1、在 y=secx 中 ， 以 x 的 任 一 使 secx 有 意 义 的 值 与 它 对 应 的 y 值 作 为 (x， y) 在 直 角 坐标 系 中 作 出 的 图 形 叫 正 割 函 数 的 图 像 ， 也 叫 正 割 曲 线 y=secx 的 性 质 ： (1)定 义 域 ,x|x/2+k,k Z (2)值 域 , secx 1 即 secx1 或 secx 1; (3)y=secx 是 偶 函 数 ， 即 sec( x)=secx 图 像 对 称 于 y 轴 ; 粗 线 是 正 割 函 数 ， 细 线 是 余 割 函 数(4)y=secx 是 周 期 函 数 周 期 为 2k(k
2、Z， 且 k0)， 最 小 正 周 期 T=2 （ 5） 正 割 与 余 弦 互 为 倒 数 ； 余 割 与 正 弦 互 为 倒 数 ； （ 6） 正 割 函 数 无 限 趋 于 直 线 x=/2+K； (7) 正 割 函 数 是 无 界 函 数 ； （8）正割函数的导数：（secx）=secxtarx；（9）正割函数的不定积分：secxdx=ln secx+tanx +C函 数 y=tanx,x (-/2,/2)的 反 函 数 ， 记 作 y=arctanx， 叫 做 反 正 切 函 数 。 反 正 切 函数 是 反 三 角 函 数 的 一 种 。 同 样 ， 由 于 正 切 函 数 y=t
3、anx 在 定 义 域 上 不 具 有 一 一 对 应 的 关 系 ， 所 以 不 存 在 反 函数 。 注 意 这 里 选 取 是 正 切 函 数 的 一 个 单 调 区 间 。 1， 定 义 域 ： R 值 域 ： (-/2,/2) 单 调 性 ： 增 函 数 奇 偶 性 ： 奇 函 数 周 期 性 ： 不 是 周 期 函 数 2， arctan(x+y) 0, arctanx= /2-arctan1/x, arccotx 类 似 若 (arctanx+arctany) (- /2, /2), 则 arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)百科名片对数函数一般地，如果
4、 a（a 大于 0，且 a 不等于 1）的 b 次幂等于 N，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 log aN=b,读作以 a 为底 N 的对数，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。一般地，函数 y=log(a)X,(其中 a 是常数，a0 且 a 不等于1）叫做对数函数 它实际上就是指数函数的反函数，可表示为 x=ay。因此指数函数里对于 a 的规定，同样适用于对数函数。目录展开真 数 式 子 没 根 号 那 就 只 要 求 真 数 式 大 于 零 ,如 果 有 根 号 ,要 求 真 数 大 于 零 还 要 保 证根 号 里 的 式 子 大 于 等 于 零 ， 底 数 则 要
5、大 于 0 且 不 为 1 对 数 函 数 的 底 数 为 什 么 要 大 于 0 且 不 为 1？ 【 在 一 个 普 通 对 数 式 里 a0 且 a1 时 ,M0,N0， 那 么 ： （ 1） log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （ 2） log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （ 3） log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （ n R） （ 4） 换 底 公 式 ： log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0 且 b1） (5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 证 明 ： 设 a=nx 则 a(log(
6、b)n)=（ nx） log(b)n=n（ xlog(b)n） =nlog(b)（ nx）=n(log(b)a) (6)对 数 恒 等 式 ： alog（ a)N=N; log（ a） ab=b （ 7） 由 幂 的 对 数 的 运 算 性 质 可 得 (推 导 公 式 ) 1.log(a)M(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(an)Mn=log(a)M , log(an)Mm=(m/n)log(a)M 4
