4.1.2圆的一般方程.pdf

1、4.1.2圆的一般方程（一）教学目标1 知 识 与 技 能（ 1） 在 掌 握 圆 的 标 准 方 程 的 基 础 上 ， 理 解 记 忆 圆 的 一 般 方 程 的 代 数 特 征 ， 由 圆 的 一 般方 程 确 定 圆 的 圆 心 半 径 ， 掌 握 方 程 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0表 示 圆 的 条 件 .（ 2） 能 通 过 配 方 等 手 段 ， 把 圆 的 一 般 方 程 化 为 圆 的 标 准 方 程 ， 能 用 待 定 系 数 法 求 圆 的方 程 .（ 3） 培 养 学 生 探 索 发 现 及 分 析 解 决 问 题 的 实 际 能 力 .2 过 程 与 方 法通

2、 过 对 方 程 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0表 示 圆 的 条 件 的 探 究 ， 培 养 学 生 探 索 发 现 及 分 析 解决 问 题 的 实 际 能 力 .3 情 感 态 度 与 价 值 观渗 透 数 形 结 合 、 化 归 与 转 化 等 数 学 思 想 方 法 ， 提 高 学 生 的 整 体 素 质 ， 激 励 学 生 创 新 ， 勇于 探 索 .（二）教学重点、难点教 学 重 点 ： 圆 的 一 般 方 程 的 代 数 特 征 ， 一 般 方 程 与 标 准 方 程 间 的 互 化 ， 根 据 已 知 条 件 确定 方 程 中 的 系 数 ， D、 E、 F.教 学 难

3、点 ： 对 圆 的 一 般 方 程 的 认 识 、 掌 握 和 运 用 .（三）教学过程教 学环 节 教 学 内 容 师 生 互 动 设 计 意 图课 题引 入 问 题 ： 求 过 三 点 A(0， 0)， B(1，1)， C(4， 2)的 圆 的 方 程 .利 用 圆 的 标 准 方 程 解 决 此 问 题 显然 有 些 麻 烦 ， 得 用 直 线 的 知 识 解 决 又 有其 简 单 的 局 限 性 ， 那 么 这 个 问 题 有 没 有其 它 的 解 决 方 法 呢 ？ 带 着 这 个 问 题 我们 来 共 同 研 究 圆 的 方 程 的 另 一 种 形 式 圆 的 一 般 方 程 .

4、让 学 生 带 着 问 题 进 行 思 考 设 疑 激 趣导 入 课 题 .概 念形 成与 深化 请 同 学 们 写 出 圆 的 标 准 方 程 ： (xa)2 +(yb)2 =r2， 圆 心 (a， b)， 半 径 r.把 圆 的 标 准 方 程 展 开 ， 并 整 理 ：x2+y22ax2by+a2+b2r2=0.取 D=2a， E=2b， F=a2 +b2 整 个 探 索 过 程 由 学 生 完成 ， 教 师 只 做 引 导 ， 得 出 圆 的一 般 方 程 后 再 启 发 学 生 归 纳 .圆 的 一 般 方 程 的 特 点 ：（ 1） x2和 y2的 系 数 相 通 过学 生 对 圆

5、的 一 般 方程 的 探 究 ，使 学 生 亲r2得 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0这 个 方 程 是 圆 的 方 程 .反 过 来 给 出 一 个 形 如 x2 + y2 +Dx+Ey+F=0 的 方 程 ， 它 表 示 的 曲 线 一定 是 圆 吗 ？把 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0配 方 得2 22 2 4( ) ( )2 2 4D E D E Fx y (配方 过 程 由 学 生 去 完 成 )这 个 方 程 是 不 是表 示 圆 ？（ 1） 当 D2 +E2 4F 0时 ， 方 程 表 示 以 ( , )2 2D E 为 圆 心 ，2 21 42 D E F 为 半 径 的

6、 圆 ；（ 2） 当 D2 +E2 4F=0时 ， 方 程只 有 实 数 解 ,2 2D Ex y ， 即 只 表 示一 个 点 ( , )2 2D E ；（ 3） 当 D2 +E2 4F 0时 ， 方 程没 有 实 数 解 ， 因 而 它 不 表 示 任 何 图 形 .综 上 所 述 ， 方 程 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0表 示 的 曲 线 不 一 定 是 圆 .只 有 当 D2 +E2 4F 0时 ， 它 表 示的 曲 线 才 是 圆 ， 我 们 把 形 如 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 的 表 示 圆 的 方 程 称 为 圆 的一 般 方 程 .同 ， 不 等 于 0. 没

7、 有 xy这 样 的 二 次 项 .（ 2） 圆 的 一 般 方 程 中 有 三个 特 定 的 系 数 D、 E、 F， 因 此只 要 求 出 这 三 个 系 数 ， 圆 的 方程 就 确 定 了 .（ 3） 与 圆 的 标 准 方 程 相 比较 ， 它 是 一 种 特 殊 的 二 元 二 次方 程 ， 代 数 特 征 明 显 ， 圆 的 标准 方 程 则 指 出 了 圆 心 坐 标 与 半径 大 小 ， 几 何 特 征 较 明 显 .身 体 会 圆的 一 般 方程 的 特 点 ，及 二 元 二次 方 程 表示 圆 所 满足 的 条 件 .应 用举 例 例 1 判 断 下 列 二 元 二 次

