1、,4.1.2 圆的一般方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,直接看出圆心坐标和半径,复习,由于a, b, r均为常数,动动手,令,1.是不是任何一个形如x2 y 2DxEyF0 的方程都表示圆呢？,思考,2.下列方程表示什么图形？ （1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0； （3）x2+y2-2x+4y+6=0.,(x-1)2+(y+2)2=4（圆）；,(x-1)2+(y-2)2=0（点）；,(x-1)2+(y+2)2=-1(不成立).,3.方程x2 y 2DxEyF0表示圆的条件是什么？,配方可得：,把方程：x2 y 2DxEyF0,(1) 当D2+E
2、2-4F0时,表示以（ ）为圆心，以( ) 为半径的圆.,(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2y=-E/2，表示一个点（ ）.,动动脑,(3) 当D2+E2-4F0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.,所以形如x2 y 2DxEyF0的方程（只有当D2+E2-4F0时）才表示圆,圆的一般方程：,x2 y 2DxEyF0,圆的一般方程与标准方程的关系：,(D2+E2-4F0),（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,x2与y2系数相同并且不等于0；,已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0
3、的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于2.方程x2+y2-2ax-y+a=0 表示圆的条件是,练习,(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:,一般方程,标准方程,小结一:,应用,例4： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,几何方法,方法一：,y,x,M1(1,1),M2(4,2),0,圆心：两条弦的中垂线的交点,半径：圆心到圆上一点距离,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,待定系数法,方法二：,应用,例4： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐
4、标.,应用,例4： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,解：设所求圆的一般方程为：,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则,即（x-4）2+（y+3）2=25,待定系数法,方法三：,对比三种方法，那个最简单？,小结二,(特殊情况时,可借助几何性质求解更简单),注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:,若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程较简单.,应用,例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2
5、=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）,由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以,整理得,又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足 方程，又有（x0+1）2+y02=4,所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4,整理得,所以，点的轨迹是以（ ）为圆心，为半径的圆,相关点法：“求谁设谁”,点M的轨迹方程是：点M的坐标（x,y）满足的关系式。,1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为,(用配方法求解),3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?,2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程(圆心,半径),小结,几何方法,求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线）,求半径 （圆心到圆上一点的距离）,写出圆的标准方程,待定系数法,列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组,解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）,小结求圆的方程,
