1、直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1直线与圆锥曲线的公共点的情况 00),(2CBxAyxfcba曲 线 ：直 线 ： )0(2CyBA交（1）没有公共点 方程组无解 （2）一个公共点 0,)Ai交（3）两个公共点 0,A2连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 21122Bkxyk3以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（3）给出 ,等于已知 是 的中点;（5） 给出以下情形之一： ；存在实数 ；若存在实数 ,等于已知 三点共线.（6） 给出
2、，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即（7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角。（9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知是菱形;（10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知是矩形;（11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线;高考怎么考主要题型：1三点共线问题；
3、2公共点个数问题；3弦长问题；4中点问题；5定比分点问题；6对称问题；7平行与垂直问题；8角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为（1）考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。例 1过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点 Q 与点 P关于 y 轴对称， O为坐标原点，若 且 ，则点 P 的轨迹方程是（ D ）2BPA1OQBA B231(
4、0,)xyxy23(0,)xyxyC D2,21,例 2 已知椭圆 C1： y 21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率x24(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， 2 ，求直线 AB 的方OB OA 程解：(1)由已知可设椭圆 C2的方程为 1(a2)，y2a2 x24其离心率为 ，故 ，则 a4，故椭圆 C2的方程为 1.32 a2 4a 32 y216 x24(2)解法一：A，B 两点的坐标分别记为(x A，y A)，( xB，y B)，由 2 及(1)知，O，A， B 三点共线且点 A，B 不在
5、y 轴上，因此可设直线 AB 的OB OA 方程为 ykx.将 ykx 代入 y 21 中，得(1 4k 2)x24，所以 x ，x24 2A 41 4k2将 ykx 代入 1 中，得 (4k 2)x216，y216 x24所以 x ，又由 2 ，得 x 4x ，2B164 k2 OB OA 2B 2A即 ，164 k2 161 4k2解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.解法二：A，B 两点的坐标分别记为(x A，y A)，(x B，y B)，由 2 及(1)知，O，A， B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的OB OA 方程为 ykx.将 ykx 代
6、入 y 21 中，得(1 4k 2)x24，x24所以 x ，由 2 ，2A41 4k2 OB OA 得 x ，y ，2B161 4k2 2B 16k21 4k2将 x ， y 代入 1 中，得 1，即 4k 214k 2，2B 2By216 x24 4 k21 4k2解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.例 4 已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p0)上异于原点的两点， ，点 C 坐标为0OAB（0，2 p）（1）求证： A,B,C 三点共线； （2）若 （ ）且 试求点 M 的轨迹方程。AMBR0（1）证明：设 ，221(,)(,)xp由 得 ，0O221120,4xp又
7、 21 1121(,),(,)xACpAB，2211 1)0x，即 A,B,C 三点共线。/B（2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由 及 （ ）知OMABBMROMAB，垂足为 M，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0， y0)。例 6 设 F1、F 2分别是椭圆 的左、右焦点.142（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值 ;12PF（）设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围.解：（）解法一： 易知
