1、第七章 广义逆矩阵及其应用 广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广， 这种推广的必要性， 首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组 bAx = （ 0 1） 当 A 是阶方阵，且 时，则方程组（）的解存在、唯一，并可写成 0det A（ 0 2） bAx1=但是， 在许多实际问题中所遇到的矩阵 A 往往是 奇异方阵或是任意的 nm 矩阵 （一般 nm ） ，显然不存在 通常的逆矩 阵 ，这就促 使人们去想 象能否推广 逆的概念， 引进某种具 有普通逆矩 阵类似性质的矩阵 G，使得其解仍可以表示为类似于式（ 0 2）的紧凑形式？即 1AGbx = （ 0 3） 1920 年摩尔 （ E. H.
2、Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到 1955 年 ，彭诺斯（ R. Penrose） 以更明确的形式给出了 Moore 的广 义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研 究才进入了 一个新的时 期，由于广 义逆矩阵在 数理统计、 系统理论、 最优化理论 、现代控制理论等 许多领域中 的重要应用 为人们所认 识，因而大 大推动了对 广义逆矩阵 的研究，使 得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。 本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。 1 矩阵的几种广义逆 1 1 广义逆矩阵的基本概念 1955 年，彭诺斯（ Penrose）指出
3、，对任意复数矩阵 ，如果存在复矩阵 ，满足 mxnAnxmAAAXA = （ 1 1） XXAX = （ 1 2） AXAXH=)( （ 1 3） XAXAH=)( （ 1 4） 则称 X 为 A 的一个 Moore Penrose 广义逆，并把上面四个方程叫做 Moore Penrose 方程，简称 M P 方程。 由于 M P 的四个方程都各有一定的解释， 并且应用起来各有方便之处， 所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 X，叫做弱逆。为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。 定义 1 1 设 ， 若有某个 ，满 足 M P 方程 （ 1 1）（ 1 4） 中的全 部或其中的一
4、部分，则称 X 为 A 的广义逆矩阵。 mxnCAmxnCX 例如有某个 X，只要满足式（ 1 1） ，则 X 为 A 的 1广义逆， 记为 1AX ；如果另一个 Y满足式 （ 1 1） 、 （ 1 2） ，则 Y 为 A 的 1， 2广 义逆， 记为 Y 2,1A ；如 果 ，则 X同时满足四个方程，它就是 Moore Penrose 广 义逆，等等。总之，按照定义 1 1 可推得，满足 1个、 2 个、 3 个、 4 个 Moore Penrose 方程的广义逆矩阵共有 种，但应用较多的是以下五种 4,3,2,115=AX 4434+CC2414+CC +4,3,2,1,4,1,3,1,2
5、,1,1 AAAAA以后将会看到， 只有 是唯一确定的， 其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定， 每一种广 义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下； 4,3,2,1A1 ：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或 g 逆，记为 A1A； 2 A1， 2：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为 Ar； 3A 1， 3： 其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为 Am； 4A 1， 4： 其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为 Ai； 5 A1， 2， 3， 4：唯一，称作加号逆，或伪逆，或 Moore-Penrose 逆，记为 A+。 为叙述简单起见，下面我们以 Rn及实
