4.1.2圆的一般方程学案.doc

1、4.1.2 圆 的 一 般 方 程 (学 案 ) 高一备课组课 题 引 入 ：问 题 ： 求 过 三 点 A（ 0， 0） ， B（ 1， 1） ， C（ 4， 2） 的 圆 的 方 程 。利 用 圆 的 标 准 方 程 解 决 此 问 题 显 然 有 些 麻 烦 ， 得 用 直 线 的 知 识 解 决 又 有 其 简 单 的 局 限 性 ， 那 么 这 个 问 题有 没 有 其 它 的 解 决 方 法 呢 ？ 带 着 这 个 问 题 我 们 来 共 同 研 究 圆 的 方 程 的 另 一 种 形 式 圆 的 一 般 方 程 。探 索 研 究 ：请 同 学 们 写 出 圆 的 标 准 方 程

2、： (x a)2 (y b)2=r2， 圆 心 (a， b)， 半 径 r把 圆 的 标 准 方 程 展 开 ， 并 整 理 ： x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2=0取 得 22,2rbaFEaD 0FED这 个 方 程 是 圆 的 方 程 反 过 来 给 出 一 个 形 如 x2 y2 Dx Ey F=0 的 方 程 ， 它 表 示 的 曲 线 一 定 是 圆 吗 ？把 x2 y2 Dx Ey F=0 配 方 得 (配 方 过 程4)2()( 22 FED由 学 生 去 完 成 )这 个 方 程 是 不 是 表 示 圆 ？(1)当 D2 E2 4F 0 时 ， 方 程 表 示 （

3、 1） 当 时 ， 表 示 以 （ - ， - ） 为042FE2DE圆 心 , 为 半 径 的 圆 ；（ 2） 当 时 ， 方 程 只 有 实 数 解 ， ， 即 只 表 示 一 个 点 （ - ， -042FE2Dxy2D） ;E（ 3） 当 时 ， 方 程 没 有 实 数 解 ， 因 而 它 不 表 示 任 何 图 形 新 疆学 案王 新 敞042D综 上 所 述 ， 方 程 表 示 的 曲 线 不 一 定 是 圆 新 疆学 案王 新 敞 2FEyxy只 有 当 时 ， 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 ， 我 们 把 形 如 的 表 示 圆042FED 02FEyDxy的 方 程 称

4、 为 圆 的 一 般 方 程 新 疆学 案王 新 敞 214xy我 们 来 看 圆 的 一 般 方 程 的 特 点 ： (启 发 学 生 归 纳 )(1) x2 和 y2 的 系 数 相 同 ， 不 等 于 0 没 有 xy 这 样 的 二 次 项 (2)圆 的 一 般 方 程 中 有 三 个 特 定 的 系 数 D、 E、 F， 因 之 只 要 求 出 这 三 个 系 数 ， 圆 的方 程 就 确 定 了 (3)、 与 圆 的 标 准 方 程 相 比 较 ， 它 是 一 种 特 殊 的 二 元 二 次 方 程 ， 代 数 特 征 明 显 ， 圆 的标 准 方 程 则 指 出 了 圆 心 坐

5、标 与 半 径 大 小 ， 几 何 特 征 较 明 显 。知 识 应 用 与 解 题 研 究 ：例 1： 判 断 下 列 二 元 二 次 方 程 是 否 表 示 圆 的 方 程 ？ 如 果 是 ， 请 求 出 圆 的 圆 心 及 半 径 。241290xyxy学 生 自 己 分 析 探 求 解 决 途 径 ： 、 用 配 方 法 将 其 变 形 化 成 圆 的 标 准 形 式 。 、 运 用 圆 的 一 般 方程 的 判 断 方 法 求 解 。 但 是 ， 要 注 意 对 于 来 说 ， 这 里 的2141290xyx.91,34DEF而 不 是 D=-,EF9例 2： 求 过 三 点 A（

6、0， 0） ， B（ 1， 1） ， C（ 4， 2） 的 圆 的 方 程 ， 并 求 这 个 圆 的 半 径 长 和 圆 心 坐 标 。分 析 ： 据 已 知 条 件 ， 很 难 直 接 写 出 圆 的 标 准 方 程 ， 而 圆 的 一 般 方 程 则 需 确 定 三 个 系 数 ， 而 条 件 恰 给 出三 点 坐 标 ， 不 妨 试 着 先 写 出 圆 的 一 般 方 程 新 疆学 案王 新 敞 解 ： 设 所 求 的 圆 的 方 程 为 ： 02FEyDxy 在 圆 上 ， 所 以 它 们 的 坐 标 是 方 程 的 解 .把 它 们 的 坐 标 代 入 上 面 的 方 程 ， 可(

7、0,)1AB， ） ,C(4)以 得 到 关 于 的 三 元 一 次 方 程 组 ，FED即0240FED解 此 方 程 组 ， 可 得 ： 新 疆学 案王 新 敞0,68FE 所 求 圆 的 方 程 为 ： 新 疆学 案王 新 敞2yx； 新 疆学 案王 新 敞54212FEDr 32,4FD得 圆 心 坐 标 为 （ 4， -3） .或 将 左 边 配 方 化 为 圆 的 标 准 方 程 ， ,从 而 求 出 圆 的 半0682yx 25)3()4(2yx径 ， 圆 心 坐 标 为 (4,-3) 新 疆学 案王 新 敞5r学 生 讨 论 交 流 ， 归 纳 得 出 使 用 待 定 系 数

8、法 的 一 般 步 骤 ： 、 根 据 提 议 ， 选 择 标 准 方 程 或 一 般 方 程 ； 、 根 据 条 件 列 出 关 于 a、 b、 r 或 D、 E、 F 的 方 程 组 ； 、 解 出 a、 b、 r 或 D、 E、 F， 代 入 标 准 方 程 或 一 般 方 程 。例 3、 已 知 线 段 AB 的 端 点 B 的 坐 标 是 （ 4， 3） ， 端 点 A 在 圆 上 运 动 ， 求 线 段 AB214xy的 中 点 M 的 轨 迹 方 程 。分 析 ： 如 图 点 A 运 动 引 起 点 M 运 动 ， 而 点 A 在 已 知 圆 上 运 动 ， 点 A 的 坐 标

9、满 足 方 程。 建 立 点 M 与 点 A 坐 标 之 间 的 关 系 ， 就 可 以 建 立 点 M 的 坐 标 满 足 的 条 件 ， 求 出 点214xyM 的 轨 迹 方 程 。 解 ： 设 点 M 的 坐 标 是 （ x,y） ,点 A 的 坐 标 是0,.B43Bxy由 于 点 的 坐 标 是 ， 且 是 线 段 的 重 点 ， 所 以 0043,22xy于 是 有上 运 动 ， 所 以 点 A 的 坐 标 满 足 方 程 ,即因 为 点 A在 圆 214 214xy20014xy200把 代 入 ， 得 224134,xy2231y整 理 ， 得 x-M所 以 ， 点 的 轨 迹 是 以 ， 为 圆 心 ， 半 径 长 为 1的 圆642-2-4-5 5MOBAyx课 堂 练 习 ： 课 堂 练 习 第 1、 2、 3 题30p小 结 ：1 对 方 程 的 讨 论 (什 么 时 候 可 以 表 示 圆 ) 新 疆学 案王 新 敞02FEyDx2 与 标 准 方 程 的 互 化 新 疆学 案王 新 敞 3 用 待 定 系 数 法 求 圆 的 方 程 新 疆学 案王 新 敞 4 求 与 圆 有 关 的 点 的 轨 迹 。课后作业： 习题 4.1 第 2、3、6 题130p