8、 ，2,13abc所以 ，设 ，123,0,FPxy则 2123,3PFxyxy 2221384xx因为 ，故当 x=0，即点 P 为椭圆短轴端点时， 有最小值-2,x12PF当 x=2，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有最大值 112F解法二：易知 ，所以 ，设 ，则,13abc23,0,xy221112121212osPFFFP（以下同解法一）222333xyxyxy （）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ，0 122:,lkAxyB联立 ，消去 ，整理得：214ykxy221430kx 12123,4xxkk由 得： 或224032k又 ，009cosABABO120AOBxy又 212
9、121124ykxkxx2384k21k ，即 223014k24k 故由、得 或32k2k自我提升1、平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知 A（3，1），B（-1，3），若点 C 满足，其中 R，且=1，则点 C 的轨迹方程为( D )OBACA 3 x+2y-11=0 B( x-1)2+(y-2)2=5 C 2 x-y=0 D x+2y-5=02、已知 是 x,y 轴正方向的单位向量，设 = , = ,且ji, ajix)(bji)2(满足| |+| |=4.则点 P(x,y)的轨迹是.( C )abA椭圆 B双曲线 C线段 D射线52012许昌一模 设 F1、 F2 分别是双曲线 x
10、2 1 的左、右焦点若点 P 在双曲y29线上，且 0，则| |( )PF1 PF2 PF1 PF2 A2 B. C4 D22 10 2 105D 解析 根据已知PF 1F2 是直角三角形，向量 2 ，根据直角三角PF1 PF2 PO 形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出. 0，则 | |2| | |2PF1 PF2 PF1 PF2 PO F1F2 .106已知 A、B 为抛物线 x2=2py (p0)上两点，直线 AB 过焦点 F，A、B 在准线上的射影分别为 C、D，则y 轴上恒存在一点 K，使得 ； ；存在0A0DC实数 使得 ；若线段 AB 中点 P 在在准线上的射影为 T，有 。O中
11、说法正确的为_7.已知椭圆 ，过 P(1,0)作直线 l，使得 l 与该椭圆交于 A,B 两点， l 与 y21xy轴的交点为 Q，且 ，求直线 l 的方程。APB解：直线 l 过 P(1,0)，故可设方程为 y=k(x-1)， 因为 ，所AQPB以 AB 的中点与 PQ 的中点重合.由 得(1+2 k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0 所以 ，21()xyk 241ABkx又 xP+xQ=1 故 得 ，所求的直线方程为 。242()2yx82012瑞安质检 设椭圆 M： 1(a )的右焦点为 F1，直线 l：x x2a2 y22 2与 x 轴交于点 A，若 2 0( 其中 O 为坐标原点
12、 )a2a2 2 OF1 AF1 (1)求椭圆 M 的方程；(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点， EF 为圆 N：x 2(y2) 21 的任意一条直径( E，F 为直径的两个端点)，求 的最大值PE PF 解：(1)由题设知，A ，F 1 ，(a2a2 2，0) ( a2 2，0)由 2 0，得 2 .解得 a26.所以椭圆 M 的方程为OF1 AF1 a2 2 ( a2a2 2 a2 2) 1.x26 y22(2)解法 1：设圆 N：x 2(y2) 21 的圆心为 N，则 ( )( )( )( ) 2 2 21.PE PF NE NP NF NP NF NP NF NP NP NF NP
13、 设 P(x0，y 0)是椭圆 M 上一点，则 1，所以 2x ( y02) 22(y 01)x206 y202 NP 20212.因为 y0 ， ，所以当 y01 时， 2 取得最大值 12.所以 的最大值为2 2 NP PE PF 11.解法 2：设点 E(x1，y 1)，F(x 2，y 2)，P( x0，y 0)，所以Error! 可得 (x 1x 0)(x2x 0)(y 1y 0)(y2y 0)( x1x 0)(x 1x 0)(y 1y 0)(4y 1y 0)PE PF x x y y 4y 14y 0x y 4y 0(x y 4y 1)20 21 20 21 20 20 21 21因
14、为点 E 在圆 N 上，所以 x ( y12) 21，即 x y 4y 13.21 21 21又因为点 P 在椭圆 M 上，所以 1，x206 y202即 x 63y .所以 2y 4y 092(y 01) 2 11.20 20 PE PF 20因为 y0 ， ，所以当 y01 时，( )min11.2 2 PE PF 9.设椭圆 C： 的左焦点为 F，上顶点为 A，过点 A 作垂直于 AF)(2bax的直线交椭圆 C 于另外一点 P，交 x 轴正半轴于点 Q， 且P58（1）求椭圆 C 的离心率；APQF O xy（2）若过 A、 Q、F 三点的圆恰好与直线 l： 相切，求椭圆 C 的方程. 053yx解：设 Q（x 0，0） ，由 F（-c，0） 奎 屯王 新 敞新 疆A（0，b）知 ),(),(0bxAbcc2020,设 ，得PQAyxP58),(1由 21185,3bxy因为点 P 在椭圆上，所以)()(22bac整理得 2b2=3ac，即 2（a 2c 2）=3ac， ,30e故椭圆的离心率 e12由知 ，acacbab 2123， 得又；， 得于是 F（ a，0） ， Q12 )0,(AQF 的外接圆圆心为（ a，0） ，半径 r= |FQ|=a12所以 ，解得 a=2，c=1，b= ，a2|51| 3所求椭圆方程为1342yx