6、矩阵为例进行讨论，对于 Cn及复的矩阵也有相应结果。 1 2 减号逆 A定义 1 2 设有 实矩阵 A（ m n， 当 m n 时， 可讨论 AnmT） 。 若有一个 实矩阵 （记为 Amn）存在，使下式成立，则称 A为 A 的减号逆或 g 逆： A AA = A （ 1 5） 当 A 1存在 时， 显然 A 1满足上式， 可见减号逆 A是普通逆 矩阵 A 1的 推广； 另外， 由 A AA = A得 （ A AA ）T= AT 即 AT（ A）TAT= AT可见，当 A为 A 的一个减号逆时， （ A）T就是 AT的一个减号逆。 例1 1 设 ，易知 =100001,010001,01010
7、1CBAABA=B， ACA=A 故 B 与 C 均为 A 的减号逆。 例 1 2 若 则 ，其中 *是任意的实数。 nmrIA=000mnrIA=*证 因为对任意的 ，都有 mnrI*= nmrI000mnrI*nmrI000nmrI000所以 mnrIA=*反之，任意的 ，若满足 mnXXXXX=4321000rI4321XXXX000rI= 000rI必须有 ，即 X 为 的形状 证毕 rIX =1 *rI例 1 2 表明 ， 标准形 的减号逆存在， 而且不是唯一的， 填一些数到 *位 置 ， 就是一个减号逆，填不同数，就得到不同减号逆。 000rI下面我 们讨论当 A 为非零矩阵时，
8、如何用初等变换的方法来构造它的任意一个减号逆， 即讨论A 的存在性。 引理 设 Bmn=PmmAmnQnn，其中 P， Q 都是满秩方阵，如果已知 B 的减 号逆为 B，则矩阵 A 的减号逆 A=QBP （ 1 6） 证 因为已知 B是 B 的减号逆，所以有 B BB=B （ PAQ） B（ PAQ） =PAQ 由于 P 与 Q 非奇异，故有 A（ Q BP） A=A 从而有 A= Q BP 证毕 这个引 理说明， 两个等价的矩阵 A， B（即满足 B=PAQ） ， 如果其中一个的减号逆可求出来， 那么，另一个的减号逆也可以求出来。 定理 1 1（存在性） 任给 阶矩阵 A，那么减号逆 Anm
9、一定存在，但不唯一。 证 分 两种情况， 如果 rank A=0 即， A=0mn， 这时对任 意的mxnRX ，都 有 0X0=0，所 以 任意 阶矩阵 X 都是零矩阵的减号逆。 mn再设 rank A=r 0，那么存在 m 阶满秩矩阵 P 与 n 阶满秩矩阵 Q，使得 nmrRBIPAQ=000由例 1 2 知，存在 *为任意实数 ,*= rIB再由引理知，存在 PIQAr=*只要 A 非满秩，由于 *的任意性，所以 A非唯一。 证毕 . 例 1 3 设 ，求 A=322211A. 解 为要 将 A 通过初等行与列变换 ,化为一个等价的标准形 ,我们在 A 的右边放上一个 I2,在 A的下
10、方放上一个 I3,当 A 变成 Ir时 ,则 I2就变成 P,而 I3就变成 Q . =+4121007231001001001412100723100100100114201027310100010011000102111014201001100010001103220121123231312113)1(224)2(32rCCCCCCCCCCIIA这就是说 = 412100723,1001001000141210072310012QPBIPAQA但标准形 B 的减号逆为 ,*为任意实数 =*1001B故得 为任意实数 ,*1001PQA=设有mxnRA ，下面的定理给出了 rank A与 r
11、ank A 之间的关系。 定 理 1 2 rank A rank（ A A） rank A 证 因为 AAA=A，即 （ AA） A=A，所以有 rank（ AA） rank A 又因为 rank A rank（ A A） ，故 rank A rank（ A A） rank A 证毕 这个定理说明， A的秩总不会小于 A 的秩，这从例 1 2 也可看出。 1 3 自反广义逆 rA众所周 知，对于普通的逆矩阵 ，有 ，但这一事实对于减号逆 A 一 般不成立。例如，由例 1 1 知 1A AA = 11)(=010001,010101AA但 = AAAA001001即 ， 为了使 A 与 能互为减
