分块矩阵求逆及其应用.doc

1、目 录 摘要 (1)引言 (2)一、 概述 (2)二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)第一节 分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5)第二节 33 分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14)结束语 (21)- 1 -分块矩阵求逆及其应用 李东生（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到2分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存3在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是

2、分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的 分块矩阵的可逆性存在条件以2及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了 分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以 分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了 分块矩阵的可23逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际” 。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件Begging the

3、negative matrix to a matrix of the cent and its applyingLi Dongsheng(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cen

4、t, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-leve

5、l cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent

6、. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a - 2 -piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the neg

7、ative formula are explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of

8、 begging the negative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The

9、process of how to solve is also given. “Theories contact actual” is real attained in this thesis.key words: the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ; negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.引 言我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常

10、要求它们的逆若要用普通的初等变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍分块矩阵和分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的一 概述- 3 - 分块矩阵的定义在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样特别在运算中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块而把这样的矩阵就叫做分块矩阵 常用的

11、矩阵分块方法 找零块例如 可分块为 可表示为 型10210|12|0|00ABD 找相同块例如 可分块为 可表示为 型111|1|1|1AD 找单位块例如 可分块为 可表示为120|21|0|1型（这里的 表示阶单位阵,本文中的 I 都表示单位阵）3ABCI3I 化为分块上（下）三角阵- 4 -例如 可分块为 201342|01|340|2可表示为 型1213A 化为分块对角阵 例如 可分块为 201342|0|13|40|2可表示为 型1230A在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块

12、矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵与矩阵相乘时，对的一个分块方式，可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便例如 ？10210- 5 -解：我们可以把分块为 而这时若只考虑乘法10|1|的相容性，可以分块为 ，或10|20|1|2但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便. 20IA21IB221IAB102 矩阵的逆定义：n 阶方阵可逆，如果有 n 阶方阵，使，这里的是 n 阶单位阵而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只

13、不过是先将矩阵分块，然后再求逆二 分块矩阵的求逆及其应用第一节 分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用首先我们从最简单的 22 分块矩阵开始研究,如何求 22 分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式.设 ,A 为 n 阶矩阵,B 与 C 分别为 nm 和 mn 矩阵,D 为 m 阶ABMCD矩阵.定理 1.若 A 可逆,则 M 可逆 可逆.这时1DAB- 6 -11111()()ABDCABDCAM 证明: 由 1 10AB = 故 存在. A1DCB()DC由 1 111000()()n nm m

14、I ICAAB 1 111()()n nI ICDDBC 111 100()()nmIABA 11 1()()nI BCADCDB 即 1111()()ABMA 由 可逆,可知 存在.11 = , 故 存在. 10DCB1M定理 2. 若 D 可逆,则 M 可逆 可逆,这时1A1 1111 1()()ABDCB 证明方法同定理 1,在此略去证明过程.在此,我们还可以得出推论:推论 1:若 B 可逆,则 M 可逆 可逆1CDBA推论 2:若 C 可逆,则 M 可逆 可逆通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出 M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.

15、- 7 -我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下 22 分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的.1. 分块矩阵中含有 3 个零块即 、 、 、0AB0C0D这种情况下,分块矩阵是不可逆的.以第一种情况为例若 A 可逆,而 =0,是不可逆的1CABM= 不可逆.(若 A 不可逆,那么 M 就更

16、不可逆了)0A2. 分块矩阵中有两个零块. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即 和0AB,则这种分块矩阵不可逆.0BMD 由定理 1 可知,在中若 存在, =0 不可逆.M 不可逆.1A1DCAB 由推论 1 可知,在中若 存在, =0 不可逆.M 不可逆.B.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 和 0AMD ,0MC- 8 - 由定理 1 可知,在中若 存在, =D,只有当 D 可逆1A1DCAB时,M 才可逆.代入求逆公式得 ,反过来,若 D 可逆,也只有 A 可逆10M时,M 才可逆. 同前面的一样.1由推论 1 可知,在中若 存在, =C,只有当 C 可逆时,M1B1CBA才

17、可逆, 此时 10M可以用下面的方法求出上面的 ,设 =11M12D则 = = = =10BC12D212BC0I110M3. 分块矩阵中只有一个零块. 分块矩阵的零块在主对角线上,即 和0ABMC0BCD.由定理 1 可知,在中若 存在,只有 可逆,M 才可逆1A1而 = 只有当 、 同时存在时,M 才可逆.()CAB1C 1B.若 A 不可逆,则令 =M12D= = =11212AC 0I= ,如果要使 存在,那么 一定存在.1M10B11B1C 可用同样的方法讨论.总结: 这种类型的分块矩阵,无论 A(D)是否可逆,只有 B、C 同时可逆时,- 9 -M 才可逆. 分块矩阵的零块不在主对

