 ，定义 为C（2.4）0,1下面给出1-逆的一些性质。定理 2.3 设 ， ， ，则nmCAnmBC（1） ；1)(1H（2） ；)(（3）若 S 和 T 非奇异，则 ；1)(1)(SATT（4） ；rankArk1（5） 和 均为幂等矩阵且与 A 同秩；A（6） ；)()(),(),( 1)1)1 HARNR（7） 的充要条件是 ，nInrak的充要条件是 ；mA1 mA（8） 的充要条件是 ，BrankABrk)(的充要条件是 。1证 （1）由 ， 有 ， 两边同时求共轭转置得

11、A1， 即 ，HHHA)(由定义知 。1（2） , 由1-逆定义得，A1- 6 -。11A（3） , 由1-逆定义得， STSTATS 1。1（4） , 故 .。rankArankrank11 rankAr1（5） ， 故 为幂等矩阵，又由2AA1， 故 为幂等矩阵， 所以1111，rankArankrank)()(1也即 。 同理， 。Arank)(1 A)1(（6）由 , 得 ，)()()11RR)(1R类似的，由 ，得 。)()()11ANAN)()1(AN又因为， ， )()()()()( )111 HHHHH RRR 所以 。A1（7）充分性： ，所以， ，由 为幂等矩阵且非奇异，

12、nraknArak1A1易知 。nIA1必要性：由 ， ，故 。nI1nrak1nrak另一式同理可证明。（8）充分性： ， ， 所以， 。)(ARBrankABrk)( )(ARB所以存在矩阵 ，使 ，从而 。X X)1()1(必要性： ，故 。rankAbrABrankA)()(1 rankABrk)(- 7 -另一式同理可证明。性质（5）逆命题仍然成立，即定理 2.4 设 复矩阵 ，若存在 矩阵 ， 使 为幂等矩阵，且nmAmnXA，则矩阵 。rakAXrank)( 1X证明： 幂等，则 ，而 ,又 ，)(RArankAXrk)(所以， ， 存在矩阵 , 使得 ，有)(RYXY，AX即

13、。1X2、 -逆的性质,因为在 Penrose 方程（1） （2）中， 和 的位置是对称的，所以 与AXA1,2X是等价的，即 和 总是互为 -逆。这与通常矩阵 的逆的逆是 本1,2AX2,1身是一样的。定理 2.5 设矩阵 , 又设 ， 则1,AZYYAZX。2,1AX证明： ，则 ， ，,ZYAYZ，AX)(，XYAZYAZYZ)(由上 2 式得， 。2,1X定理 2.6 给定矩阵 ，若 ，则 的充要条件是 。A1X2,1ArankAX- 8 -证明： 充分性：若 ，则 ，且 和 幂等，1AXAX，ArankXrkArank)()(又 ，所以， 。rank由定理 2.3得 ，所以， 。1X

14、A2,1A必要性： ，则 ，rankX又 ，根据 X 为自反广义逆，有 ，则2,1AX1rankXA所以， 。rank三、Moore-Penrose 广义逆矩阵 A定理 2.2已证明对任意矩阵 ，Moore-Penrose 广义逆矩阵 存在且唯nmCA一。Moore-Penrose 广义逆矩阵是满足全部 Penrose 条件的广义逆矩阵，其必然有其特殊性，下面给出 Moore-Penrose 广义逆矩阵 的一些性质：A定理 2.7 设矩阵 ，则有nmCA（1） ；)(（2） ；HA)(（3） ； ；)( )()(HHA（4） ； ；)(HA)(（5） 。rankr- 9 -证明： （1）由定义

15、， 和 的位置是对称的，即 是 的 Moore-Penrose 广义逆矩A A阵，那么 就是 的 Moore-Penrose 广义逆矩阵，又因为 唯一，所以， )(A。A)(（2）令 ，则有HAX)(，HHAA，XAXH，AAA HHH ，HXX根据定义， 。AX)()(（3） 令 ,则有H，HHHH AAAAX ,HH,XAAAXA HHH ),(HHHHH 根据定义及 Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知- 10 -。AXAHH)()(同理可证明， 。)()(H（4） 令 ，则有AX，AAAHHH ，XAX，AHHH ， XAAXH 根据定义及 Moore-Penrose 广义

16、逆矩阵的唯一性知。)(HA同理可证明 。)(（5） ，rankArkArank，rankA故 。rankA定理 2.8 给定矩阵 ，则有nmCA，3,14,A其中， ， 。3,1,A,14,证明： 设 ，则3,AX- 11 -由定理 2.5 知， ，又因为2,1AX， 3,13,14,AXAXHH3,13,1， AXA4,13,14, 4,14,1所以， 。,2又因为 只有一个元素，所以， 。4,31AAX第 3章 广义逆矩阵的计算广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。3.1 一般广义逆的求解- 12 -一、1-逆的求解定理 3