12、号逆， 我们不妨对前面定义的减号逆 A 加以限制， 使 A 具有这种“自反”的性质。下面我们给出自反广义逆矩阵的定义。 AA )(A定义 1 3 对于一个 阶实矩阵 A，使 nmAXA=A 及 XAX=X 同时成立的 阶实矩阵 X，称为是 A 的一个自反广义逆，用 Amnr表示，即有 A Ar A=A 及其 Ar A Ar= Ar显然，自反广义逆是减号逆的一个子集，此时，它满足自反性质 。 AA =)(下面我们来构造自反广义逆的一种算法，我们先引进所谓“最大秩矩阵的右逆、左逆 ”的概念。 一、最大秩矩阵的右逆和左逆 定 义 1 4 设 A 是行最大秩的 nm 阶实矩阵 （ nm ） ， 如 果
13、存在一个 阶矩阵 G，当 G 右乘 A 后得到一个 阶单位阵 I，即 mnnmAG=I （ 1 7） 则 G 叫做 A 的右逆，记作 ，这就是说，有 1RA（ 1 8） IAAR=1一般来说，右逆 可用下面的方法来计算，因为 是满秩的方阵，故有 1RATAA（ 1 9） IAAAAAAAATTTT= 11)()()(比较式（ 1 8）和（ 1 9） ，可得 （ 1 10） 1RA1)(=TTAAA例 1 4 设 =210121A试求其右逆 解 易知 rank A=2，即 A 是行最大秩矩阵，利用式（ 1 10）式，得 1RA=2112011)211201210121(=832645141定义
14、1 5 设 A 是列最大秩的 m n 实矩阵 （ ） ， 如果存在一个 阶矩阵 G，当 G左乘 A 后得到一个 n n 阶单位阵，即 nm mnGA=I （ 1 11） 则 G 叫做 A 的左逆，记作 ，这就是说 ,有 1LA(1 12) IAAL=1同理可得计算 的公式是 1LA= （ 1 13） 1LATTAAA1)(这里值 得指出的是， 对于行 （或列） 最大秩的 nm 阶矩阵 A, 和 是不可能同时存在的。显然，当且仅当 m=n 时，同时存在，并且就等于普通的逆矩阵 . 1RA11LAA二、 的最大秩分解方法 rA如果 A 是行 （或列） 最 大秩长方阵， 则它由式 （ 1 10） 确
15、 定的右逆 （或由式 （ 1 13） 确定的左逆）显然满足 （或 ） AAAAR=1AAAAL=1（或 ） 111 =RRRAAAA111 =LLLAAAA这表明右逆 （或左逆 ）就是 A 的一个自反广义逆 . 1RA1:LArA在一个最大秩分解 A=BC 其中 B 为 m r 阶列最大秩矩阵， C 为 r n 阶行 最大秩矩阵， 于是， 由前面的讨论， B 有左逆 ，C 有右逆 C ，那么求 有如下的定理。 1LB1RrA定理 1 3 设 A=BC 为矩阵 A 的最大秩分解，则 A 的自反广义逆的一般形式为 rA = C （ 1 14） 1R1LB其中 为 B 的左逆， 为 C 的右逆。 1
16、LB1RC证 由于 BC=BC=A BCAAAr=11RC1LBA = C BC C = C = rArA1R1LB1R1LB1R1LBrA故 = C 是 A 的自反广义逆。 rA1R1LB其次，设 是 A 的任一自反广义逆矩阵，则 rAAAAAr=即 BCBCBCAr=上式两端分别左乘以 ， 右乘以 C ，得 。 由此可见， CA 为 B 的左 逆，记为 ； 为 C 的右逆，记为 C ，于是 1LB1RR)( rankArIBCArr= r1LB BAr 111 =LRrrrrrBCBCAAAAAA故式（ 1 14）是 A 的自反广义逆的一般形式。 当 A 为行（或列）最大秩矩阵时，它的最大
17、秩分解写成 （或 ） AIAm=nAIA =这样一来，式（ 1 14）实际上是给出了任何非零矩阵求自反广义逆的一种方法。 例 1 5 设 =111032301A求 A 的一个自反广义逆 . rA解 因为 ，所以由第四章 3 中的方法对 A 作最大秩分解 2=rankA=210121111221BCA由例 1 4 的结果，知 1RC=832645141再利用式（ 1 13）可得 1LB=147174111最后用式（ 1 14）得 =1A1RC1LB=8326451541147174=1111448341091981541值得提 出的是， 由式 （ 1 14） 确定的自反广义逆 ， 并不唯一， 这