8、方 程 是 否表 示 圆 的 方 程 ？ 如 果 是 ， 请 求 出 圆 的 圆心 及 半 径 .（ 1） 4x2 +4y2 4x+12y+9=0（ 2） 4x2 +4y2 4x+12y+11=0解 析 ： （ 1） 将 原 方 程 变 为 学 生 自 己 分 析 探 求 解 决 途径 ： 用 配 方 法 将 其 变 形 化 成圆 的 标 准 形 式 . 运 用 圆 的 一般 方 程 的 判 断 方 法 求 解 .但 是 ，要 注 意 对 于 （ 1） 4x2 +4y2 4x+12y+9=0来 说 ， 这 里 的 D= 通 过例 题 讲 解使 学 生 理解 圆 的 一般 方 程 的代 数 特

9、征x2 +y2 x+3y+94=0D=1， E=3， F=94. D2 +E2 4F=1 0 此 方 程 表 示 圆 ， 圆 心 （ 12， 32 ） ，半 径 r=12.（ 2） 将 原 方 程 化 为x2 +y2x+3y+114 =0D=1， E=3， F=114 .D2 +E2 4F=1 0 此 方 程 不 表 示 圆 .1， E= 3， 94F 而 不 是 D=4， E=12， F=9. 及 与 标 准方 程 的 相互 转 化 更进 一 步 培养 学 生 探索 发 现 及分 析 解 决问 题 的 能力 .例 2 求 过 三 点 A(0， 0)， B(1， 1)，C(4， 2)的 圆 的

10、 方 程 ， 并 求 这 个 圆 的 半径 长 和 圆 心 坐 标 .分 析 ： 据 已 知 条 件 ， 很 难 直 接 写 出圆 的 标 准 方 程 ， 而 圆 的 一 般 方 程 则 需 确定 三 个 系 数 ， 而 条 件 恰 给 出 三 点 坐 标 ，不 妨 试 着 先 写 出 圆 的 一 般 方 程 .解 ： 设 所 求 的 圆 的 方 程 为 ： x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 A(0， 0)， B(1， 1)， C(4， 2)在圆 上 ， 所 以 它 们 的 坐 标 是 方 程 的 解 .把它 们 的 坐 标 代 入 上 面 的 方 程 ， 可 以 得 到关 于 D、 E、

11、F的 三 元 一 次 方 程 组 ：即 0 2 04 2 20 0FD E FD E F 解 此 方 程 组 ， 可 得 ： D=8， E=6，F=0 所 求 圆 的 方 程 为 ： x2 +y2 8x+例 2 讲 完 后学 生 讨 论 交 流 ， 归 纳 得 出使 用 待 定 系 数 法 的 一 般 步 骤 ：1 根 据 题 设 ， 选 择 标 准 方程 或 一 般 方 程 .2 根 据 条 件 列 出 关 于 a、b、 r或 D、 E、 F的 方 程 组 ；3 解 出 a、 b、 r或 D、 E、F， 代 入 标 准 方 程 或 一 般 方 程 .6y=0 2 21 4 52r D E F

12、 ；4, 32 2D F .得 圆 心 坐 标 为 (4， 3).或 将 x2 +y2 8x+6y=0 左 边 配 方化 为 圆 的 标 准 方 程 ， (x4)2 +(y+3)2 =25， 从 而 求 出 圆 的 半 径 r=5， 圆 心 坐 标为 (4， 3).例 3 已 知 线 段 AB的 端 点 B的 坐 标是 (4， 3)， 端 点 A在 圆 上 (x+1)2 +y2 =4运 动 ， 求 线 段 AB的 中 点 M的 轨 迹 方 程 .解 ： 设 点 M的 坐 标 是 (x， y)， 点 A的 坐 标 是 (x0， y0)由 于 点 B的 坐 标 是 (4，3)且 M是 线 段 AB

13、中 重 点 ， 所 以0 04 3,2 2x yx y ， 于 是 有 x0 =2x4， y0 =2y3因 为 点 A在 圆 (x+1)2 +y2 =4上 运动 ， 所 以 点 A的 坐 标 满 足 方 程 (x+1)2 +y2 =4， 即 (x0 +1)2 +y02 =4 把 代 入 ， 得(2x4+1)2 +(2y3)2 =4，整 理 得 2 23 3( ) ( ) 12 2x y 所 以 ， 点 M的 轨 迹 是 以 3 3( , )2 2 为 圆心 ， 半 径 长 为 1的 圆 . 教 师 和 学 生 一 起 分 析 解 题思 路 ， 再 由 教 师 板 书 .分 析 ： 如 图 点