17、.1 设矩阵 ，有矩阵 且 ，则nmCAmnCX1A。 （3.1）,|1 mnnZYIIYX证明： 因为对任意 ，令 ，于是有mnZ, ZXAIIMn，ZAXAYIXAn所以， 。1M反之，任取 ，于是有A，MAXIAXIMXnm取 ， ，则 M 有（3.1）式的表示。YZ所以， 。,|1 mnnmCZYIIYA 定理 3.2 设矩阵 ，存在可逆矩阵 和 ，使nrCPnQ，0rIAQ则 中的任一矩阵可写成1APXIQr21的形式，其中， ， ， ，为任意矩阵。rmCX12rn21rmnC2- 13 -证明： 设 ，则 是 矩阵，将 分块为：1AXmnX，21X其中， ， ， ， ，则rCX1r

18、m12rnC21rmnX2，因为 ，所以PAQ PAQQPA， 000)()( 1211 rrr IXIXIX所以， ，即 中的任一矩阵可写成rI1PAQ，即 中的任一个矩阵可写成211XPQr1，PXIQr21其中 ， ， ，为任意矩阵。rmCX12rn21rmnC2由定理 3.2知，要想计算出一个矩阵 的1-逆，必须首先求出可逆矩阵 和AP，使 成为标准形，所以可先构造分块矩阵QPA，0nmIB用行和列初等变换把 中的 化简成 ，Ar同时， 化成了 ， 化成了 ，即nIQmIP- 14 -， 000QPAIIAPmn故， ，rIAPQ于是 中的矩阵可写成1。PXIQr212、1,3-逆的求

19、解定理 3.3 设矩阵 ，那么nmCA（1）若 是行满秩矩阵，则 ；Al（2）若 是列满秩矩阵，则 ；AHl1)(（3）若 且有满秩分解 ，则n,mirankFG或 。llFGAHlA)(证明： (1)若 是行满秩矩阵，则 ， ，有nmCmrankmI，AIAHm)(所以， 。Al(2)若 是列满秩矩阵，令 ，nmCHAX1)(，AAAXHHH11)()()(- 15 -又 ，AAXH1)(所以， 。l1)(3) HllrHlHl FIFGA)()()()( ，lll AF又 ，所以， 。FAGll )( llFGA令 ，于是HX)(，AXAAHH)()()(又 ，所以， 。XH)( l)(3

20、、1，4-逆的求解定理 3.4 设矩阵 ，那么nmCA（1）若 是行满秩矩阵，则 ；1)(HA（2）若 是列满秩矩阵，则 ；Am（3）若 且有满秩分解 ,则,inrakFGA或 。FGAm)(Hm证明： （1）令 ,则1)(HX，XAAAH11)()()(- 16 -又 ，所以， 。AAXH1)( 1)(HmA（2） ，所以， ,有nraknI，AIAnH)(所以， 。Am（3） HmmHGFFG)()()( AFGmm又 ，所以， 。AAm 令 ，则)(HX，XAAAAHHH )()()()(又 ，所以， 。Hm)( )(m3.2 Moore-Penrose 广义逆定理 3.5 设矩阵 （r

21、0 ）的满秩分解为 ，nmrCAFGA其中 ， ，则rmFnrG（1） ；4,21,1iAi（2） ；3,1iFi（3） ；4,21,21 AFGA（4） ；4,13,- 17 -（5） 。HHHH FAGFGFA 111 证明： （1） ， 分别为列满秩和行满秩矩阵， ，有rI11， AFIFAGr11所以， ；1121212121212 FGFGFA所以， ；12GAFFAFHH 1414441414 所以， 。14综上， 。4,2,1iAFGi（2） ， 分别为列满秩和行满秩矩阵， ，有rIGF11， AGIFFAr11所以， ；1G，212121212121 FGFFA；21，3131

22、333131 FAFFGFAHH 所以， ，31A- 18 -综上， 。3,21,1iAFGi（3）由（2）知， 成立；由（1）知， 。,1 4,21AFG（4）由 知， ，又因为4,21AF4,23,1AFG，3,13,13,13,13,13,1 FAFAGHHH 即 ，所以， ，3,1F 4,23,1AF又由 的唯一性， 。4,2A3,1G同理可证明 。F4,1所以， 。GA4,13,（5）由（4）式 ，又 ， ，FG4,13, 3,1FGF4,1由 的唯一性知 。由定理 2.7 之（4）知 ， ，HH而矩阵 和 可逆，显然 ，且 ，HGF1G1FH所以， 。HHHAFA 111 结 论我们对逆矩阵进行得到广义逆矩阵的概念，不同于非奇异矩阵的逆，广义逆矩阵并不唯一，而且广义逆矩阵的种类也不唯一，我们对广义逆矩阵进行分类定义，主要研究常见及常用广义逆矩阵，探讨广义逆矩阵的性质，从而对一般矩阵进行其各种广义逆矩阵的求解，然后利用广义逆矩阵解线性方程组。- 19 -