18、是因为用式 （ 1 10）来 计算右逆 C 和用式 （ 1 13） 来计算左逆 并非唯一。 下面给出行 （或列） 最大秩矩阵计算其右逆（或左逆）的一般表达式。 rA1R1LB设nmRA ，且 ，则 A 的右逆的一般表达式是 mrankA =G （ 1 15） 1)(=TTAVAVA其中 V 是使得等式 成立的任意阶方阵。 rankAAVArankT=)(事实上，用 A 左乘（ 1-15）式两端，有 1)(=TTAVAAVAAG 因此，有 IAVAAVAAGTT=1)(即 G 是 A 的右逆的一般表达式。 1)(=TTAVAVA当取 V 时 ，式（ 1 15） 就变成了式 （ 1 10） ，所
19、以 由 式（ 1 10）给 出 的只是 A 的所有右逆中的一个。 nI=1RA1)(=TTAAA同理，可写出列最大秩矩阵 A 的左逆的一般表达式 （ 1 16） TTAAUAG1)(=其中 U 是使关系 成立的任意的 m 阶方阵。 rankAUAArankT=)(1 4 最小范数广义逆 mA定义 1 6 设 ，如果有一个 n)( nmRAnmm 阶矩阵 X，满足 （ 1 17） XAXAAAXAT= )(及则称 X 为 A 的一个最小范数广义逆，记为 . mA显然，最小范数广义逆是用条件 ( 对减号逆 进行限制后所得出的一个子集。 XAXAT=)A定理 1 4 设 ，则 )( nmRAnm（
20、1 18） mA= )(TTAAA为 A 的一个最小范数广义逆。 证 因 是一个减号逆，故有 )(TAATTTTAAAAAAAA =)(设 ，则按秩分解有rrankA = , rrankCrankBBCA = 以 A=BC 代入上式，便得 ( TTTTBCBCBCBCAABCBC )()()()( =即 TTTTTTTBBCCBBCCAABBCC =)(用 右乘上式两端，得 CCCBBBTT )()(1CIBICIBIAACBBCrrrrTT=)()(即 AAAAAATT=)(故 满足最小范数广义逆的第一个条件；其次它也满足第二个条件，因为有 )(TTAAA( AAAAAAAATTTTT)()
21、(=故 为 A 的一个最小范数广义逆。 证毕 = )(TTmAAAA因为减 号逆 不是唯一的， 所以最小范数广义逆 也不是唯一的， 实际上， 式 （ 1 18）给出了计算 的一种方法。 )(TAAmAmA最小范数广义逆具有下面的性质。 定理 1 5 条件（ 1 17）与下面关系式等价 TTAXAA = （ 1 19） 事实上，对式（ 1 19）两端右乘TX ，得 TTTTAXXXAA = 即 TTXAXAXA )()( =对上式两端取转置，得 XAXAXAT=)(可见有 XAXAT=)(代入式（ 1 19）得 ( TTTAAXA =)即有 AAXA = 反之，我们可以由式（ 1 17）中第一个
22、条件的左边的 XA，得 TTAXAA = 1 5 最小二乘广义逆 iA定义 1 7 设 ，若有一个)( nmRAnmmn 阶矩阵 X 满足。 AXAXAAXAT= )(及则称 C 不 A 的一个最小二乘广义逆，记为 iA显然，最小二乘广义逆也是减号逆的一个子集。 定理 1 6 设 ，则 )( nmRAnm（ 1 20） iATTAAA )(=设 A 的一个最小二乘广义逆。 证 是一个减号逆，故有 )( AATAAAAAAAATTTT=)(设 则按秩分解有,rrankA = , rrankCrankBBCA = 以 A=BC 代入上式，便得 )()()()()()( BCBCBCBCAABCBC
23、TTTT=即 BCBCBCBCAABCBCTTTTTTT=)(用 左乘上式两端，得 CBBCCTT 11)()(CIBIBCBCAACIBIrrTTTrr=)(即 BCBCBCAABCTT=)()(或写成 AAAAAATT=)(故 满足最小二乘广义逆。 证毕 TTAAAA)(因为减号逆 ( 不是唯一的，故最小二乘广义逆也不是唯一的。 )AAT实际上，式（ 1 20）给出了计算 的一种方法。 iA1 6 加号逆 +A前面我们 对减号逆 加以不同的限制， 得出减号逆的具有不同性质的子集， 如自反广义逆 、最小范数广义逆 、 最小二乘广义逆 等， 其实， 还有一类更特殊也更为重要广义逆， 这就是将要
24、介绍的加号逆 ，它的实质是在减号逆的条件 AXA=A 的基 础上用上述所有条件同时加以限制，用这样的方式得出的子集 ，不仅在应用上特别重要，而且有很多有趣的性质。 ArAmA+AiA+A定义 1 8 设nmRA ，若存在 n m 阶矩阵 X，它同时满足 1) AXA=A ； 2） XAX=X ； 3） 4） AXAXT=)( XAXAT=)(则称 X 为 A 的加号逆，或伪逆，或 Moore-Penrose 逆，记为 +A从定 义 中可看出， 加号逆必同 时是减号逆 、自反广义 逆、最小范 数广义逆和 最小二乘广 义逆。在四个条件中， X 与 A 完全处于对称地位。因此 A 也是 的加号逆，即