18、角线上,即 和0AMCD0ABD对于,可以直接应用定理 1 判断是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有当 A 、D 同时可逆时,M 可逆.此时 = 1M110ABD对于,同样应用定理 2 可得只有当 AD 同时可逆时,M 可逆.此时 = 111ADC通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的.例 1. 判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求出它的逆. M0123001M01023450 00122102

19、- 10 - M311M120301解: 分析: 观察矩阵中有一个 23 的零块和一个 32 的零块,而另外两个分别是上三角块和一个 22 的块,都很容易判断是否可逆.所以可将 M 分块为它正好是 型,由前面的讨论可知0|1231|00|0BMC11CMB而运用初等变换法很容易求出, 故 M 可逆.1232101所以 1M01320.分析: 不难发现这是一个对角阵经过列变换而得到的矩阵,那我们就还要尽可能找到对角阵,因为对角阵的逆容易求得.结果发现正好还有两个零块.- 11 -则可将 M 分块为 ,也是 型,B 、C 可逆很容0|102|345|00BM易看出,故 M 可逆.则 1150021

20、3004.分析:这是一个只有 0 和 1 组成的上三角矩阵,我们知道零块比单位块更容易计算,所以我们应本着先找零块的原则,故我们可以将 M 分块为这样分即有零块,又有一个单位块. 则 M 可表示10|10|01|0型.很容易看出 和 都可逆,所以 M 可逆.2IBD2ID根据关于零块的讨论,可得 而 =1120IB1D01= , 所以1BD2011M201.分析:这是一个很有规律的矩阵,我们可以找到它的一个最大零块,将- 12 -M 分块为 可以表示为 型21|0|021|00ABMT很容易看出 和 都存在,故 M 可逆.1AT用初等变换的方法求得 =1240而我们在求 时,还可以把 T 分块

21、为 1T 1|02|可以表示为 T= AHOKA 、K 可逆很容易看出, = =1T10AHK1248012 =1M10ABT11248632012481002本题中两次运用分块,因为 只求一次，可以在两个地方应用,而且1A其它的计算也相应的简便.- 13 -分析:这个矩阵中含有 3 个块相同，故分块很容易 M=1|1|11即 M= , ， 都存在,现在考虑是应用定理 1 还是应用定理 2.AD1.若选择 存在，则需判断 =D-A 是否可逆1 1DA.若选择 存在， 则需判断 是否可逆。显然，第种选择比较好，D-A= 可逆，M 可逆2我们可以求得 ， =1()DA141A21由定理 1 得，

22、= =1M11()()ADA441441.分析：这个矩阵可以分块为12|03|010|1- 14 -和120|3|01|01从零块的角度看，这两种分法都可以，但中的单位块为 ，而中的3I为，并且分法后不容易判断 M 是否可逆，故应选择第种分块方法. 2I对于第种分法，M 可以表示为 ，A 、 都可逆，M 可逆.30ACI3I= ， = ，由定理 1，可得 = =1A3213I 1M11330AICI01201第二节 33 分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用在阶数较高的矩阵中，有时还被分为 33 分块矩阵，那么我们如何判断它是否可逆，以及有没有一个通用的求逆公式。给我们任意一个33 分块

23、矩阵，M= ，我们应如何对它求出可逆的判断条件呢？ABCDEFGHK我们在研究 22 分块矩阵时，是先设某一块可逆，然后变为上三角阵，或对角阵，利用 = 得出可逆性条件的.我们在这里也应用MA1CB这种方法，先设 A 可逆，那么我们考虑- 15 -=111000n nmms sIABCIABCDEFGIHKI 110AEDBFACHGK若判断 M 是否可逆，现在就转移到研究 可逆了。11TA这就回到了 22 分块矩阵的可逆性条件的存在性问题了，那我们就可以设 可逆，则 T 可逆的条件就是整个分块矩阵可逆的条件了。1EDAB定理 3. 设 M= ，其中 A、E、K 分别为 n 阶、m 阶、s 阶