7、.log(以 n 次 根 号 下 的 a 为 底 )(以 n 次 根 号 下 的 M 为 真 数 )=log(a)M , log(以 n 次 根 号 下 的 a 为 底 )(以 m 次 根 号 下 的 M 为 真 数 )=(n/m)log(a)M 5.log(a)blog(b)clog(c)a=1 对数与指数之间的关系当 a0 且 a1 时 ,ax=N x= (a)N 右 图 给 出 对 于 不 同 大 小 a 所 表 示 的 函 数 图 形 ： 可 以 看 到 对 数 函 数 的 图 形 只 不 过 的 指 数 函 数 的 图 形 的 关 于 直 线 y=x 的 对 称 图 形 ，因 为 它
8、 们 互 为 反 函 数 。 （ 1） 对 数 函 数 的 定 义 域 为 大 于 0 的 实 数 集 合 。 （ 2） 对 数 函 数 的 值 域 为 全 部 实 数 集 合 。 （ 3） 函 数 图 像 总 是 通 过 （ 1， 0） 点 。 （ 4） a 大 于 1 时 ， 为 单 调 增 函 数 ， 并 且 上 凸 ； a 大 于 0 小 于 1 时 ， 函 数 为 单 调减 函 数 ， 并 且 下 凹 。 （ 5） 显 然 对 数 函 数 无 界 。 对 数 函 数 的 常 用 简 略 表 达 方 式 ： （ 1） log(a)(b)=log(a)(b) （ 2） lg(b)=log
9、(10)(b) （ 3） ln(b)=log(e)(b) 对 数 函 数 的 运 算 性 质 ： 如 果 a 0， 且 a 不 等 于 1,M0,N0， 那 么 ： （ 1） log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （ 2） log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （ 3） log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （ n 属 于 R） （ 4） log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （ n 属 于 R） 对 数 与 指 数 之 间 的 关 系 当 a 大 于 0,a 不 等 于 1 时 ,a 的 X 次 方 =N 等 价 于
10、 log(a)N=x log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （ n 属 于 R） 换 底 公 式 （ 很 重 要 ） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自 然 对 数 以 e 为 底 e 为 无 限 不 循 环 小 数 (约 为 2.718281828454590) lg 常 用 对 数 以 10 为 底 （ 1） 常 用 对 数 :lg(b)=log(10)(b) （ 2） 自 然 对 数 :ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828454590. 通 常 情 况 下 只 取 e=2.71828
11、 对 数 函 数 的 定 义 对 数 函 数 的 一 般 形 式 为 y= (a)x， 它 实 际 上 就 是 指 数 函 数 的 反 函 数 (图 象 关 于 直线 y=x 对 称 的 两 函 数 互 为 反 函 数 ） ， 可 表 示 为 x=ay。 因 此 指 数 函 数 里 对 于 a 的 规 定（ a0 且 a1） ， 同 样 适 用 于 对 数 函 数 。 右 图 给 出 对 于 不 同 大 小 a 所 表 示 的 函 数 图 形 ： 可 以 看 到 对 数 函 数 的 图 形 只 不 过 的 指 数 函 数 的 图 形 的 关 于 直 线 y=x 的 对 称 图 形 ，因 为 它
12、 们 互 为 反 函 数 。 定 义 域 求 解 ： 对 数 函 数 y=loga x 的 定 义 域 是 x x0 ， 但 如 果 遇 到 对 数 型 复合 函 数 的 定 义 域 的 求 解 ， 除 了 要 注 意 真 数 大 于 0 以 外 ， 还 应 注 意 底 数 大 于 0 且 不 等于 1， 如 求 函 数 y=logx（ 2x-1） 的 定 义 域 ， 需 满 足 x0 且 x1 。 2x-10 ， x1/2 且 x1， 即 其 定 义 域 为 x x1/2 且 x1 值 域 ： 实 数 集R 定 点 ： 函 数 图 像 恒 过 定 点 （ 1， 0） 。 单 调 性 ： a1