25、有 +AAA =+)(另外可见，加号逆很类似于通常的逆阵，因为通常的逆 也有下列四个类似的性质： 1A1、 ； 2、AAAA =1 111 = AAAA ；3、 IAA =1； 4. IAA =1由定义 1 8 中的条件 3）和 4）还可看出， 与 都是对称矩阵。 +AA AA+下面来看一个例子。 例 1 6 1 设 ； nmnmR，R+= 000 则2 设 是 n 阶方阵，则=000rIA AA =+； 3 设对角阵 =+nnAAOO11,其中 时当时当0,001=+，ii比如， ,00,3)31(,212 =+等等 证 我们只要证 明 3） ，那 么 1） ， 2）都 是 3）的 直接推论
26、， 下证 3） ，不 失一般性， 我们令0;0,11=+ iii LLL ， 。容易验证 B 满足定 义 1 8 的四个条件，从而=00111OOiBBA =+证毕 定理 1 7 若 ，且 A=BC 是最大秩分解，则 RAnm（ 1 21） TTTTBBBCCCX11)()(=是 A 的加号逆。 证 XACCCCCCCCCBBBBCCCXAAXBBBBBBBBBBBCCBCCAXXBBBCCCBBBCCBCCBBBCCCXAXABCBCBBBCCBCCAXATTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT=1111111111111111)()()()()()()(
27、)()()()()()()()()()()()(这就表明式（ 1 21）是加号逆。 证毕 这个定理不仅证明了加号逆的存在，而且也给出了求加号逆的具体方法。 推论 设 ，则 r，rankARAnm=1 nr = 时（即 A 列满秩） += AAAA1)(2 mr = 时（即 A 行满秩） 1)(+=TTAAAA这只要注意到 AIAIAmn= ，即知。 定理 1 8 加号逆 是唯一的。 +A证 设 X 与 Y 均是 A 的加号逆，于是同时有 AXA=A AYA=A 用 Y 右乘上面的第一次，再利用 AY 和 AX 的对称性，使得 AXXAYAAXAYAXAYAXAYAYAYAYAXAYTTTT=)
28、()()()()( 即 AY=AX 类似地，得 YA=XA 用 Y 左乘等式 AY=AX，并利用上式，便得 YAY=YAX=XAX 但是 YAY=Y ， XAX=X 故最终得 Y=X，这表明 是唯一的。 证毕 +A推论 若 A 是 n 阶满秩方阵，即 存在，则 1A= = （ 1 22） +A1A A这是因为前面我们已直接验证 满足定义 1 8 的 四个条件， 再由 的唯一性即知式 （ 1 22）成立。 1A+A换句话 说， 当 0A 时， 这 三种逆是统一的， 且是唯一的， 一般情况下， 当 不存在时，总是存在的，而 A 存在，但不唯一。 1A+A下面我们来证明 的一些特殊性质。 +A定理
29、1 9 1. . TTAA )()(+=+=)()(.3)()(.2TTTTTTAAAAAAAAAAA证 1、令 ，下证 X 是 的加号逆。 TAX )(+=TAXAAAAAAAAAXAXAAAAAAAAXXAAAAAAAAXAATTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT=+)()()()()()()()()()(类似可证 .)(TTTXAXA =2、 A=BC，则 的最大秩分解可写成 AAT.)( BCBCAATTT=于是利用式（ 1 21） ，有 CCCBBCCCCCCBBCCBBBBCCCCBBBCCBCCBAATTTTTTTTTTTTTTTTT111111111)()()()()()
30、()()()()()(+=再利用式（ 1 21） ，得 +=ABBBCCCBCCCCBBCCCBCCCCBBCCCAAATTTTTTTTTTTTTTTTTT1111111)()()()()()()()()()()(同样可证 .)(+= AAAATT3、 ( 证毕 .)()()()()+=TTTTTTAAAAAAAAAAAAAA注意， 对于同阶所逆矩阵 A， B 有 ( ，定 理 1 9 之 3） 表 明 对于特殊的矩阵 A和 ，加号逆 有类似的性质，但是一般说来，这个性质不成立，亦即 .)111 = ABABTA+)( AAT. )(+= ABAB例如，取 ，则 =1011.,0001BA=o