14、A运 动 引 起点 M运 动 ， 而 点 A在 已 知 圆 上运 动 ， 点 A的 坐 标 满 足 方 程 (x+1)2 +y2 =4.建 立 点 M与 点 A坐标 之 间 的 关 系 ， 就 可 以 建 立 点M的 坐 标 满 足 的 条 件 ， 求 出 点M的 轨 迹 方 程 .MA xyO B课 堂 练 习 ： 课 堂 练 习 P130第 1、 2、 3题 .归 纳总 结 1 圆 的 一 般 方 程 的 特 征2 与 标 准 方 程 的 互 化3 用 待 定 系 数 法 求 圆 的 方 程4 求 与 圆 有 关 的 点 的 轨 迹 教 师 和 学 生 共 同 总 结 让 学生 更 进 一

15、步 （ 回 顾 ）体 会 知 识的 形 成 、 发展 、 完 善 的过 程 .课 后作 业 布 置 作 业 ： 见 习 案 4.1的 第 二 课 时 学 生 独 立 完 成 巩 固 深 化备 选 例 题例 1 下 列 各 方 程 表 示 什 么 图 形 ？ 若 表 示 圆 ， 求 出 圆 心 和 半 径 .（ 1） x2 +y2 +x+1=0；（ 2） x2 +y2 +2ac+a2 =0(a 0)；（ 3） 2x2 +2y2 +2ax2ay=0(a 0).【 解 析 】 （ 1） 因 为 D 1， E 0， F 1，所 以 D2 +E2 4F 0 方 程 （ 1） 不 表 示 任 何 图 形

16、；（ 2） 因 为 D 2a， E 0， F a2，所 以 D2 +E2 4F 4a2 4a2 =0， 所 以 方 程 （ 2） 表 示 点 (a， 0)；（ 3） 两 边 同 时 除 以 2， 得 x2 +y2 +axay=0，所 以 D=a， E=a， F=0. 所 以 D2 +E2 4F 0，所 以 方 程 （ 3） 表 示 圆 ， 圆 心 为 ( , )2 2a a ， 半 径 2 21 24 | |2 2r D E F a .点 评 ： 也 可 以 先 将 方 程 配 方 再 判 断 .例 2 已 知 一 圆 过 P(4， 2)、 Q(1， 3)两 点 ， 且 在 y轴 上 截 得

17、的 线 段 长 为 4 3， 求 圆的 方 程 .【 分 析 】 涉 及 与 圆 的 弦 长 有 关 的 问 题 时 ， 为 简 化 运 算 ， 则 利 用 垂 径 直 径 定 理 和 由 半 弦 长 、弦 心 距 、 半 径 所 构 成 的 三 角 形 解 之 .【 解 析 】 法 一 ： 设 圆 的 方 程 为 ：x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 将 P、 Q的 坐 标 分 别 代 入 得4 2 203 10D E FD E F 令 x=0， 由 ， 得 y2 +Ey+F=0 由 已 知 |y1 y2|= 4 3， 其 中 y1， y2是 方 程 的 两 根 . (y1 y2)2 =(y

18、1 +y2)4y1y2 =E2 4F=48 解 联 立 成 的 方 程 组 ， 得2012DEF D=-10或 E=-8F=4故 所 求 方 程 为 ： x2 +y2 2x12=0或 x2 +y2 10x8y+4=0.法 二 ： 求 得 PQ的 中 垂 线 方 程 为 xy1=0 所 求 圆 的 圆 心 C在 直 线 上 ， 故 设 其 坐 标 为 (a， a1)，又 圆 C的 半 径 2 2| | ( 4) ( 1)r CP a a 由 已 知 圆 C截 y轴 所 得 的 线 段 长 为 4 3， 而 圆 C到 y轴 的 距 离 为 |a|.2 2 24( 3)2r a 代 入 并 将 两

19、端 平 方 ， 得 a2 5a+5=0，解 得 a1 =1， a2 =5. 1 213, 37r r 故 所 求 的 圆 的 方 程 为 ： (x1)2 +y2 =13或 (x5)2 +(y4)2 =37.【 评 析 】 (1)在 解 本 题 时 ， 为 简 化 运 算 ， 要 避 开 直 接 去 求 圆 和 y轴 的 两 个 交 点 坐 标 ， 否则 计 算 要 复 杂 得 多 .（ 2） 涉 及 与 圆 的 弦 长 有 关 问 题 ， 常 用 垂 径 定 理 和 由 半 弦 长 、 弦 心 距 及 半 径 所 构 成 的 直角 三 角 形 解 之 ， 以 简 化 运 算 .例 3 已 知 方 程 x2 +y2 2(t+3)x+2(1t2)y+16t4 +9=0表 示 一 个 圆 ， 求（ 1） t的 取 值 范 围 ；（ 2） 该 圆 半 径 r的 取 值 范 围 .【 解 析 】 原 方 程 表 示 一 个 圆 的 条 件 是D2 +E2 4F=4(t+3)2 +4(1t2)2 4(16t4 +9) 0即 7t2 6t1 0， 1 17 t （ 2） 2 22 2 2 2 4 22 4 ( 3) (1 ) (16 9) 7 6 143 167( )7 7D E Fr t t t t tt 2 16 4 70 ,07 7r r