第三章函数的连续性.doc

1、第三章 函数的连续性第一章讨论了数学分析的研究对象函数，第二章又给出了研究函数的方法极限.这就为我们用分析的方法研究函数奠定了基础，而数学分析应用极限的方法常用来研究一类非常重要的函数连续函数.这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数大多是连续函数.如气温的连续上升，液体的连续流动等等;另一方面，我们常会直接或间接地借助于连续函数去讨论一些不连续函数.鉴于此，学习函数的连续性极其有必要.第一节 连续性的概念一、函数在一点处的连续性函数连续与否的概念源于对函数图象的直观分析.例如函数 的图象是一条抛2()fx物线，给我们的直观视觉是图象上各点相互“连结”而不出现间断，即它是连续的.具体来说，函数

2、 在某点 处是否具有 “连续”性，即指当 在 点附近作微小变化时，()fxaa是否也在 附近作微小的变化，用极限的观点来分析，就是看当变量 时，f xa因变量 是否也会趋于 .y()f定义 3-1 设函数 在点 的某个邻域中有定义，且xa（1）lim()xf则称函数 在点 连续，或称 是函数 的连续点 .()fx()fx显然， “函数 在点 连续 ”不仅要求 在函数 的定义域内，还要有（1）式faa()fx极限.因此，函数 在点 连续比函数 在点 存在极限有更高的要求 .()x()fx为引入函数连续性的另一种表述，记 ，称为自变量 在 的改变量.相应的xa函数 在 的改变量记为fa.yfxfa

3、fxf注 改变量可以是正数，也可以是零或负数.于是，函数 在 连续等价于下列极限fxa.0limxy由于函数的连续性是用极限来定义的，因而也可直接用极限的“ ”来描述：函数 在点 连续 ， ， ，有 .()fxa0xa()fxa此外， （1）式还可写作.limlixaxaff由此可见，在连续意义下，极限运算 与对应法则 的可交换性.f例 1 函数 在点 连续.因为()23f2.lili()7()xxf f例 2 函数 在点 连续.因为1sn0()f0x.00lim()lis()xxf f二、区间上的连续函数由上述定义可以看出， “连续”反映的是函数 在点 邻域内的变化，因而只是一()fxa个局

4、部性的概念.但它也提示我们，可以通过逐点考察的方法，了解函数 在某个区间()fx上是否连续.开区间 的情形比较简单，下面先给出 在 上连续的定义:(,)ab()fx,ab定义 3-2 若函数 在区间 的每一点都连续，则称函数 在开区间上连()fx(,)ab()fx续.例 3 证明 在 上连续.()sinf(,)证明 设 .已知 ，有不等式 与,a,acos12xa成立，所以sin2x.sin2cosin2xaaxa对任意给定的 ，取 ，当 时,成立0sinxa即.limsnixa也就是说 在 连续，从而 在 上连续.()sinfx()fx(,)为了讨论函数 在闭区间上的连续性，需要单侧连续的概

5、念.f定义 3-3 设函数 在 的左（右）邻域内有定义，若()xalim()xflim()xaf则称函数 在点 右（左）连续 .()f根据第二章定理 2-9，有在 连续 在 既右连续又左连续.()fxa()fxa或 .limxli()lim()xaxaff定义 3-4 若函数 在 连续，且在左端点 右连续，在右端点 左连续，则()f,bb称函数 在闭区间 上连续.()f,a同样有 在区间 及 连续的概念.x,例 4 证明 在 上连续.()1)fx0证明 设 ，令 ，则当 时 ，有0,x0min,1x0x(,1)x00 0(1)()()(1)x001()x所以， ，取 ，则当 时，恒有0min,

6、0.0 001(1)()()xxx即 在 上连续.()fx,现考虑区间的端点.对于任意给定的 ，取 ，则当 时，20x.()0fxx而当 时,10x.()1fxx这说明 在 右连续，在 左连续.()fx由此得出 在 上连续.()x0,三、间断点及其分类若函数 在点 不满足连续性的定义，则称函数 在 间断（或不连续） ， 是()fa()fxaa函数 的间断点（或不连续点）.x对间断点进行划分是研究不连续函数的基本内容.而当 是函数 的间断点,不满足()fx连续性定义的条件，不外乎以下三种情况：（1）函数 在 无定义；()fxa（2）极限 存在，即 ，但limx(0)()ffa；li)xa（3）极

