1、 本科毕业论文论文题目： 逆矩阵及其应用 学生姓名： 学 号 ： 专 业 ： 数学与应用数学 指导教师： 学 院： 年 月 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目 逆矩阵及其应用选题时间 完成时间论文（设计）字数关 键 词 矩阵，逆矩阵，广义逆矩阵，论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：论文题目的来源：自选题目论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：主要创新点：附：论文（设计） 本人签名： 年 月 日目 录中文摘要 1英文摘要 1一、 引言 2二、 矩阵逆的定义2三、 可逆矩阵的性质 2四、 矩阵可逆的判定方法2五、 矩阵逆的求法3六、 矩阵逆的应用12七、 逆矩阵求某些函数的不定积
2、分13八、 矩阵逆的推广14参考文献 161逆矩阵及其应用摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及逆矩阵求不定积分,矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用.最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广.关键词：矩阵 矩阵的逆 广义逆矩阵中图分类号：O151.21The inverse matrix and its applicationAbstract: This paper presents the definition and properties of inverse matrix, then discusses the method about
3、 how to identify inverse matrix and how to evaluate it. Next, this paper discusses how to evaluate indefinite integral by inverse matrix and the application of inverse matrix, especially its application in the encoding, decoding. Finally, this thesis generalizes inverse matrix. Keywords: Matrix Inve
4、rse matrix Generalized inverse matrix2一：引言矩阵是现代数学的一个强有力的工具，应用非常广泛，逆矩阵又是矩阵理论的一个非常重要的概念，文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、判定方法、应用进行探讨.目的在于改进教学，促进学生的学习，提高教育教学质量，让学生了解逆矩阵的应用. 二：矩阵逆的定义引入矩阵的逆这个概念:对于 n 矩阵 A，如果有一个 n 矩阵 B，使得 AB=BA=E，E 为单位矩阵则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为 A .1三：可逆矩阵的性质1、若矩阵 A、B 均可逆,则矩阵 AB 可逆，其逆阵为 B
5、1A ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆.2、若 A 可逆，则 1也可逆，且 =A；1A3、若 A 可逆，数 0，则 可逆，且 ；11A4、若 A 可逆，则 T也可逆，且 .1TT5、 .()()16、矩阵的逆是唯一的，证明：运用反证法，如果 A 是可逆矩阵，假设 B,C 都是 A 的逆，则有 AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与 BC 矛盾） ，所以是唯一的.四：矩阵可逆的判定方法矩阵可逆有如下若干充要条件：（A 为 n 阶方阵）1、存在 B 为 n 阶方阵，使得 AB=I；2、对于 PAQ= ，其中 r（A）=n；0I3、 A；4、A 的行向量组
6、线性无关；5、A 的列向量组线性无关；6、A 可表示成一系列初等矩阵的乘积；37、A 可经过一系列初等行变换化成单位矩阵 I；8、A 可经过一系列初等列变换化成单位矩阵 I；9、对于齐次线性方程组 AX=0 只有零解；10、 是非奇异矩阵.五：矩阵的逆的求法（一）.定义法定义 设 A 是 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=E,那么 A 称为可逆 j 矩阵，B 称为 A 的逆矩阵，记为 .1A例 1. 求矩阵 的逆矩阵.1203解 ： 因为 0,所以 存在.设A,由定义知 A=E,32311xA1所以 = .032311x0由矩阵乘法得= . 321332123211 xxxxx
7、 10由矩阵相等可解得 ; ; .312x654321x32故 4651A（二）.伴随矩阵法定理 n阶矩阵A = a ij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且4，其中A ij是|A|中元素a ij的代数余子式.1212112nnnA 矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有1122nnA A-1 = A*.1|A|注释 对于阶数较低（一般不超过 3 阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意 A* = （A ji） nn元素的位置及符号.特别对于 2 阶方阵 ，12aA其伴随矩阵 ,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变212*a号”的规律.对于分块矩阵 不能按上述规
8、律求伴随矩阵.ABCD例 2：已知 ，求 A-1.10=235解: = 2 0AA 可逆.由已知得 112132233A= -5, 0,A= 7- , , A-1 = A* = 1|A| 515120277（三）.行(列)初等变化法5设 n 阶矩阵 A，作 n2n 矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块 A 变为 ，则子块 将变为 ，即初等行变换 E,A -1 .nInI1A注 对于阶数较高（n3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.也可以利用 求得 A 的逆矩阵.1EE 初 等 列 变 换当矩阵 A 可逆时，可利用 1 1
9、EB ,CABA 初 等 行 变 换 初 等 列 变 换求得 A-1B 和 CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了 A-1B 或 CA-1.例 3：:用初等行变换求矩阵 的逆矩阵.23105解：2310125012501AE0335 62121250103039163146302163（四）. 用分块矩阵求逆矩阵设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩阵，则：61 1 11 11 111AA00BCOACBOOBDB 例 4：已知 ，求 A-1.0521A解： 将 A 分块如下： 1205120OA 其中 125,1A可求得 1* *122,51|
10、|3A 112103205OA （五）.解方程组求逆矩阵根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A -1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.7例5： 求 的逆矩阵.10234A解： 设 ,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素2134124301XA,再求 ，最后求 .设E为4阶单位矩阵, 比较2134X,3142X,1的两端对应元素,得到21341243001234X元素 ,再求 ，最后求 .设E为4阶单位矩阵, 比较2134,3142,1X的两端对应元素,得到21341243001234X41424343341423423110X0;,X;,500;,;11X,X8AAAA解 得解 得 解 得解 得 。
