1、学校编码：10384学号；B200323003Y 1032183分类号密级UDC膏疗太；博士学位论文几类结构矩阵的快速算法及其应用Fast Algorithm and its Applicationsof several Structured Matrices汪祥指导教师姓名：专业名称：论文提交日期：论文答辩日期：学位授予日期：卢琳璋教授计 算 数 学2 O 0 6年3月2 0 0 6年4月2 0 0 6年 月答辩委员会主席：评 阅 人：2006年3月摘 要众所周知，在工程计算和实际应用中有许多问题最终都归结为矩阵计算问题，而且不同的应用会导出一些具有特殊结构的矩阵计算最常见的一些结构矩阵有T
2、oeplitz矩阵k-Jl，Hankel矩阵k+Jl，Vandermonde矩阵陋一-11，Cauchy矩阵【士】等等处理与这些结构矩阵有关的矩阵计算问题(例如，求解线性方程组，计算特征值等)，若矩阵的阶数较小时，通常的经典算法是可行的(例如LU分解算法QR算法等)然而，在许多实际应用当中，矩阵的阶效n很大一108一109)或某个线性方程组需要多次计算直到得到一个满意的结果(例如用迭代法时)，此时这些经典的算法由于代价太大而失去了实际意义因此，针对这些结构矩阵的特点而设计一些能利用它们的结构的，数值稳定的快速算法，具有非常重要的意义正因为结构矩阵在实际应用中所具有的重要意义，国内外众多的学者将
3、目光投入到这领域结构矩阵的快速算法中最著名的莫过于快速傅里叶变换(即FF丁)，有许多快速算法均是由快速傅里叶变换导出的因此，著名数学家Charles Van Loan曾这样评价快速傅里叶变换算法t。从计算的角度看，快速傅里叶变换是本世纪最杰出的成就之一，毫不夸张地说，快速傅里叶变换改变了科学与工程计算的面貌，如果没有它，生活将会是另一种景象”本论文主要研究了Toeplitz矩阵Hankel矩阵、Pascal矩阵以及合流CauchyVandermonde矩阵的一些性质及相关的快速算法，同时还给出这些快速算法的数值实验和在一些问题中的应用理论和数值实验显示，这些快速算法是行之有效的第一章，我们简单
4、介绍了研究结构矩阵快速算法的现实意义、研究概况以及常用的研究方法，同时也给出了与本论文有关的几类结构矩阵的定义及其基本性质在第二章和第三章，我们主要是利用Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的特殊结构，导出相应的递推关系式，然后再利用快速傅里叶变换(FFr)，给出了计算Toeplitz矩阵的正弦变换和Hankel矩阵的余弦变换的快速算法(算法计算复杂度为O(ntogn)该算法不仅快而且存贮有效，因为在执行该快速算法的过程中，不需要存贮任何矩阵同时在第二章中，我们还给出了该快速算法在利用Jacobi旋转变换计算Toeplitz矩阵的特征值中的应用数值实验显示。对变换后的矩阵利用Jacobi旋转
5、变换方法求其特征值所需要的扫描次数大约为对原矩阵利用Jacobi旋转变换方法求其特征值所需要的扫描次数的三分之一第四章，我们研究了Pascal矩阵的一些性质，并且给出了计算系数矩阵为Pascal矩阵的线性方程组的解的一个快速算法，该算法的计算复杂度为O(ntogn)，比文221所给的快速算法运算量要少(221中所给的快速算法的计算复杂度为O(no)此外，我们还将我们所设计的快速算法用到了常系数非同态常微分方程的求解中第五章，我们讨论了一类在有理插值问题中有着广泛应用的矩阵，即合流CauchyVandermonde矩阵利用块Neville消去，给出了合流CauchyVandermonde矩阵及其
6、逆矩阵的块双对角分解，推广了文521的结果第六章，我们讨论了KRDrieasel在文【19】中所提出的个问题，即Problem A：任给n个实数，若它们是一个n阶实Hankel矩阵的特征值，则这n个实数必须满足何条件?对Problem A，我们给出了几个必要条件，并且得到了Problem A的必要条件的一个通用表达式。推广了文【26l的部分结果关键词：结构矩阵，快速算法，Toeplitz矩阵，Hankel矩阵，Pascal矩阵，合流CauchyVandermonde矩阵IIABSTRACTMany important problems in engineering and applied sc
7、iences ultimatelycan be reduced to matrix computation problemsMoreover，varioll8 appli-cations often introduce a special structure into the corresponding matricesAmong classical examples are Toeplitz matrices【aiJ】，Hankel matrices k钾】，Vandermonde matrices【a,S。1】，Cauchy matrices【六】and othersWhen wedeal
