1、激光原理 第六版 天津理工大学理学院 1第四章 电磁场与物质的共振相互作用1 静止氖原子的 谱线中心波长为 632.8nm，设氖原子分别以 0.1c、0.4c、0.8c423PS的速度向着观察者运动，问其表观中心波长分别变为多少？解：根据公式 01vcc可得： 代入不同速度，分别得到表观中心波长为：0vc， ，nmC4.5721.00.41.3CnnmC9.2109.02设有一台迈克尔逊干涉仪，其光源波长为 。试用多普勒原理证明，当可动反射镜移动距离 L 时，接收屏上的干涉光强周期地变化 次。/L证明：如右图所示，光源 S 发出频率为 的光，从 M 上反射的光为 ，I它被 反射并且透过 M，由
2、图中的 I1所标记；透过 M 的光记为 ，它被I反射后又被 M 反射，此光记为 II。2由于 M 和 均为固定镜，所以 I 光的1频率不变，仍为 。将 看作光接收2器，由于它以速度 v 运动，故它感受到的光的频率为：因为 反射 光，所以它又相当于光发射器，其运动速度为 v 时，发出的光的频率为2MI这样， I 光的频率为 ， II 光的频率为 。在屏 P 上面， I 光和 II 光的广场可(12/)vc以分别表示为：S1M2III(1)c2)(1)c0cos)2(IIEtvtc激光原理 第六版 天津理工大学理学院 2因而光屏 P 上的总光场为光强正比于电场振幅的平方，所以 P 上面的光强为它是
3、 t 的周期函数，单位时间内的变化次数为由上式可得在 时间内屏上光强亮暗变化的次数为dt (2/)mdtcL因为 是镜 移动 长度所花费的时间，所以 也就是镜 移动 过程中屏上光t2MLt2MdL强的明暗变化的次数。对上式两边积分，即可以得到镜 移动 L 距离时，屏上面光强周期性变2化的次数 S式中 和 分别为镜 开始移动的时刻和停止移动的时刻； 和 为与 和 相对应的1t22M1L21t2镜的空间坐标，并且有 。2M1L得证。3.在激光出现以前， 低气压放电灯是很好的单色光源。如果忽略自然加宽和碰撞加宽，试估86Kr算在 77K 温度下它的 605.7nm 谱线的相干长度是多少，并与一个单色
4、性 的氦氖激光8/10器比较。解：这里讨论的是气体光源，对于气体光源，其多普勒加宽为 112270 02ln.6DKTTmcM式中，M 为原子（分子）量， 。对 来说，M =86，相干长度为27.6(kg)86Kr02cos(2)cos()II vvEttt021cos2vIt2vdLct221121()tLtmdcc激光原理 第六版 天津理工大学理学院 312711027.658 9.5cm.cDMLT对于单色性 的氦氖激光器，其相干长度为8/10263.28/ccL可见，氦氖激光器的相干长度要比 低气压放电灯的相干长度要大得多。86Kr4估算 气体在室温(300K)下的多普勒线宽 和碰撞线
5、宽系数 。并讨论在什么气2COD压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。(提示 分子间的碰撞截面 )2CO1820Qm解： 气体在室温(300K) 下的多普勒线宽 为2 1 182 2770 63.16.601.4 53HzDTM气体的碰撞线宽系数 估算,根据 气体的碰撞线宽与气压 p 的关系近似为2CO2CO可知,气体压强为 时的碰撞线宽约等于碰撞线宽系数.Lp1ap再由 和 , 其中1L6/()bnQkTm237.610(/)npTm可估算出其值约为 41KHz/Pa当 时，其气压为LD735.1029Pa4Dp所以，当气压在 附近时以多普勒加宽为主，当气压比 大很多时，以均匀加1290Pa
6、10宽为主。5氦氖激光器有下列三种跃迁，即 的 632.8nm， 的 和243S-P24S-.53m的 的跃迁。求 400K 时它们的多普勒线宽，分别用 、 、 为单位243S-P.mGHz-1c表示。由所得结果你能得到什么启示？解：多普勒线宽的表达式为激光原理 第六版 天津理工大学理学院 4(单位为 GHz)1270.16DcTM(单位为 )12 270 0.cm12701.16DT所以，400K 时，这三种跃迁的多普勒线宽分别为：的 632.8nm 跃迁：243S-P1.52GHzD603m215.7cD的 跃迁：24S-P1.53m0.83GHzD691m21.70cD的 跃迁：243S
7、-P.9m0.28GHzD519m31.0cD由此可以看出，当提及多种跃迁谱线的多普勒线宽时，应该指出是以什么作为单位的。6考虑某二能级工作物质， 能级自发辐射寿命为 ，无辐射跃迁寿命为 。假定在2Esnrt=0 时刻能级 上的原子数密度为 ，工作物质的体积为 V，自发辐射光的频率为 ，求：2E(0)n (1)自发辐射光功率随时间 t 的变化规律；(2)能级 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；2激光原理 第六版 天津理工大学理学院 5(3)自发辐射光子数与初始时刻能级 上的粒子数之比 ， 称为量子产额。2E2解：(1) 在现在的情况下有可以解得： 1()2()0snrtnte可以看出
