1、本科生毕业论文（设计）册学 院： 数学与信息科学学院专 业： 数学与应用数学班 级： 2010级 A 班学 生： 指导教师： 河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目： 浅谈逆矩阵的求法及其应用 学 院： 数学与信息科学学院 专业： 数学与应用数学 班级： 2010 级 A 班 学生姓名： 学号： 2010011043 指导教师： 职称： 教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务研究几种可逆矩阵求逆的求法，进一步了解逆矩阵的一些在实际中的应用.2、论文（设计）的主要内容先介绍矩阵和逆矩阵的基础知识知识，然后是求逆矩阵的方法，最后是逆矩阵的几个应用.3、论文（设计）的基础条件及研究
2、路线矩阵是数学中的一个重要工具，矩阵及逆矩阵的相关基础知识，矩阵可逆的条件，可逆矩阵求逆的方法，逆矩阵的应用.4、主要参考文献【1】葛红军、阳军著. 矩阵方法，浙江大学出版社.【2】邱森编著. 高等代数，武汉大学出版社.【3】闫慧臻编著. 线性代数及其应用，科学出版社.【4】邱森、朱林生编著. 高等代数探究性课题集，武汉大学出版社.5、计划进度阶段 起止日期1 论文任务书，开题报告 2013.12.2-2013.12.272 毕业论文初稿写作 2014.12.30-2014.3.283 论文二稿写作，中期检查 2014.3.31-2014.4.154 进一步修改，并定稿 2014.4.20-2
3、014.5.85 论文答辩 2014.5.10-2014.5.16指 导 教师: 年 月 日教研室主任: 年 月 日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学 学院 数学与应用数学 专业 2014 届学生姓名论文（设计）题目 浅谈逆矩阵的求法及其应用指导教师专业职称教授 所属教 研室 数学教研室 研究方向 代数组合与编 码课题论证：见附页方案设计：首先介绍矩阵以及逆矩阵的相关的基础知识，再详细介绍几种求逆矩阵的方法，最后探究几个逆矩阵在数学以及实际中的应用.进度计划：1、论文任务书，开题报告 2013.12.2-2013.12.272、毕业论文初稿写作 2014.12.30-2
4、014.3.283、论文二稿写作，中期检查 2014.3.31-2014.4.154、进一步修改，并定稿 2014.4.20-2014.5.85、论文答辩. 2014.5.10-2014.5.16指导教师意见：指导教师签名： 年 月 日教研室意见：教研室主任签名： 年 月 日课题论证（附页）矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩阵列区别于行列式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否
5、与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。根据世界数学发展记载，矩阵概念产生于 19 世纪 50 年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。1850 年，英国数学家西尔维斯特（SylveSter，18141897）在研究方程的个数与未知数的个数不相同的线性方程组是，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855 年，英
6、国数学家凯莱（Caylag，18211895）在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858 年，凯莱在矩阵论的研究报告中定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时 ，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律。两个非零矩阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878 年，德国数学家弗洛伯纽斯（Frobeniws，18491917）在他的论文中引入了 矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子，同时给出了正交矩
7、阵的定义，1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。矩阵的理论发展非常迅速，到 19 世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到 20 世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已经发展称为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个极其重要的数学概念，在讨论线性方程组的解的存在性与解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质密切相关。矩阵不仅是解方程组的强有力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表现形式，甚至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领域有着广泛的应用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如
8、果只考虑坐标系的转轴（逆时针旋转），将坐标 x0y 逆时针旋转某角度得到新坐标，我们可以利用坐标变换公式可以用矩阵表示该坐标进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程形式的左边可以简单地写作矩阵的形式。再有在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵，关于企业内部各部门之间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵进行分析。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩阵列区别于行列式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就
9、已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可交换性。另外，凯莱还给出了方
10、阵的特征方程个特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出来的一个极其重要的数学概念，在讨论线性方程组的解的存在性与解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质密切相关。矩阵不仅是解方程组的强有力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表现形式，甚至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领域有着广泛的应用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针旋转），将坐标 x0y 逆时针旋转某角度得到新坐标，我们可以利用坐标变换公式可以用矩阵表示该坐标进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程形式的左边可以简单地
11、写作矩阵的形式。再有在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵，关于企业内部各部门之间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵进行分析。求解可逆矩阵的逆矩阵有多种方法，陈东升的线性代数与空间解析几何及其应用中详细介绍了用初等变换法求解可逆矩阵的逆矩阵。逆矩阵的应用也是多方面的，在矩阵方法一书中，作者列举了逆矩阵在实际中的几个应用，比如有逆矩阵在解矩阵方阵中的应用、逆矩阵在解线性方程组中的应用、逆矩阵在信息传输中的应用等等。河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章摘自张文博. 线性代数（第 7 版）求解线性方程组或许是数学问题中最重要的问题。超过 75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在某
12、个阶段都涉及求解线性方程组。利用新的数学方法，通常可以将较为复杂的问题化为线性方程组。线性方程组广泛应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口统计学、遗传学、电子学、工程学以及物理学等领域。一般地，如果 的线性方程组可以化简为严格三角形式，则它将有一个唯一解，nm并可通过三角形方程组的回代法得到。我们可将化简的过程看成是一个 n-1 步的算法。第一步，从矩阵的第一列所有非零元中选择一个主元。包含主元的行称为主行（pivotal row）。交换行（若需要）使得主行称为第一行。然后其余 n-1 行减去主行的某个倍数，使得从第二到第 n 行中的第一个元为 0.第二步，从矩阵的第二行到第 n 行中选择第