8、 with the related matrix problems(such嬲solving linear systenls，coin-puting eigenvalue and so on)with special structure，a8啪know，the stan-dard lineaz algebra methodB(矾lch as Ganssian elimination algorithm，QR algo-rithm，etc)are，ofcourse，readily available for small-size problemsHowever，inmany practical
9、applications，the order ofmatrices are very large(n一106-109)or the linear equations may have to be solved over and over again(such嬲iterative methods)，with different problem or model parameters，until a satisfactorysolution to the original physical problem is obtainedIn such ca8the numberof flops requi
10、red to solve the related matrix problems Call become prohibitivelylarge SO that these classical methods have no seilseTherefore，to achievinga fast and stable algorithm for these matrices with special or characteristicstructure is姐important issue in many applied are自t8Thusit i8 not surprismg that in
11、recent years the design of fast algorithmsfor structured matrices has become an increasingly important activity in adiverse variety of branches of the exact sciencesAs to fast algorithms，per-halos the most widely and importantly known example of fast algontham isthe fastFouriertransform(FFT)There ar
12、e many classical fast algorithmswhich ale been deduced by FFTIts improtance is widely acknowledged andnicely described in nulnerons papers and monographs，eg，as follows：”Thel碱Fourier trasIom任FT)|ls o仳ol the truly great computational develop-merits othis centuryIt has changed theface oiscience and eng
13、ineering 80that it妇not aR exaggeration to say that蜘a8犹know it would be verydifferent without FFT”(Charles Van Loan,8amomathematician)In this paper骶mainly discuss some properties and design several fastIIIalgorithms，for Toeplitz matrices，Hankel matrices，Pascal matrices and COn-fluent Cauchy-Vandermon