13、 时 ， 在 定 义 域 上 为 单 调 增 函 数 ， 并 且 上 凸 ； 00 且1) (xR). 它是初等函数中的一种。它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数。指 数 函 数 是 数 学 中 重 要 的 函 数 。 应 用 到 值 e 上 的 这 个 函 数 写 为 exp(x)。 还 可 以等 价 的 写 为 e， 这 里 的 e 是 数 学 常 数 ， 就 是 自 然 对 数 的 底 数 ， 近 似 等 于 2.718281828， 还 称 为 欧 拉 数 。 指 数 函 数 对 于 x 的 负 数 值 非 常 平 坦 ， 对 于 x 的 正 数 值 迅 速 攀 升 ，
14、 在 x 等 于 0 的 时 候 等 于 1。 在 x 处 的 切 线 的 斜 率 等 于 此 处 y 的 值 乘 上 lna。 即 由 导 数 知 识 ：d（ ax） /dx=ax*ln(a)。 作 为 实 数 变 量 x 的 函 数 ， y=ex 的 图 像 总 是 正 的 (在 x 轴 之 上 )并 递 增 (从 左 向 右看 )。 它 永 不 触 及 x 轴 ， 尽 管 它 可 以 任 意 程 度 的 靠 近 它 (所 以 ， x 轴 是 这 个 图 像 的 水平 渐 近 线 。 它 的 反 函 数 是 自 然 对 数 ln(x)， 它 定 义 在 所 有 正 数 x 上 。 有 时
15、， 尤 其 是 在 科 学 中 ， 术 语 指 数 函 数 更 一 般 性 的 用 于 形 如 kax 的 指 数 函 数函 数 ， 这 里 的 a 叫 做 “底 数 ”， 是 不 等 于 1 的 任 何 正 实 数 。 本 文 最 初 集 中 于 带 有 底 数为 欧 拉 数 e 的 指 数 函 数 。 指 数 函 数 的 一 般 形 式 为 y=ax(a0 且 1) (x R)， 从 上 面 我 们 关 于 幂 函 数 的 讨 论就 可 以 知 道 ， 要 想 使 得 x 能 够 取 整 个 实 数 集 合 为 定 义 域 ， 则 只 有 使 得 如 图 所 示 为 a 的 不 同 大 小
16、 影 响 函 数 图 形 的 情 况 。 在 函 数 y=ax 中 可 以 看 到 ： （ 1） 指 数 函 数 的 定 义 域 为 所 有 实 数 的 集 合 ， 这 里 的 前 提 是 a 大 于 0 且 不 等 于1， 对 于 a 不 大 于 0 的 情 况 ， 则 必 然 使 得 函 数 的 定 义 域 不 存 在 连 续 的 区 间 ， 因 此 我 们 不予 考 虑 ， 同 时 a 等 于 函 数 无 意 义 一 般 也 不 考 虑 。 （ 2） 指 数 函 数 的 值 域 为 大 于 0 的 实 数 集 合 。 （ 3） 函 数 图 形 都 是 下 凸 的 。 （ 4） a 大 于
17、 1， 则 指 数 函 数 单 调 递 增 ； a 小 于 1 大 于 0， 则 为 单 调 递 减 的 。 （ 5） 可 以 看 到 一 个 显 然 的 规 律 ， 就 是 当 a 从 0 趋 向 于 无 穷 大 的 过 指 数 函 数程 中 （ 当 然 不 能 等 于 0） ， 函 数 的 曲 线 从 分 别 接 近 于 Y 轴 与 X 轴 的 正 半 轴 的 单 调 递 减函 数 的 位 置 ， 趋 向 分 别 接 近 于 Y 轴 的 正 半 轴 与 X 轴 的 负 半 轴 的 单 调 递 增 函 数 的 位 置 。其 中 水 平 直 线 y=1 是 从 递 减 到 递 增 的 一 个
18、过 渡 位 置 。 （ 6） 函 数 总 是 在 某 一 个 方 向 上 无 限 趋 向 于 X 轴 ,并 且 永 不 相 交 。 （ 7） 函 数 总 是 通 过 （ 0， 1） 这 点 ,(若 y=ax+b,则 函 数 定 过 点 (0,1+b) （ 8） 显 然 指 数 函 数 无 界 。 （ 9） 指 数 函 数 既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 。 （ 10） 当 两 个 指 数 函 数 中 的 a 互 为 倒 数 时 ， 两 个 函 数 关 于 y 轴 对 称 ， 但 这 两 个 函数 都 不 具 有 奇 偶 性 。 （ 11） 当 指 数 函 数 中 的 自 变 量