31、AB011不难验证 = =+010121)(1011.,0001ABBBA但 += )(000100011011ABAB下面将 的各种常用算法综述如下： +A1 果 A 是满秩方阵，则显然 .1+= AA2如果 A 是对角方阵，即 ),(21 nddddiagA L=其中对角线上元素 都是实数，可以验证 nddd ,21L（ 1 23） ),(21+=ndddA L3 如果 A 是行最大秩矩阵，则 （ 1 24） .)(1+=TTAAAA这里需要指出的是， n 维非零行向量 可看作行最大秩的 1 阶矩阵， 因此行向量 的加号逆的表达式为 ),(21 nTaaaa L= .nTa=+=niiTT
32、TTTTTTaaaaaaaaaaaa1211)()()()( （ 1 25） 它是一个 n 维列向量。 4 A 是列最大秩矩阵，则 （ 1 26） .)(1 TTAAAA+=同样， m 维 非零列向量 可以看作列最大秩 mTnbbb ),(21L= n 阶矩阵， 因此列向量的加号逆的表达式为 =+=niiTTTTTb121.)( （ 1 27） 它是一个 m 维的行向量。 5 果 ， 可以用最大秩分解法求 ，即 当 A=BC 为最大秩分解时，则 ),min( nmr，rankARAnm= 是 A 的奇异值，则容易验证 （ 1 29） .TUVDA+=其中 =+0000001111rDO满足加号
33、逆的四个条件。 事实上 TTTTTUAVUVAAAVUVUAUAVAAA=+0000000000000000000001111TTTrTrTTTTTrTrTTTTAAUIUUIUUUUAVAAAAVIVVIVVVAUVAAAUVUV)()000(000000000000)()000(000000000000000000000000111111+=从而证明了加号逆TTUVUVDA=+00012 广义逆在解线性方程组中的应用 在这 一 节，我们将 会看到广义 逆理论能够 把相容线性 方程组的一 般解、极小 范数解以及 不相容线性方程组 的最小二乘 解、极小范 数最小二乘 解（最佳逼 近解）全部 概
34、括和统一 起来，从而 ，以线性代数古典理论所不曾有的姿态解决了一般线性方程组的求解问题。 2 1 线性方程组的求解问题的提法 考虑非齐次线性方程组 AX=b （ 2 1） 其中 给定，而 为待定向量。 mnmCbCA ,mCX 若 ， 则方程组 （ 2 1） 有解， 或称方程组相容， 否则， 若 rank ，则方程组（ 2 1）无解，或称方程组不相容或矛盾方程组。 rankAbArank =)( M rankAbA )( M关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形： 1 在相容时，若系数矩阵 且非奇异（即,nmCA 0det A ） ，则有唯一的解 （ 2 2） bAX1=但当 A 是奇
35、 异方阵或长方矩阵时，它的解不是唯一的，此时 不存在或无意义，那么我们自然会想到，这时是否也能用某个矩阵 G 把一般解（无穷多）表示成 1AX=Gb （ 2 3） 的形式呢？这个问题的回答是肯定的。我们将会发现 A 的减号逆 A 充当了这一角色。 2 如果方程组（ 2 1）相容，且其解有无穷多个，怎样求具有极小范数的解，即 XbAX =min（ 2 4） 其中 是欧氏范数。可以证明，满足该条件的解是唯一的，称之为极小范数解。 3 如果方程组 （ 2 1）不 相容，则不 存在通常意 义下的解， 但在许多实 际问题中， 要求出这样的解 bAXXnCX=min（ 2 5） 其中 是欧氏范数。我们称这
36、个问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的 X 称为矛盾方程组的最小二乘解。 4 一般说来， 矛盾方程组 的最小二乘 解是不唯一 的，但在最 小二乘解的 集合中，具 有极小范数的解。 XXbAXminmin = （ 2 6） 是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解。 广义逆矩阵与线性方程组的求解有着极为密切的联系，利用前一节的减号逆 A最小范数广义逆 、最小二乘广义逆 以及加号逆 可以给出上述诸问题的解。 mAiA+A2 2 相容方程组的通解与 A对于一 个 阶相容的线性方程组 （ 2 1） ， 不 论系数矩阵 A 是方阵还是长方矩阵， 是满秩的还是降秩的 ，我们都有 一个标准的 求