14、de matricesMoreover，some practical applicationsof these fast algorithms are givenAs theoretical and numerical experimentsresults show，these fast algorithms is very usefulIn chapter 1，we give a brief introduction to the importance and the CUr-rent research situation and classical research methods on
15、structured matricesMoreover，some definition and properties of the structured matrices which arediscussed in OUr paper，have been givenIn chapter 2 and chapter 3，we derive two fast algorithms for COmputingdiscrete sine transformation of Toeplitz matrices and cosine transformation ofHankel matricesusin
16、g structure exploitation and FFTThe COmputationalcomplexity of OIlS fast algorithms is O(n109n)Moreover，OUr algorithms isnot only fast but also storage efficient，as it facilitates the COmputation ofselected elements of the transformed matrix without storing any matrixInchaperwe also present an appli
17、cation of algorithm in eigenvalues COmputationfor symmetric Toeplitz matrices，using Jacobi rotation methodNumericalexperiments show that the SCan numbers for the transformed are about 13 ofthe scan numbers for the original matrixIn chapter 4，we study the properties of Pascal matrices，and present afa
18、st algorithm for solving linear systems of the Pascal typeThe COmputa-tional COmplexity of our fast algorithm is O(nlogn)，which is more fast thanthe algorithm in【221An application in solving non-homogeneous differenceequation with COnstant COefficients is also di8cussedIn chapter 5，we analyze the fa
19、ctorization of the inverse of a special typeof confluent Cauchy-Vandermonde matrix as a product of block bidiagonal m和trices by using block Neville eliminationFactorizations of COnfluent Cauchy-Vandermonde matrices are also COnsidered，which generalize the results of【52】In chapter 6，we discuss a prob
20、lem，which has been posed by KRDriesselin【19，thatisProblem A：Characterize all n-tuples of real numbers which can selwe a8n-tuples of eigenvalues of some nn real Hankel matrixWIn this chapter，we give several necessary conditions for Problem A，whichextend the partial results of【26】Key Words：structured
