1、第 7 节 函数的连续性第 8 节 连续函数的运算和与初等函数的连续性第 9 节 闭区间上连续函数的性质教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类教学内容：一数的连续性1增量（用图说明）对 ，当自变量从 变到 ，称 叫自变量 的增量，而xfy0x0x叫函数 的增量。0fy注：这里所讲的增量是一种广义的概念，可能为负数。2函数 在 点连续的定义 )(xfy0定义：设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋于零时，对 0x应的函数的增量 也趋于
2、零，那么就称函数 在点 连续。 （用图00xfxfyfy说明）分析：设 ,那么 意味着 ，同时 也表明x000，由上述定义，可转换为 ，于是，连续的定义可改写如)(0ff )()xff下。等价定义：设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果函数 当 时的极限存在，xfy0 f0x且等于它在点 处的函数值 ，即 ，那么就称函数 在点 连续。0 00limxfxfy0总结：连续的三个条件（1）在 点有定义；（2）在 点极限存在；（3）0 )(lim0xx由于连续是用极限来说明的，而极限又分为左极限和右极限，故连续也分为左连续和右连续，下面给出左连续及右连续的概念。如果 存在且等于 ，即 ，就说函数 在
3、点lim00xfx 0xf00ffxf左连续。如果 存在且等于 ，即 ，就说函数0 0x x在点 右连续。xf0在 点连续 （常用于判定分段函数在分段点的连续)()0(00xffxf性）例 1 讨论函数 在点 处的连续性。1)(2xf2连续函数在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。所有的基本初等函数在其定义区间内都是连续的。二函数的间断点设函数 在点 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 有下列三种情形之一：xf0 xf（1）在 没有
4、定义；（2）虽在 有定义，但 不存在；0xxf0lim（3）虽在 有定义，且 存在，但 ；x0 00lixfx则函数 在点 为不连续，而点 称为函数 的不连续点或间断点。xf0 f下面我们来观察下述几个函数的曲线在 点的情况，给出间断点的分类：1在 连续。 在 间断， 极限为 2。1x1xyx2 x yx12 12x 1xy， ， x12 1xy， ， x12y在 间断x1 1x。 ， 1limxx 在 间断， 极限为 2。 在 间断，1x1x左极限为 2，右极限为 1。在 间断， 极限不存在。0xx像这样在 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的称作第一类间0断的可补间断，此
5、时只要令 ，则在 函数就变成连续的了；被称作第一类间断中的跳跃21y1x间断。被称作第二类间断，其中也称作无穷间断，而称作震荡间断。就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果 是函数 的间断点，但左极限 及0xf 0xf右极限 都存在，那么 称为函数 的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，0xf0xxf称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。例 2 试确定 的间断点类型。 （ 是可去间断点， 是无穷间断点）231)(2xf 1x2x三连续函数运算由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即
6、可得出下列定理。定理 1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。定理 2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。定理 3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。定理 4 如果函数 在区间 单调增加（或单调减少）且连续那末它的反函数 x= (y)也在xfyxI 对应区间 上单调增加（或单调减少）且连续。 （反函数的连续性）yI，定理 5 设函数 当 时的极限存在且等于 ，即 ，而函数u0aax0lim在点 连续，那么复合函数 当 时的极限也存在且等于 ，即ufyaxfy0f。 （在连续的条件下，极限符号和函数符号可以交换位置）fxx0li
7、m xysin定理 6 设函数 在点 连续，且 ，而函数 在点 连续，xu00uxufy0那么复合函数 在点 也是连续的。 （复合函数的连续性）fy由于初等函数是基本初等函数经过有限次的四则与复合所得，故一切初等函数在其定义域内都是连续的。例 3 1)(limn)1l(i)1ln(im000 xxxx四闭区间上连续函数性质在闭区间上的连续函数具有下述良好性质定理 1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。定理 2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。定理 3（介值定理） 设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值xfba，及
8、，那么，对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点AafBbfABCba，使得 。baC推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值。Mm定理 4（零点定理） 设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即xfba， afb）,那么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点0bfaba， f使 。 （常用来证明方程有解）f定理 5（根的唯一性定理）若函数 在闭区间 上单调且连续，并且 ，则)(xf,a0bfa在开区间 内有且仅有一个零点。)(xf),(ba例 4 证明： 在区间 内分别恰有一个根。0323x)4,2(0),(例 5 证明： 至少有一个正根。1例 6 已知 求 ，使 在定义域中连续。 （说明常见的变化）,)(axef.0)(xf小结：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类及闭区间上连续函数的性质
