1、第四章：力学量用算符表示(2)证明以下诸式成立：(1) (证明 )根据坐标分角动量对易式为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的 x 分量。 以及看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。(2) （证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律同理可证明其他轮换式，由此得普通式取待证的公式等号左方的 x 分量，并用前一式加以变形：根据轮换对称性，证明待证式成立。(3)注意 与 x 没有共同坐标。(4) 注意没有共同坐标，因此可以对易即 ，故)()(22zyxzylplA zxzxzyxyxyxx lplpllplplpl )()()()( zzzyyyl ,zzzpllhi)()(
2、yzyzylpxxli(3) 为粒子角动量。 F 为另一力学量，证明：l)(,prhiFl (6)证明 是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：用于积分最后一式：前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。（7）证 (A 等是实数)是厄密算符（证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则运用这个关系于下面的计算： dPAdPFn)(Ann0dPAnn)(1nn)()1dPAnn)()(2nn)()(3dPAnn32nn)()(42dnn42 dPF)(满足厄密算符的定义。)(（
3、8）证明 （ 实数）是厄密算符。2nmnmpxAA（证明）方法同前题，假定已经证明 , 都是厄密算符，即：xdpd)(xx又按题意得证算符是一维的。 dxpdxpmnmn)(1)( xxmnmn 1)( dpx)(这证明 不是厄密算符，但满足mp xnmn)()(90 物 83-309 蒋同理可证明 dxpdxmnnm)()(将前二式相加除 2，得 dxpxpmnnn )2(因此 是厄密算符。2nmnx因此 也是。nmnpA13利用测不准系估计谐振子的基态能量解写下一维谐振子的经典的能量公式，或算符关系式：(1)222 xmpxHE取能量的平均值：221xmp在一维谐振子的情形，座标的平均值
4、，动量平均值 计算座标和动量00p的“不确定度” （即均方根偏差） 。px,按一般公式 222)()() xx（2）p因此能量平均值公式（1）可改用“不确定度”表示（3）22)()(1xmE但根据测不准关系式： 2p作为估计，可以直接取其下限，即认为xx将此结果代入式（3） ，并且计算 的极小值，就是所求的基态能量：E22)(8)()(xmxE212xm用此取括号内值为零的条件，得inE这时 mx214利用测不准关系估计类氢原子中电子的基态能量（设原子核带电 Ze） 。（解）本题原是三维问题，但作为估计，计算不需严格正确，方法同前题。（1）rZepE2取能量的平均值，由于中心对称性，可以认为动
5、量的平均值是零 ，0p（这个平均值本是个矢量，但它的分量都是零）因此 ，此外，根据2)(p计算（第六章九题）知道在氢原子情形， ，因而23ar23ar。此外 ， ，ar23ar1)(2)(r所以 ，因此为计算方便，可取1)(r1)(对能量关系式取平均值（3）)(2)(22rZemprZepE利用测不准关系式，可以计算（3）的极值，但 与 之间并无已知的对易关系pr式，此可作一维问题处理，认为 ，并用2rp（4）则（3）式成为： )(2)(2pZempE24242)(1meZ2)(2142meZepm当取 时，E 有极小值2Zep就是基态能量24min15求证力学量 与 的测不准关系：x)(xp
6、Fx2)(2（证明）根据（课本）测不准的普遍公式，若 为任两个力学算符，BA,为它们的偏差， 为不确定度，则：BA, BA,22,41)(或 （1）,BA本题中 因此，有关的测不准关系写成：)(xPF（2）,21)(2x在本章第（11）题的第二个公式已指出 xxpiF)(,代入（2） ，就得到待证的公式。17设粒子处于 状态，求 ，),(imY2xly（解） 是算符 的共同本征状态，在此态中，算符 ， 具有对i yl,2 xly称性，因而可假设 ，又已知x0yxl利用算符恒等式： 22zyll计算这个式子的各量在态 中的平均值，用标积符号：imY)(,),( 222 izyximiimllYl
7、)2(,imyximYl因 满足本征方程式 imY imixii Yl1(2 ),(),),)1( 22 iiimiml移项整理： 22 (,lYixix 2)(ll（补白）若需要严格论证 与 的相等关系，可设xylxlill yxli于是有 )(21x )(2liy求其符 的平方，用 来表示：ll)(42 lx)1 lllly再求它们在态 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是imY（1）)(4,2 imix Yllll （2）1iimy或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的：（3） dYlllYl imix )(42（4）llll iimy )(12按角动量理论： 1,( mi