7、限 不存在:li(xf 与 都存在，但 .(0)fa)(0)fa()f 与 至少有一个不存在.(f因此 是函数 的间断点按上述情形可作如下分类：x1.可去间断点 若 ，而 在 无定义，或有定义但 ，则称 为 的可去间lim()xafAfa()faAa()fx断点.如对 ， 点是它的可去间断点.因为 ，但sin()xf00sinlm1x在 点无定义.ifx2.跳跃间断点 若 在点 左右极限存在，但()falim()li()xxaff则称点 为函数 的跳跃间断点 .a()fx如对函数 ，有1,0()sgnxf与 .0lim()xf0li()1xf显然 ，也就是说 是它的跳跃间断点.0li()xf可

8、去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.3.若函数 在点 处的左右极限至少有一个不存在，则称这样的点 为函数()fa a的第二类间断点.()fx如函数1,(),xf已知 与1(0)lim()xff11(0)lim()lixxff即 不存在，从而 1 是 的第二类间断点.又如函数 在 处左右极限都不存在，从而 0 是函数sin,0(),xfx0x的第二类间断点.()fx习题 3.11.设 有意义，试用“ ”语言叙述 在点 不连续.()fa()fxa2.按定义证明下列函数在定义域内连续:（1） ； （2） .()fx3()4f3.讨论函数 在 的连续性.,0xy4.指出下列函数的间断点，并说明其类

9、型：（1） ； （2） ；1()fx2()1xf（3） ； （4） ；()lnf ()sinfx（5） ； （6） .()sgfx,()f为 有 理 数为 无 理 数5.证明：设 为区间 上的单调函数，且 为 的间断点，则它f(,)ab0,)xab(fx必是 的第一类间断点.()fx6.证明：若函数 是奇函数或偶函数，且 在点 连续，则函数()fx()fx()在 也连续.()fxa答案: 3.不连续 4.（1） 为第二类间断点 ； （2） 为第二类间断点； （3）0 是可去01间断点， 为第二类间断点；（4）0 是可去间断点， 是第二类间断点；(1,)k（5） 为可去间断点；x（6）除 以外其

10、他各点都是第二类间断点.第二节 连续函数的性质一、连续函数的四则运算及其性质根据极限四则运算定理及函数连续的定义，立即可得连续函数的四则运算定理.定理 3-1 若函数 与 都在 连续，则函数fxga， ， （ ） ffxf0ga在 也连续.a这些结论的证明，都可由函数极限的有关定理直接推出.关于复合函数的连续性有如下定理：定理 3-2 若函数 在 连续，且 ，而函数 在 连续，则yxabazfyb复合函数 在 连续.zfxa证明 已知 在 连续，即yb有 .0,:,fyfb又已知 在 连续，且 ，即对上述 ，有yxaa0,:xay于是， ，有0,:x.ffafyfb这就证明了 在 连续.zx注

11、 若复合函数 的内函数 在 时极限为 ,但不等于 （即fggx0a0gx为 的可去间断点） ，外函数 在 时连续，那么我们仍然可用上述定理0xgfua来求复合函数的极限.即 .0 0limlixxfgfg上式不仅对于 成立，它对 或 这些类型的00,xx极限也成立.例 1 求（1） ； （2） .0sinli2xxsinlim2x解 （1）由于 及函数 在 u=1 处连续,0lim1xu所以 = = =1.0snli2x0sinlx21（2）由于 ,lix所以 = = .sinlim2xxsinlmx20因为连续函数在连续点的极限等于它所对应的函数值，所以这一条件使得连续函数在连续点具有函数极

12、限的所有性质，如局部有界性、局部保号性等.定理 3-3（局部有界性） 若函数 在点 连续，则函数 在点 的某邻域内fxafxa有界.定理 3-4（局部保号性） 若函数 在点 连续，且 ，则fxa0faf,有 .0,:xa0()fx证明 已知 ，即 ，有limxaff0,:2fxa或 fafffff于是， ，有 .:xa02ffafxf同法可证 的情形.0f二、闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有一些重要性质，这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的.定义 3-5 设 为定义在 上的函数，若存在 ，对一切 ，有fxI0,xIxI,00()ffxf则称 在 上有最大（小）值，并称 为 在