24、方阵，CEFGHB、C、D、F、G、H 分别为 nm、ns、mn、ms、sn、sm 矩阵。设 A 和 可逆，则 M 可逆1EB，1 11()()()KAEDBFAC 这时 11PTQ其中 ， ，11PABC1GA 411EDABFCHGK证明：考虑111000n nmms sIBIDEFGIKI = = , 其中 ， 110AEBFACHK0T11EDABFCHGK于是 M 可逆 A，T 可逆。根据定理 1，可得： T 可逆， 可1可逆。且有11()()()GBEDAFCM = 其中 ，0nmsIQnmsIP0T11PAB1DAQG- 16 -= = 1M0nmsIP10ATnmsIQ11AP

25、T而 可由定理 1 中的公式给出。1T由定理 3 的证明方法以及前面的研究方法，当 K 和 可逆时，1EFH也可以得出一个可逆性存在条件及求逆公式，在这里就不重复证明. 我们知道在分块矩阵中如果有零块，其可逆条件的判断及求逆公式会相对简单一些。那下面我们就来看下面的定理。 我们知道在分块矩阵中如果有零块，其可逆条件的判断及求逆公式会相对简单一些。那下面我们就来看下面的定理。定理 4 设 3，其中 A 、E 、K 分别为 n 阶、m 阶、s 阶0ABMECD方阵，B 、C 分别为 ns 和 sn 矩阵，设 A 、E 可逆，则 M可逆 可逆。这时1AB=1M 1111()0()00CABDCDA

26、证明：考虑 10nmsICAI0ECD10nmsII= =10BEDCA10nmsIABI1|00|EDCAB故 A,E 可逆,M 可逆 可逆1- 17 -= 1M10nmsIABI110EDCAB10nmsII= 111()00E 10nmsII=111 1()()0ABCAABCEDD 证明完定理 4,我们不妨将定理 4 与定理 1 比较一下,从中便会发现定理 4 中 中的四个角的块正是定理 1 中 的四个块.下面我们研究1M M一下几个 33 分块矩阵求逆的例子.例 2. 判断下列矩阵是否可逆,若可逆求其逆. M10123101M1203021 M201032M1200312解: .分析

27、:这个矩阵经仔细观察,它正好可以分成定理 4 中的 M 的形式,故可将 M 分块为- 18 -可以表示为 型 1|0|12|3|01|21 0ABMECD , ,而令 = =12A13E1TDCAB212也可逆.2M 可逆。并且 由定理 4,得 =1251T1M11100ABCABTET 又 = + =11ABC21754125= =1T3541ABT345- 19 -=1M12340551003125540.分析: 这个矩阵可以化为分块对角阵,即 M= 可表示为 M= 型.12|0|0|1|030|210ABCA、B、C 都可逆,由定理 4,可得:M 可逆。且 123A1352B123C 代

28、入定理 4 中的公式得 = =1M10ABC- 20 -12003100521003.分析:这个矩阵可化为分块反对角阵,因为 33 分块矩阵难于判断是否可逆,我们可以先将 M 分块为M= = 而可将 T= = 0|122|0013|0AT0|2133|021BC B C 可逆T 可逆. 又 AT 都可逆.M 可逆.= = =1M10TA110CB0012335120032100- 21 -.分析: 这个矩阵可以化为上三角阵.即 M= ,12|0|10|1301|20但是我们知道运用定理 3 判断需要太多的计算,我们可以先将 M 分块为M= = 而 D 又可以分为 22 分块矩阵,12|010|

29、130|2AB很容易判断 D 可逆,又因为 A 可逆,所以 M 可逆.按照上面的 33 分块 M 可以表示为 M= 由定理 3 得20AIEK, 1PA 0QT= = , EFHK20I1111200EIETKK( )11APTQ=1111 1110EAAEAK - 22 -121374355191285503T =1M1212137435590102855003APT 在本题中,我们应用 22 分块矩阵的方法判断矩阵是否可逆,然后我们应用 33 分块矩阵的求逆公式来求逆,使运算更为简便.所以,我们在以后的应用中,应根据具体的情况灵活应用求逆的条件以及求逆公式.结束语:本文深入探讨了 分块矩阵的可逆性条件以及求逆公式，并以2分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了 分块矩阵的可逆性条2 3件以及求逆公式，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法.相信通过本文的研究,会对某些高阶矩阵应用分块求逆的方法求逆有很大的帮助.参考文献:1 王品超.高等代数新方法。山东教育出版社，1989。- 23 -2 卢有振.线性代数。辽宁科学技术出版社，1985。3 北大数学组.高等代数教材。高等教育出版社，1997。4 王名学.某些分块矩阵的求逆。湖南数学学会，2003。