21、matrices，fast algorithm，Toeplitz matrix，Hauhelmatrix，Pascal matrix，confluent Cauchy-Vandermonde matrixV厦门大学学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。厦门大学学位论文著作权使用声明本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论
22、文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。本学位论文属于1、保密()，在 年解密后适用本授权书。2、不保密( )(请在以上相应括号内打“4”)作者签名：I导师签名：砰 日期：加巾多年f月以日日期： 年月 日第一章 绪 论11引言l众所周知，在X-程和实际应用中有许多问题最终都归结为矩阵计算问题。而且有许多的应用需要计算的矩阵是一些具有特殊结构的矩阵例如。若我们令p(z)=II一dJ)白以及 m，=器=妻警南+薹则插值问题i1d万f(x)d I。钝；哺s! z。 ”。(i=1，P，s=0，ni一1)等
23、价于求解一个系数矩阵为合流CauchyVandermonde矩阵的线性方程组(c，d)f=踞的问题，其中向量；=训嘤缆；：1一酬娟川n暑,-陷这里，col(ai)表示分量为n的列向量最常见的一些结构矩阵有Toeptitz矩阵，Hankel矩阵、Vandermonde矩阵，Cauchy矩阵等等我们知道，处理与这些结构矩阵有关的矩阵计算问题(饲如，求解线性方程组、特征值问题等)，若矩阵的阶数较小时，通常的经典算法是可行的然而，在许多实际应用当中。矩阵的阶数很大，此时这些经典的算法由于未充分利用这些矩阵的结构。计算花费代价太大而失去了实际意义因此，针丛差丝擅堑隆盟迭婆差鎏丛基廛旦 2对这些结构矩阵的
24、特点而设计一些数值稳定的快速，超快速的数值算法，具有非常重要的意义提到快速算法，最著名的莫过于快速傅里叶交换FFT著名数学家CharlesVan Loan曾这样评价快速傅里叶交换算法， 。从计算的角度看，快速傅里叶交换是本世纪最杰出的成就之一，毫不夸张地说。快速傅里叶交换改变了科学与工程计算的面貌，如果没有它，生活将会是另一种景象。有许多经典的快速算法都因此诞生，在本论文中，第二章，第三章和第四章所给的快速算法也都与快速傅里叶变换有关正因为结构矩阵在实际应用中所具有的重要意义，国内外众多的学者将目光投入到这一领域目前，在国外己经出现了多个研究群体，主要有以Thomas Kailath为代表的研
25、究群体(位移秩方法)，以Georg Heinig为代表的研究群体(四种基本类型位移结构矩阵的计算，矩阵广义逆的位移结构)，以Victor YPan为代表的研究群体(多项式与结构矩阵的计算，牛顿结构迭代算法)，以Vadim Olshevsky为代表的研究群体(有理插值与结构矩阵的快速算法的研究)等在国内，许多学者也在相关课题上做了大量的研究工作，西安交通大学的游兆永、李磊、路浩等在Toeplitz矩阵循环矩阵求逆的快速算法与复杂性分析方面。西北工业大学的徐仲，张凯院，陆全等在Vandermonde、Toeplitz矩阵类的快速算法方面，中国科学院数学机械化研究中心的支丽红在符号与数值的混合计算方
26、面12几类结构矩阵的定义及性质本节将给出本文所涉及到的几类结构矩阵的定义及相关的性质，其中的性质均只列出参考文献而不给出证明丛差堕煎生睦煦迭鎏差造区基廛塑 3定义121 n阶Fourier矩阵定义如下tR=其中tl，=e宰，i为虚数单位众所周知，Fourier矩阵是酉矩阵，是对称矩阵一个Fourier矩阵乘以一个向量相当于对这一向量作离散Fourier交换(即DFT)1965年，JWCooley给出了著名的快速傅里叶变换算法(即F丌)定理12215对长度为U的向量作离散Fourier交换及逆离散Fourier交换所需的运算量及存储空问均为O(ntogn)定义123 n阶Circulant矩阵定
27、义如下tG=C(zl，272，zn)=zl墨I甄I一1Z2 Xl ZnX3 X2 Z1Xn-I Xn-2显然，Circulant矩阵完全由它的第一列元素确定1974年，DHeller证明了如下定理定理1241371若C为n阶Circulant矩阵且它的第一列为z=0l，z2，)T，则RG晶H=diag(去昂z)，即Circulant矩阵可以被Fourier矩阵对角化定理125137计算一个n阶Circulant矩阵G与任一n维向量的乘积所需的计算量为0(nlogn)由定理124和定理L25，容易推出定理126求解系数矩阵为n阶Circulant矩阵的线性方程组所需的运算量为O(nlogn)杰雩