13、二列的一个非零元作为主元，将包含主元的行作为主行，消去第二列中主元下面的所有元。从第三列到第 n-1 列重复相同的过程。注意，在第二步中，第一行和第一列的元素并不发生变化；进行第三步时，前两行以及前两列的元素保持不变，以此类推。在每一个步骤中，方程组的维数实际上有效减少 1。如果能像上述方式进行消元过程，n-1 步之后，即可得到一个等价的严格三角形方程组。然而，上述过程中，如果在任何一步所有可能选择的主元均为 0，此时该过程就将在这一步停止。当这种情况发生时，可以考虑将方程化为某种特殊的梯形或者阶梯形。阶梯形的方程组将在下一节进行讨论。他们还可用于 的方程组，其中 。nmmn给定一线性方程组
14、，可以在其两端同乘一系列特殊矩阵，以得到一个等价的Axb行阶梯形方程组。我们将使用的这些特殊矩阵称为初等矩阵（elementary matrices）。它们将用来观察如何计算非奇异矩阵的逆矩阵，以及得到一个重要的矩阵分解。下面从考虑线性方程组两端同乘一个非奇异矩阵的作用开始。给定一个 线性方程组 ，可以通过再其两端同乘一个非奇异的 矩阵nmAxb nmM，得到它的一个等价方程组 xbM显然，任何（1）的解也将为（2）的解。另一方面，如 果为（2）的解，则x-1-1A=xb因此，这两个方程组是等价的。为了获得一个容易求解的等价方程组，我们可以将一系列非奇异矩 阵应用到1kE方程的 两端，从而得到
15、一个较为简单的方程组：AxbUxc其中 ，且 。由于 为非奇异的，因此新的方程组和1U=Ek 1c=Ek 1M=Ek原有的方程组是等价的。然而，因为 M 为非奇异矩阵的乘积，故它也是非奇异的。下面将说明三个初等行运算可以用 A 左乘一个非奇异矩阵来实现。如果从单位矩阵 I 开始，只进行一次初等行运算，得到的矩阵称为初等（elementary）矩阵。分别对应于三类初等行运算，有三类初等矩阵。类型 1 第 1 类初等矩阵由交换矩阵 I 的两行得到。类型 2 第 2 类初等矩阵由单位矩阵 I 的某一行乘以一个非零常数得到。类型 3 第 3 类初等矩阵由矩阵 I 的某一行的倍数加到另一行得到。一般地，
16、假设 E 为一 的初等矩阵，我们可以认为 E 是由 I 经过一个行运算或一n个列运算得到的。若 A 为一 的矩阵，A 左乘 E 的作用就是对 A 进行相应的运算，若rB 为一个 的矩阵，B 右乘 E 等价于对 B 进行相应的运算。mn数学和统计建模中的一个基本方法是，根据最小二乘（least squares）拟合平面上的点集。最小二乘曲线的图形通常是基本类型的函数，例如线性函数、多项式或三角多项式。由于数据可能会有测量误差或实验误差，我们不要求曲线通过所有数据点。事实上，我们需要在所有数据点处的 y 值和逼近曲线相应点处的 y 值之间误差的平方和最小意义下的最佳曲线。最小二乘技术是由勒让德（A
17、. M. Legendre）和高斯（Carl Friedrich Gauss）独立地提出的。尽管有明确的证据表明，在高斯还是一个学生的时候，早于勒让德的文章九年就已经提出这种方法并使用它进行了天文计算，然而有关这个主题的第一篇文章是勒让德在 1806 年发表的。Seven J. Leon. Linear Algebra with Application（Seventh Edition）Probably the most important in mathematics is that of solving a system of linear equations .well over 75 p
18、ercent of all mathematical problems encountered in scientific or industrial applications involve solving a linear system at some stage. By using the methods of modern mathematics ,it is often possible to take a sophisticated problem and reduce it to a single system of linear equations. Linear system
19、 arise in applications to such areas as business, economics, sociology, ecology, demography, genetics, electronics, engineering, and physics.In general, if an linear system can be reduced to strictly triangular form, then it will nhave a unique solution that can be obtained by performing back substi
20、tution on the triangular system. We can think of the reduction process as an algorithm involving n-1 step. At the first step, a pivot element is chosen from among the nonzero entries in the first column of the matrix. The row containing the pivot element is called the pivotal row. We interchange row
21、s (if necessary) so that the pivotal row is the new first row. Multiples of the pivotal row are then subtracted from each of the remaining n-1 rows so as to obtain in the first entries of 2 0sthrough n. At the second step, a pivot element is chosen from the nonzero entries in column 2, rows 2 throug
22、h n, of the matrix. The row containing the pivot is then interchanged with the second row of the matrix and is used as the new pivotal row. Multiples of the pivotal row are then subtracted from the remaining n-2 rows so as to eliminate all entries below the pivot in the second column. The same proce
23、dure is repeated for columns 3 through n-1. Note that at the second step row 1 and column 1 remain unchanged, at the third step the first two rows and first two columns remain unchanged, and so on. At each step, the overall dimensions of the system are effectively reduced by 1 (see Figure 1.1.2). If
24、 the elimination process can be carried out as described, we will arrive at an equivalent strictly triangular system after n-1 step. However, the procedure will break down if, at any step, all possible choices for a pivot element are equal to 0. When this happens, the alternative is to reduce the sy
25、stem to certain special echelon, or staircase-shaped, forms. These echelon forms will be studied in the next section. They will also be used for systems, where .mnmnGiven a linear system , we can multiply both sides by a sequence of special Axbmatrices to obtain an equivalent system in row echelon f
26、orm. The special matrices we will use are called elementary matrices. We will use them to see how to compute the inverse of a nonsingular matrix and also to obtain an important matrix factorization. We begin by considering the effects of multiplying both sides of a linear system by a nonsingular matrix.Given an linear system , we can obtain an equivalent system by multiplying mnAxbboth sides of the equation by a nonsingular matrix M: mn