8、，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为 ，这就2/sn是 t 时刻自发辐射的光子数密度，所以 t 时刻自发辐射的光功率为：(2) 在 时间内自发辐射的光子数为：td所以(3) 量子产额为： 无辐射跃迁导致能级 2 的寿命偏短，可以由定义一个新的寿命 ，这样7二能级的波数分别为 和 ，相应的量子数分别为 和 ，18340cm1267c21J上能级的自发辐射概率 ，测出自发辐射谱线形状如图 4.1 所示。求21As(1)中心频率发射截面 ；(2)中心频率吸收截面 。122()snrdnt1()22()(0)snrtsnhVPe2sndt1()22 200()()|1snrt
9、ss snr nrnt VVde 21(0)()snrnV1snrs激光原理 第六版 天津理工大学理学院 6(能级简并度和相应量子数的关系为 ，可设该工作物质的折射率21,2fJfJ为 1.)解。根据线型函数 的定义，图中的 与线型函数最大值 对应，利用0(,)gK0(,)og1()dc线型函数归一化条件 的意义对应图线下方面积为 1，0(,8.根据 4.3 节所列红宝石的跃迁几率数据，估算 等于多少时红宝石对 的光13W694.3nm是透明的。( 红宝石，激光上、下能级的统计权重 ，计算中可不计光的各种损耗。)24f解：该系统是一个三能级系统，速率方程组为其中（II）式可以改写为因为 与 相
10、比很大，这表示粒子在 能级上停留的时间很短，因此可以认为 能级32S1A3E3E上的粒子数 ，因此有 。这样做实际上是将三能级问题简化为二能级问题来求0n3/0dnt解。由(I)式可得：代入式(V)得：由于3132312 021232113() (I),() ldnWSAtfnvNnSnn210 (I)()(,) Vl llRdNft 2321221()() (V)dnSBnASt1332nWSA13221221()() ndBnStS21dtt激光原理 第六版 天津理工大学理学院 7所以红宝石对波长为 694.3nm 的光透明，意思是在能量密度为 的入射光的作用下，红宝石介质内虽然有受激吸收
11、和受激辐射，但是出射光的能量密度仍然是 。而要使入射光的能量密度等于出射光的能量密度，必须有 为常数，即 ，这样式(VI)变为：12()n21/0dntdt该式应该对于任意大小的 均成立，所以只有 ，即 时才可以。这122()0Bn12n样由上式可得： 1321312()(/)WAS由于 ，所以210S这个时候红宝石对 的光是透明的。694.3nm12短波长(真空紫外、软 X 射线)谱线的主要加宽机构是自然加宽。试证明峰值吸收截面。20/证明：峰值吸收截面为 2104HvA而 12H0v所以代入可以得到： 20/得证。13已知红宝石的密度为 ，其中 所占比例为 0.05%(重量比) ，在波长为
12、3.98g/cm23CrO1321212212()() (VI)nWdnSBnAStA 31 221()SASA53 3132132 70(/)0.().80s.1A 激光原理 第六版 天津理工大学理学院 8694.3nm 附近的峰值吸收系数为 0.4cm-1，试求其峰值吸收截面(T=300K)。解：设 的分子量为 M，阿伏加德罗常数用 NA 来表示，设单位体积内的 数为 ，23CrO 3rC0n考虑到 300K 的时候， ，则有210,nA1 23193.85%.6.01 cm2.58c所以峰值吸收截面为(峰值吸收系数以 来表示)m212 192102.4c58 .53cn14有光源一个，单
13、色仪一个，光电倍增管及电源一套，微安表一块，圆柱形端面抛光红宝石样品一块，红宝石中铬粒子数密度 ，694.3nm 荧光线宽193./mn。可用实验测出红宝石的吸收截面、发射截面及荧光寿命，试画出实验方块13.0HzF图，写出实验程序及计算公式。解：实验方框图如下：光源 单色仪 红宝石棒 光电倍增管 微安表电源实验程序以及计算公式如下：(1) 测量小信号中心频率增益系数：移开红宝石棒，微安表读数为 ，放入红宝石棒，微1A安表的读数为 ，由此得到小信号增益系数为2A021lnAg减小入射光光强，使小信号增益系数最大。然后维持在此光强，微调单色仪鼓轮以改变入射波长( 频率) ，使小信号增益系数最大，
14、此最大增益系数即为小信号中心频率增益系数 。0()g(2) 计算：由于 ，所以2120,nf发射截面和吸收截面为：激光原理 第六版 天津理工大学理学院 91212lnA荧光寿命为： 22022110 144ln(/)FFvAA19已知某均匀加宽二能级( )饱和吸收染料在其吸收谱线中心频率 =694.3nm 处f 0的吸收截面 ，其上能级寿命 ，试求此染料的饱和光强 。-1628.0cm122ssI解：若入射光频率为 ，光强为 I，则(1)22210dnnIth由，1221可以得到 2()n代入(1)式可得 01sI式中 ，所以有：0n348-20161926-21.0W/cm86.0 W/cm