28、等：丝 。孓而而o万。而。而舻而；一万。万。而，石；，而驰嬲肌；瓢且差堕煎复眭堕迭鎏差鎏区基廛用 4定义127 n阶Toeplitz矩阵定义如下死=印每条对角线上元素相同显然，Toeplitz完全由它的第一行和第一列的元素确定(共2n-1个元素)定义129 n阶Hankel矩阵定义如下玩=知 石l X2ggl X2 Z3X2 X3 X4Zn一1 Xn Xn+laklZ+1X2n-2(5)易知，Hankel矩阵完全由它的第一行和第n列的元素确定(即2n-1个元素确定)求n阶Hankel矩阵的全部特征值所需的运算量为O(n2109n)定义1212 n阶Pascal矩阵P=饥J)定义如下：PlJ=c
29、=“+J-1-2，i，J=1，n (6)其中c?=孟为组合数定义1213 n阶Vandermonde矩阵定义如下K=V(xo，Xl，Xn-I)=1 1加 z1z3 zz3-1 z?-1Vandermonde矩阵完全由它第二行元素确定1z2z；：z星一11Znl一1n一-l23一一一：知3+n机瓤跏：n2+ln10一一ZZZ：ZI+l2协O一一一ZZ第；Z几类结构矩阵的快速算法及其应用 5定义1214设al，anc和h，kc，其中啦6，Vi，j，矩阵C(a，妨三C(al，an；bl，bm)=l8tP-岫-bl1dnhl8-p幻一62lanb被称为关于数组nl，口，I和h，k的Cauchy矩阵定理
30、1215f玛11阶Cauchy矩阵的行列式为 删86)=吲群(9)定义1216矩阵e(B，6)=眵(口，b)(n)】 (10)被称为CauchyVandermonde矩阵，其中a=(al，nfl)，b=(bl，“)，(o)=为Vandermonde矩阵在下面两个定义中，记a1砰o,2碹03霹。2延!：!多2：刍，乏：生)，l n2 n，d=(dl，西，d2，d2，嘞，一，幽) 、-、，-一、-、，-_，、-：-_-一h b “其中G嘭(，J)，翟l啦=n，硌l岛=七定义1217称“tlk阶块矩阵c(c，d)=()*P,q l(11)(12)查?七。一以。卵曰霹；簖几类结构矩阵的快速算法及其应用
31、 6为对应于向量C和d的合流Cauchy矩阵，其中=7州s3忡)s=一O,t局=O一1伊“，叼=丽1丽(T+t矧：=(8；)吉耪定义1218称n X似+m)阶块矩阵(c，d)=p(c，d)，K。(c)】(m0)(13)为对应于向量c和d的合流Cauchy-Vandermonde矩阵，其中c(c，d)为合流Cauchy矩阵，(c)=(c1)1，幺池)(勺)刚加矿亡mi-l伽,m-1， (14)为对应于向量c的合流Vandermonde矩阵13设计结构矩阵快速算法的常用方法及本文结构研究结构矩阵的快速算法有着悠久的历史，相关的文献非常之多然而常用的研究方法不外乎以下几种t1，利用快速傅里咔交换【F
32、FT)2，利用结构矩阵的特殊结构，构造出相应的递归关系例如文【25】，【42】，【63】和【64】3、位移结构理论(详见文【46】和【47】)4、利用结构矩阵与多项式插值之问的关系(见【57】)本文给的快速算法所用的研究方法主要是前两种，在第二章和第三章，利用FFT及矩阵的特殊结构，给出了计算Toeplitz矩阵和Hankel矩阵的快速正弦和余丛差箜煎堑眭塑迭鎏差鎏丛基廛旦 7弦变换的两个快速算法，理论上和数值实验均显示我们的算法比经典的算法(见【21】)更有效在第四章，我们利用Pascal矩阵与Toeplitz矩阵之问的关系及F刀。给出了求解系数矩阵为Pascal矩阵的线性方程组的一个快速算
33、法，该算法的计算复杂度为O(仃logn)，较文22】所给的快速算法的运算量要少(其运算量为0(n2)在本论文的第五章，主要是利用块Neville消去给出了合流型CauehyVander-monde矩阵的块双对角分解，推广了文521的结果在第六章，我们主要给出了KRDriessel在文【19】中所提出的问题即Problem A：任给n个实数，若它们是一个n阶实Hankel矩阵的特征值，则这f1个实数必须满足何条件?的几个必要条件，同时还给出了Problem A的必要条件的一个通用表达武，推广了文【26】的部分结果丛耋缱垫丝眭盟迭壅差鎏丛基麈旦 813基本符号本文采用下面一些基本符号DFTFFTA
34、口，用detAal卢trAcot(oK)det(A)厶Im)硝，aH，R，C四高散傅里叶变换快速傅里叶交换矩阵A的行标集为Q列标集为卢的子阵矩阵A的子式矩阵A的迹以啦为分量的列向量矩阵A的行列式n阶单位阵取复数的虚部n取复数的实部取复数口的复共轭分别表示自然数集，实数集，复数集组合数丛结掏堑堕鲍迭蕉篁鎏垄基鏖旦 9第二章Toeplitz矩阵的快速sine变换算法及其应用21引言在图像和信号处理领域，许多离散变换经常被用到(见文【101316116159等)这些变换将一个向量才=(知，1，一l T映射到另一个向量叉=(，墨，墨一1)r在这些交换中，最著名的是离散傅里叶交换(DFT)，一个长度为的