8、i YlYl （5） ,)( iiml和正交归一化条件： （6）miimd,将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下： 0 2, YdYl iimi 常 数0 2, dYdYl miimi 常 数 )1)(lii 2limi注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，再代进积分式中，如： 1,)( mlimYllYl ,lmlYll ,1)()()( 将它们代入（3）就得到前一法（考虑 对称）得到相同的结果。yxl,)1)()1)(41 222 mlmllxl又从（4）式看出，由于 没有贡献， （3） （4）应有相同的结果。第二种l,方法运用角动量一般理论，这在第四
9、章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。18设体系处于 态，求201Yc（1） 的可能测值及其平均值。xl（2） 的可能测值及相应的几率。2（3） ，的可能测值。yxl,（解） （1）按照习惯的表示法 表示角量子数为 ，磁量子数 m 的，),(imYl的共同本征函数，题材给的状态是一种 的非本征态，在此态中去测),(2xl xl,2量 都只有不确定，下面假定 121c从 201),(Yc看出，当体系处在 态时， 的测值 ，处在 态时， 的测值为零。xl20Yxl在 态中的平均值xl21clz:0212c（2）又从波函数 看出， 也可以有两种值，体系处 态中时 测值为l
10、 1Y2l22)()(l当体系处在 态时 的测值为20Y2l6)1(相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方： ，21c的并态 中的平均值2l2216c(3)关于在 态中 ， 的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐xly标表示算符时， ， ， 有轮换对称性，由于在 态中 可有二种量子数2l所以将 轮换 的结果，知道 的可能测值只能是2,1lzlxxl， ，0， ，22同理， 的可能测值也是这此值yl， ，0， ，yl但如要计算 （或 ）得到某个测值的几率，则需要较多计算。xl27设粒子处在宽度为 的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵a表示。解一维无限深方势阱的归一化波函数
11、是：axnxnsi2)(这波函数是能量本征函数，任何力学量 的矩阵元是：FdxanxaxdFamn sii200此公式用于坐标矩阵：)1()1(4)(coscos1ini220nmamnnxdaxdx 此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当 m=n 时，得对角矩阵元：sin20axdmaxm动量矩阵元（非对角的） dxanminxipn coss2sni 00 )1()(2ma0cossin02 dxapm28用矩阵乘法，根据谐振子的能量表象中的 x 矩阵来计算 的矩阵。2x解本题要运用谐振子波函数（定态）的一个递推公式：)21(21nnnx在一式等号左右方同乘以 ，然后对 x 进行积分，得
12、到谐振子的 x 矩阵元：n1,1,22)( nmnmmnaax根据矩阵乘法法则，以及投影算符的性质 的矩阵元可以用 x 的矩2,1xp阵积的元表示，公式如下：pnxnxx2等是谐振子的能量本征矢。将代入，得：nm, 21212121)( 1,22 npnpp pmpmmn aaaax 1,1, 1,1,2)1( )()( npmnpm npnpnp这个结果还能够简约，为此可将两个 的乘积按照下述方式简约，例如： 2,2,1,1, nmnpmnpm2, ,1,2)( )()(nm nmpx30 设 ，写出在 x 表象中 及 的矩阵元。)(2xVpHxxp,H在一维座标表象中 x 具有值 的本征函
13、数是 ，按照算符矩阵元定 )(义，算符 的矩阵元是FdxxX)()()( 的矩阵元 x xF)(利用 函数的变换性质dxxff)()(令 或xf )(xX)(x的矩阵元xp dixpXx)()( 令 )if )(xipx的矩阵元H dVmx 2)()( 令 )()2)( xVmxf 得 )()(2xHx 31同上题，写出 表象中的 ， ， 的矩阵元。xpxpH解在 表象中，求其算符 的矩阵元用公式xFdxeFpixip/21)()()(pipi 在计算 的矩阵元时，可假设 或 的形式：H nxCV)( nxDV1)(dexmexpixpip /2/ )(21)( 其中， dxpipixpi /)(2/2/ 1)(2mp又 dxepiCdxex dxeCXVpinnipin pinxinxixpi /)(/)(/)( /)(212121 )()(piV)()()(2) 2 piVpmiHp dxxedexx pipiip /)(/ 2121)( ii ii /)(/)()(2121)( /)(/)( /pdxedxe xeiepii pixixpixip