15、shI20若红宝石被光泵激励，求激光能级跃迁的饱和光强。解：首先列出稳态时的三能级速率方程如下：(1)313132()0dnASt(2)220132(,)Nnnt(3)123(4)1由于 远小于 ，由(1) 式可得：31A32S激光原理 第六版 天津理工大学理学院 10132nWS所以，由(1)(4)式可以得到： 21021133(,)() IdnAthWAS式中， 为波长为 694.3nm 的光强。由上式可得：I 021013220(,) ()()HSnnIhASWI其中 013213()nWAS01321()ShI212A21推导图 4.3 所示能级系统 20 跃迁的中心频率大信号吸收系数
16、及饱和光强 。假设该sI工作物质具有均匀加宽线型，吸收截面 已知， ， 。10KTh21图 4.2解：设入射光频率为 跃迁的中心频率 ，光强为 I，可列出速率方程如下：20022nf1nf0nf202110激光原理 第六版 天津理工大学理学院 11220211203 (1) (3)dnnthn式中 02 (4)f2021在稳态的情况下，应该有 ，由(2)式可以得到：21dnt102n因为 远小于 ，KT 远小于 ，所以 ，这样根据式(3) 、(4)可得：102110h1(5)20()gnn将式(5)代入式(1) 可得： 1SI其中 0220ShgI中心频率大信号吸收系数为 1mSI其中 。02
17、mn22设有两束频率分别为 和 ，光强为 及 的强光沿相同方向图 4.3 001I2 ()a或沿相反方向图 4.3 通过中心频率为 的非均匀加宽增益介质， 。试分别画出两种()b 12I情况下反转粒子数按速度分布曲线，并标出烧孔位置。激光原理 第六版 天津理工大学理学院 12图 4.3解：若有一频率为 的光沿 z 向传播，粒子的中心频率表现为 。当 0(1/)zvc时粒子产生受激辐射，所以产生受激辐射的粒子具有速度 ，同样的可0 0zvc以得到，如果该光沿-z 方向传播，这个速度应该为 。根据这个分析就可以得到00()/zvc本题目中所述的两种情况下反转集居数密度按速度 的分布曲线，分别见下图
18、的(a)和(b) 。z图中(1)孔的深度为 ，(2)孔的深度为 ，002(/)()sncI001(/)()sncI(3)孔德深度为 。0011(/)sI(a)10),(I20),(I)(01I )(02I)(a)(b激光原理 第六版 天津理工大学理学院 13(b)补充用波长在 589nm 附近的可调染料激光照射一含有 13.3Pa 钠及 氦气的混52.610Pa合室，气室温度为 ，气室长度 ，氦气与钠蒸气原子间的碰撞截面 ，o23C=10cml -42=cmQ钠蒸气的两个能级间的有关参量如下：1 能级( )：21/S1,2Ef2 能级( )：3/P26973c,4f11.0sA(1)求 12
19、跃迁的有关线宽(碰撞加宽、自然加宽、多普勒加宽)。(2)如果激光波长调到钠原子 12 跃迁中心波长，求小信号吸收系数。(3)在上述情况下，改变激光功率，试问激光光强 I 多大时气室的透过率 t = 0.5？解：(1) 一个 Na 原子与氦原子间的平均碰撞时间 由下式决定：L( I )181()HeLNaHeKTQm式中 表示单位体积内的氦原子数， 和 分别为氦原子和钠原子的质量。若HeN和 分别为氦气和钠蒸气的分压强， 和 分别为氦原子和钠原子的原子量，则有ePa HeMNa激光原理 第六版 天津理工大学理学院 142424327309.65109.651m.65109HeHePNT77222
20、78Kg.4aNaeHemM将上面的数值代入到( I ) 式，可得 10.8sL则碰撞线宽为 10.4Hz2L自然线宽为 721NA多普勒线宽为 12707 109.166 . 73138HzDNaTM(2) 由以上的计算结果可以知道碰撞线宽远大于多普勒线宽，也远大于自然线宽，所以钠蒸气谱线以均匀加宽为主。均匀加宽 。这样，可以得到在中心频率出的小信号L吸收系数为：( II )220 021111()44mHHfAfAnn其中 02415319.653.6cmNaPT将有关的参量代入( II )式，可以得到 7152102324693 80cmm(3) 当 t=0.5 的时候，气室吸收系数为 210lnl.5() 0cm1Ht由激光原理 第六版 天津理工大学理学院 150()1mHSI可得 0()mSHI根据习题 4.19 可知 0022211341015723246.697.6.30 W/cm.587.W/cmS mhhnffI所以 32522.101.W/c6.910/c69I即当激光光强为 的时候，气室的透过率 t=0.5。5./c