35、离散傅里叶交换定义如下一定义211ZtJ若磁=tXkO；捌，其中m=n=，七=0，1，m一1，f=0，1，n一1，=e-21riN，则我们称向量叉=(，x1，XN1)T为对向量才=(zo，zl，XN-I)T作一长度为的DFT交换所得到的变换向量本章主要讨论一类应用非常广泛的结构矩阵(印Toeplitz矩阵)的快速sine变换算法文【21】给出了计算交换矩阵亍=STST的一个快速算法即利用离散sine变换的快速傅里叶变换来快速求解，其中S为离散sine交换矩阵(见定义221)，T为Toeplitz矩阵该算法所需的计算量和存储空间分别为O(N2109N)+O(M)和O(N2)，其中N为矩阵T的阶，
36、订为所需计算变换矩阵T的元素的个数然而我们发现，在文【211所给的快速算法中，Toeplitz矩阵的结构特点并没有被利用因此，利用其结构特点，我们给出了另一个更快并且存储更有效的算法，该算法的运算量和存储量分别为O(NlogN)+O(M)和0()，而且由于在计算变换矩阵T的过程中不用存储任何矩阵，因此当矩阵T维数很大而无法有效存储时我们仍可计算T丛耋箜煎堑睦盟迭鎏差洼区基廛盟 1022算法的推导定义221【10l阶为N的离教sine变换矩阵S定义如下，S=(如。)，8m,l= 8in堕学，m，f=o，1，_1(15)由定义易知，S是正交对称阵，印S-1=ST=S下面我们考虑NN阶Toeplit
37、z矩阵T，?=：。三to。三。暑。：；i：芝：T=(o岫)，tt,t=tk“厶k=0，1，一1， (16)记于=(一)=盯矿，smJ=sin也生N盟+垃I ，则令n N-1N-1k矿志(三I=0 s砒鳓，t)，Nl。m，詹=“，1)u+1t啪，l=O其中u=expO膏籍)由于T是实矩阵，所以乙n-南(N三-1) n其中jm)表示取一个复数的虚部记一l，n+l=，叫(州弘，k=O(17)(18)(19)(20)丛差箜塑堑隆盟迭鎏差鎏丞基蕉旦 11则 o=志州1业尘产l，a表示取a的复共轭事实上一=矗(芒孑Imxra，ks。，一)=丙备(是j Imxm，kImw(州)()=矗，mtl，州芒0(fm
38、z。，k扣(州)所以口h，。+1一，一加+1)=各孑，女tl，(”+1砖一(0等xmj。tl，一(n+1冲)= l譬(叫(”+1)七zm，七一五i而毛，)又因为故我们可得孑丽：w(n+1)kYm，I+1一如，一(n+1) = 是暑tlJ(“+1弘(zm，七一牙m，七)=2j伽(“+1)七2，mz。)，(21)阳 o=而2，mwn+l纽坚产文【21】直接利用(18)-(21)式和FFT计算。，需要的运算重为o(N2 logN)，但若利用矩阵T的特殊结构导出递推关系式(23)，则可以大大减少运算量事实上，对于中问量，我们没必要计算和存储，Ym，。也不用按(20)式计算为证姨定理223，先引入有限z
39、-变换的概念定义2221611数列，n=0，1，N一1的有限z-交换定义为故(20)式可以看作是z。I在点加”+1的有限z-变换，即Z=仰n+l扩nZ脚=0X几类结构矩阵的快速算法及其应用=X。(叫1)一1(z)=Zkk=O(22)定理223计算M个一需要的运算量为O(M)+O(NlogN)，存储量为0()证明zm，=盘1硼(”+1)(1+1饥=盘1伽(”+1)(1+1)tkl=鉴1 wCra+1)t州一l= “一(m+1)、厶I=N-01叫(m+1)(+1)tk+lltt，m+1tk+ltt，m+1tk一+1)= 埘一(m+1)(。七+l一叫m+ltk+lWm+ltkN+1)，所以卫m+l=
40、伽rn+l(zm，七+tk+1+tkN+1)， (23)m=0，1，一1k=0，1，v一1当k=N时，取tN=0对(23)式左边进行一有限即交换可得t芒；。，k+l=2竺lm+1一Xm,OZ一1+Xm,NZ一1= 芒暑Xm,kzk一1一zm，oz一1+，Nz一1=Z-1Xk如)一X,m，0z一1+zm，。一1对(23)式右边进行一有限盔-变换(注意+1=一1)。可得t，仇+1(，k+tk+l+tI一+1)=埘m+1(z)+tk+lZk+tkN+Iz)所以础一叶1卜g俐gm,Oz+-。I瑶：；俨+1龇“(24N-1 tk-N )+叫”+1：o +l 7记一l 一lt，1(n+1)=伽(叶1tk+
41、l，v2(n+1)=tl，(n+1)ktkN+l， (25)=0 k=O12丛耋丝塑堑睦煎迭鎏笠鎏区基廑旦 13则由(24)式和(25)武可得暑哪+1(钟一(“+1一伽m+1)=，011一(“+1)一zk伽(4+1)(一1+叫m+1(口l(n+1)+抛(n+1)(26)若，l=一m一2，m=0，1，N一1，(审仇+1=-(n+1)，则我们利用式(21)计算。前，必须先计算一+1由于式(26)的左边为零，所以我们能利用式(26)计算Xm。r，仇=0，1，一1，即，=删(m+1)一1(，o叫m+1+伽m+1pl(一m一1)+v2(m一1)】) (27)若m+1-(n十1)，由(26)式可得Ym,n