13、上的最大（小）值.fxI xI一般来说，函数 在 上不一定有最大（小）值（即使 是有界的）.如fxI fx在 时既无最大值也无最小值.下述定理将会给出函数在某区间上取得最fx0,1大(小)值的充分条件.定理 3-5(最值性) 若函数 在闭区间 上连续，则 在 能取到最小xfba,xfba,值 与最大值 ，即 ，使得 = 与 = ，如图 3-1：mM1,2,1xfm2M（刘玉莲 p113）并且 ，有xba,mxfM推论(有界性定理) 若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界.fba,xfba,引理(零点定理) 若函数 在闭区间 上连续，且 (即 与x 0f异号)，则在区间 至少存在一点 ，使bf

14、 ba,c=0f引理的几何意义是：在闭区间 的连续曲线 = ，且连续曲线的始点,yxf与终点 分别在 轴的两侧，则此连续曲线至少与 轴有一个交点.如图af,bf,x3-2:（刘玉莲 p114 3.3）定理 3-6(介值性) 设函数 在闭区间 上连续， 与 分别为 在xfba,mMxf上的最小值与最大值.若 为介于 与 之间的任何实数 ( )，则在ba, m内至少存在一点 ，使得c.fc证明 如果 0，使 ，设 与 或,1f2f与 = .1f12f显然 ，如图 3-4:1（刘玉莲 p117）取 = ，于是 12min,： ，有 .由于反函数 严格增加，有y2y1xfy或 1112fff1f或 y

15、1fy即反函数 在 连续，从而反函数 在 连续.1xfxfI习题 3.21.若 在 上连续，且 存在.证明： 在 上有界.试问f,alimxff,a在 上必有最大（小）值吗？f,2.证明：若函数 在 严格增加且连续，则反函数 在点yfx,ab1xyf右连续，即af11limyffa3.证明：若函数 在 连续，且 与 ，则x,limxfAalixfB在 有界.fx,4.求下列极限:（1） ； （2） ；4limtanxx 2liarcosxx(3) ； (4) .2lixa 211limx5.设 为 上的递增函数，其值域为 ，证明 在 上f,b,fabfx,ab连续.答案：4.（1） ； （2）

16、 ； （3） ； （4） .3412a32第三节 初等函数的连续性一、指数函数的连续性在中学数学中，我们已经接触过指数函数 = ( )，但在那时当 取无理数时，yxa0x其意义并不明确.现在来证明指数函数在其定义域上是连续的.定理 3-8 指数函数 = ( )在其定义域 上是连续函数.yxa0,证明 首先证明 = =1 (即 =1)0limxlix0limxa： ， 使 ， ，x1nNn1n从而当 时，有 0， = = ，即幂函数是两个连续函数 = 与 = 复合而成的xeln yuexln函数.根据上节定理，幂函数 = 在开区间( )连续.yx,只有当 时 ( ，幂函数即为常数函数 =1)，幂

17、函数 = 的定义域才含有0yyx0，此时有=0=0limx即幂函数 = 在 0 右连续.yx当幂函数 = 的定义域是 或 时，幂函数 = 必为奇函数或偶函数.由第Ryx一节练习 6 可知，幂函数在 或 也连续.0于是，幂函数 = ( )在其定义域内连续.yx显然，常数函数必在其定义域 上连续.R综上所述，六类基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数在它们各自的定义域都连续.又因为初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算所得，于是我们有下述定理：定理 3-9 任何初等函数都是在它有定义的区间上的连续函数.习题 3.31. 证明：若函数 在 连续，且

18、0，则 ， ： ，有xfaaf0xa0.xf2. 设 = ， = .证明 = .nlim0xnylinyxlim3. 求下列极限:(1) ； (2) ；0lixxex1ln5cos2 3lix912x(3) ； (4) ；nlim2 0limxx21sin(5) .xlixln14. 证明：若函数 在闭区间 除一个(或有限个) 第一类不连续点外连续，则fba,在 上有界.xfba,5. 证明：若函数 在 连续，且 = ，则函数 在 能取xf,bxlimfxfba,到最小值.6. 证明：若函数 在 上连续，且对任何 ，存在相应的 ，xfba, xba,yba,使得 ，则至少有一点 ，使得 =0.yf21,f7.设函数 定义在 上，且在 两点连续.证明：若对任何fx,0,1x有 ，则 为常量函数.,x2ff答案 3. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) .616ee1