19、 与 因 变 量 一 一 映 射 时 ， 指 数 函 数 具 有 反 函 数 。 对 于 任 何 一 个 有 意 义 的 指 数 函 数 ： 在 指 数 上 加 上 一 个 数 ， 图 像 会 向 左 平 移 ； 减 去 一 个 数 ， 图 像 会 向 右 平 移 。 在 f(X)后 加 上 一 个 数 ， 图 像 会 向 上 平 移 ； 减 去 一 个 数 ， 图 像 会 向 下 平 移 。 即 “上 加 下 减 ， 左 加 右 减 ” 指 数 函 数（ 1） 由 指 数 函 数 y=ax 与 直 线 x=1 相 交 于 点 （ 1， a)可 知 ： 在 y 轴 右 侧 ， 图 像 从 下
20、到上 相 应 的 底 数 由 小 变 大 。 （ 2） 由 指 数 函 数 y=ax 与 直 线 x=-1 相 交 于 点 （ -1， 1/a） 可 知 ： 在 y 轴 左 侧 ，图 像 从 下 到 上 相 应 的 底 数 由 大 变 小 。 （ 3） 指 数 函 数 的 底 数 与 图 像 间 的 关 系 可 概 括 的 记 忆 为 ： 在 y 轴 右 边 “底 大 图 高 ”；在 y 轴 左 边 “底 大 图 低 ”。 （ 如 右 图 ） 。 比 较 大 小 常 用 方 法 ： （ 1） 比 差 （ 商 ） 法 ： （ 2） 函 数 单 调 性 法 ； （ 3） 中 间 值 法 ：要 比
21、较 A 与 B 的 大 小 ， 先 找 一 个 中 间 值 C， 再 比 较 A 与 C、 B 与 C 的 大 小 ， 由 不 等式 的 传 递 性 得 到 A 与 B 之 间 的 大 小 。 比 较 两 个 幂 的 大 小 时 ， 除 了 上 述 一 般 方 法 之 外 ， 还 应 注 意 ： （ 1） 对 于 底 数 相 同 ， 指 数 不 同 的 两 个 幂 的 大 小 比 较 ， 可 以 利 用 指 数 函 数 的 单 调性 来 判 断 。 例 如 ： y1=34,y2=35， 因 为 3 大 于 1 所 以 函 数 单 调 递 增 （ 即 x 的 值 越 大 ， 对 应的 y 值 越
22、 大 ） ， 因 为 5 大 于 4， 所 以 y2 大 于 y1. （ 2） 对 于 底 数 不 同 ， 指 数 相 同 的 两 个 幂 的 大 小 比 较 ， 可 指 数 函 数以 利 用 指 数 函 数 图 像 的 变 化 规 律 来 判 断 。 例 如 ： y1=1/24,y2=34,因 为 1/2 小 于 1 所 以 函 数 图 像 在 定 义 域 上 单 调 递 减 ； 3大 于 1， 所 以 函 数 图 像 在 定 义 域 上 单 调 递 增 ， 在 x=0 是 两 个 函 数 图 像 都 过 （ 0， 1） 然后 随 着 x 的 增 大 ， y1 图 像 下 降 ， 而 y2
23、上 升 ， 在 x 等 于 4 时 ， y2 大 于 y1. （ 3） 对 于 底 数 不 同 ， 且 指 数 也 不 同 的 幂 的 大 小 比 较 ， 则 可 以 利 用 中 间 值 来 比 较 。如 ： 对 于 三 个 （ 或 三 个 以 上 ） 的 数 的 大 小 比 较 ， 则 应 该 先 根 据 值 的 大 小 （ 特 别 是与 0、 1 的 大 小 ） 进 行 分 组 ， 再 比 较 各 组 数 的 大 小 即 可 。 在 比 较 两 个 幂 的 大 小 时 ， 如 果 能 充 分 利 用 “1”来 搭 “桥 ”（ 即 比 较 它 们 与 “1”的大 小 ） ， 就 可 以 快
24、速 的 得 到 答 案 。 那 么 如 何 判 断 一 个 幂 与 “1”大 小 呢 ？ 由 指 数 函 数 的 图像 和 性 质 可 知 “同 大 异 小 ”。 即 当 底 数 a 和 1 与 指 数 x 与 0 之 间 的 不 等 号 同 向 （ 例 如 ： a 1 且 x 0， 或 0 a 1 且 x 0） 时 ， ax 大 于 1， 异 向 时 ax 小 于 1. 3 例 ： 下 列 函 数 在 R 上 是 增 函 数 还 是 减 函 数 ？ 说 明 理 由 . y=4x 因 为 41， 所 以 y=4x 在 R 上 是 增 函 数 ； y=(1/4)x 因 为 00 且a1） （ 4） a1 时 ， 曲 线 由 左 向 右 逐 渐 上 升 即 a1 时 ， 函 数 在 （ -， +） 上 是 增 函 数 ；0a1 是 ， 曲 线 逐 渐 下 降 即 0a1 时 ， 函 数 在 （ -， +） 上 是 减 函 数 .