42、+l=石=i甬可_ii丽m，。埘(n+1一zm“+11+加m+1(口l(n+1)+“2(n+1)(28)当仇+1=一m+1)时，由(28)式计算Ym。时会出现分子分母同为0的情形，但由函数KnD)2孑i三!石磊玎(茁m，。z一1一zm，z一1+“”+1(口l(n+1)+现(几+1)在点ZO=t，一(“+1)处是一连续函数故由Hospital法则可得垂笋I一一加删=fz。归丽2-_(_j)茁m，r替_2+wm+l(0写七茹_1“+，一t，+1丝七罐一1“一+1)】(一百2)=2ko十(N一1)卫硒，彬一?Mm+1(七N=-01七碚+1“+l+七N=-oI后罐+1t七一+1)=，0+(N一1)彬，
43、一Wra+l动(ul(m一1)+u2(一m一1)其中ul(n-I-1)=kw(n+1)ttt+t，“2m+1)=七伽(”+1“一+I (29)Ym，一(m+1)=岳m，o+(一a)xmr+tl，m+1匈(l(一仇一1)一埘+1II2(一m1)(30)丛差坌煎丝隆塑迭鎏差鎏丞基廑旦 14因为每计算一次长度为的DFT所需的运算量为O(Nlog)，故整个算法所需要的运算量为c,NlogN+c2N+c3M，M为需要计算的靠。的个数易知，该算法的空问复杂度为O(N)II由定理223的证明过程可得到如下算法-Algorithm 224算法及其复杂度a)由(18)式计算Xm0，m=0，1，一1复杂度z计算一
44、次个点的DFT，b)由(25)武计算t，l(n)，口2)，n=一M，0，v复杂度z计算两次2N+1个点的DFTc)由(27)式计算N，m=0，1，一1复杂度， clN次浮点运算，cl为常数d)由(29)式计算tl(n)，t2(n)，n=一(一1)，0，一1复杂度，计算两次2N-1个点的DFTe)由(25)式，(26)式、(29)式和(30)式计算Ym,n+l复杂度。c2M次浮点运算，其中M为需计算的。的个数，c2为常数f)由(21)式计算，。复杂度。 c3f次浮点运算，其中M为需计算的k。的个数，c3为常数定理225计算矩阵于=STS的M个元素所需要的运算量为O(M)+O(NlogN)，存储量
45、为D()，其中S为离散sine变换矩阵，T为Toeplitz矩阵证明t由定理223的证明及(21)式知定理225显然成立I定理226若m+n是奇数，则，。=0，仇，n=1，2，N，其中亍=STS=(，。)，S为离散sine变换矩阵，T为对称Toeplitz矩阵几类结构矩阵的快速算法及其应用证明，令T=(k，n)嚣口1=田Stm=白一m=tm而J=sin而rnr，m，l=1，2，N，则m=i2五(丝1篷l Sm,ttl,kSn,k)2褥2N-I轰N辩-2-蒜一N+I+咖一N+Isin 崤knx。，+而白=i厶詹=1。a-u丙干i业n笪+咖业迎s协丙+1，=南。蹈1岛乃其中=耋如軎如器，乃=静n器
46、咖锵“n挚蔚n篇加一舻-2sin(a)sin(，)=COS(np)一cos(a+卢)c。(口)+cos(p)：2 cos(竺掣)cos(竺)可以证明若m+竹是奇数，Tj=0，J；1，2，一1；若m+n是偶数。则乃=2留sin而krnr 8in觜=2芒7 sin选N+“+一I sln鲁嚣，J=1，2，N一1丛差笙盟丝隆盟迭鎏差鎏区基廛塑 16事实上，当m+n是奇数时我们有簧(sin等籍sm一“N+n”L学sin+l，_+sin knlran器sin器+sin箭sin丽nlr+8in糌sin器+sin丽3mr sln糌+咖瞥sin器+sin糌sin崤挚【c08帮一cos膂+cos瞀一C06觜十删紫
47、一cos紫+cos督一COS堑N也+I+cos丛生案筹丛坚一c鸺丛生等等塑+c0S丝坚寻告尘坚一cos盟坚等告山丛】【c08紫+COS帑一C06膂一COS膂+咖垫焉芊产+Cos翌粹一Cos塑堕N+堑I互一C08麴坚N+墅I呸+c08塑生弓铲+COS盟堡曼斋簧产业坚一cOS塑匕弓产一c08型里簪产】COS哿等COS器者一COS哿等cos器寄+cos滁酱cos器劣一cos哿等c08器寄当J=2，一1时，类似可以证明Tj=0一推论227若S为阶离散sine交换矩阵，丁为阶对称三对角Toeplitz矩阵，则于=STS为对角阵，即对称三对角Toeplitz矩阵可以被离散sine交换矩阵对角化注t推论227推广了文【40】的定理2丛差笙盟丝睦塑迭鎏差鎏丞基廑用 1723应用众所周知，Jacob旋转变换方法(【41】)是计算对称矩阵特征值的一种经典的方法，这种方法的本质是通过旋转交换将一个矩阵约化成对角矩阵的形式由定理226知，对矩阵于进行旋转变换明显要优于