37、解方法， 并且能把它 的解表达成 非常简洁的 形式。下面 用定理形式给出。 nm定理 2 1 如果线 性方程组（ 2 1）是相容 的， 是 A 的任一个减号逆，则线性方程组（ 2 1）的一个特解可表示成 A（ 2 7） bAX=而通解可以表示成 （ 2 8） zAAIbAX )(+=其中 z 是与 X 同维的任意向量。 证 因为 相容，所以必有一个 n 维向量 W，使 bAX =bAW = （ 2 9） 成立， 又由于是 是 A 的一个减号逆， 所以A AAAA =，则 有 ，亦 即 ，由此得出。 AWAWAA =bbAA =bAX = 是方程组（ 2 1）的一个特解。 其次，在式（ 2 8）
38、两端左乘 A，则有 bAAZAAIAbAAAX=+= )(于 ，所以式（ 2 8）确 定的 X 是方 程组（ 2 1）的解，且当bbAA =)( x为任意一个解时，若令bAX=Z，有 bAXbAbAbAXbAAAXAAbAXbAXAAIZAAI=+=+=)()(从而得 ZAAIbAX )(+= 这表明由式（ 2 8）确定的解是方程组（ 2 1）的通解。 证毕 例 2 1 求解 （ 2 10） =+=+221232321xxxxx解 将方程组（ 2 10）写成矩阵形式 bAX = 其中 =21,210121bA由于 ，所以方程组（ 2 10）是 相容的，现在只要求得 A 的一个减 号就可以了。由
39、例 1 4 知矩阵 A 的一个减号逆（即右逆）为 2)( = bAArankrank M=8326451411RA 利用公式（ 2 8） ，我们可立即求得方程组（ 2 10）的通解： +=+=32132132111213192461036913141)(zzzzzzzzzZAAIbAXRR也即 +=+=+=)2319(141)24610(141)36913(141321332123211zzzxzzzxzzzx其中 为任意向量 =321zzzZ例 2 2 求解线性方程组 （ 2 11） =+=+=+103333212131xxxxxxx解 将（ 2 11）改家矩阵方程形式 bAX = 其中 =
40、103,111032301bA由于 ， 故方程组 （ 2 11） 是相容的， 在例 1 5 中， 已求 得 A 的一个减号逆 2)( = bAArankrank M=1111448341091981541A 利用公式（ 2 8）立即得通解： ZAAIbAX )(+=+=321321321231324623693141zzzzzzzzz即 +=+=+=)2313(141)2462(141)3693(141321332123211zzzxzzzxzzzx从上面两例子可以 看出，用减 号逆来表示 相容方程组 的通解 是很方 便的，这是线 性方程组理 论的一个重 大发展。但 是，如何在 无穷多个解 向
41、量中求出 一个长度最 短的解向量？这便是下面要研究的极小范数解。 ZAAIbAX )(+=2 3 相容方程组的极小范数解与 mA定义 2 1 对于相容 的线性方程组 bAX = ，如果存在有与 b 无关 的 A 的某些特殊减号逆 G，便利 Gb 和其他的解相比较，具有最小范数，即 22XGb （ 2 12） 其中 X 是 的解。bAX = Euclid是2 范数，则我们称 GbX = 为极小范数，简记为 LN 解。 现在要 问：相容方程组 的极小范数解可以用什么样的广义逆表示？极小范数解是否唯一？ bAX =定理 2 2 在相容线性方程组 bAX = 的一切解中具有极小范数解的充要条件是 （
42、2 13） bAXm=其中 是 A 的最小范数广义逆。 mA证 先 证必要性。设 G 是 A 的减号逆，那末 bAX = 的一般解是 ZGAIbG )( + ， Z 是任意向量，如果 Gb 具有最小范数，则对任意向量 Z 及一切与 A 相容的向量 b，有 22)( ZGAIGbGb + 或等价地，对任意向量 Z 及任意解向量 X，有 22)(ZGAIXGAXGA + （ 2 14） 其中 XAb= ，不等式（ 2 14）意味着如下关系是成立的： ()()2121)(,)(,ZGAIXGAZGAIXGAXGAXGA + 即 ( ) ( )ZGAIXGAZGAIXGAXGAXGA )(,)(,+ 或 ( ) ( )
