1、实变函数课程教学大纲课程类型：学科专业必修课总 学 时： 72 学 分：4适用对象：数学与应用数学专业本科生先修课程：数学分析，复变函数使用教材：实变函数与泛函分析基础 ，程其襄、张奠宙等编， 北京：高等教育出版社(第二版) ，2003参考书1、周民强编，实变函数论，北京：北京大学出版社，20012、江泽坚、吴智泉，实变函数论，北京：人民教育出版社，1961.3、郑维行、王声望编，实变函数与泛函分析概要（上册） ，北京：高等教育出版社，1980课程性质、目的和任务实变函数论是大学数学系的重要专业基础课之一，它是数学分析的延续和发展，它主要应用点集分析的方法建立 n 维欧氏空间中点集的 Lebe
2、sgue 测度理论和点集上定义的 Lebesgue 积分理论。通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，系统掌握 Lebesgue 测度和 Lebesgue 积分理论，着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力， 为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。二、教学基本要求通过这门课程的教学应使学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论及其推导过程。 系统掌握Lebesgue 测度和 Lebesgue 积分理论，使学生能够以更高的视角看积分与微分，了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力, 培养抽象的思维能力，为进一步钻研现代数学数学理论打下基础。三、教学内容及要
3、求第一章 集合1主要内容集合及其运算。集合的对等及其基数。可数集与不可数集。2基本要求理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。理解集列的收敛、单调集列的概念。掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。理解伯恩斯坦定理，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为 C 的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。第二章 点集1主要内容度量空间、n 维欧氏空间。聚点、内点、界点。开集、闭集、完备集。直线上的开集、闭集及完备集的构造。2基本要求理解 n 维欧氏空间中
4、极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。理解直线上开集、闭集、完备集的构造。理解康托集的构造、特性。第三章 测度论1主要内容外测度及其性质。Lebesgne 可测集及其性质。可测集类。2基本要求理解测度的意义。理解外测度的意义，掌握其有关性质。理解可测集的定义，掌握可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。第四章 可测函数1 主要内容可测函数及其性质。叶果洛夫定理。可测函数的构造。依测度收敛。2基本要求掌握可测函数的定义及等价定义。掌握可测函数的有关性质。理解简
5、单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与 ae 收敛的联系与区别。（五）积分论1主要内容黎曼积分的简单回顾。勒贝格积分的建立和性质。积分的极限定理。乘积空间的测度，富比尼定理。有界变差函数。不定积分与绝对连续函数。2基本要求了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解 R 积分与 L 积分的关系。理解 L 积分的性质，掌握 L 积分的绝对可积性和绝对连续性。掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。了解富比尼定理四、学时分配章节 内 容 学时1 集合（含习题课，下同） 62 点集 103 测度论 124 可测函数 125 积分论 14五、考核方式：闭卷考试。教研室主任： （签名）分管系主任： （签名）
