1、第 1 页 共 16 页(11.6 文)（12.6 理） 圆锥曲线的综合问题知识要点梳理 解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点，它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇，充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。因此，圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点。纵观近几年高考试题，对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题：一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质， （1）以客观题的形式考查圆锥曲
2、线的基本概念和性质；（2）求平面曲线的方程和轨迹；（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点：（1） 求指定的圆锥曲线的方程，一般涉及量较多，计算量大，要求较强的运算能力。在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算的合理性、技巧性，使运算简捷。（2） 注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。（3） 注意用圆锥曲线的定义解题，有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。（4） 对称问题是高考的热点，注意关于原点、轴
3、、轴、直线对称的两曲线方程的特点。（5） 解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题，对解决数学综合问题的能力要求更高，要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何问题。反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.疑难点、易错点剖析1与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组） ，通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法
4、：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围2圆锥曲线中最值的两种求法：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值直击考点考点一 直线与抛物线的综合问题【例 1】 如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和b（a0 ，b0） ，且交抛物线 y2=2px（p0）于 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2）两点.第 2 页 共 16 页x yOMN a b l（1）写出直线 l 的截距
5、式方程；（2）证明： + = ；1y2b（3）当 a=2p 时，求MON 的大小.剖析：易知直线 l 的方程为 + =1，欲证 + = ，即求 的值，为此只axby1y2b21y需求直线 l 与抛物线 y2=2px 交点的纵坐标.由根与系数的关系易得 y1+y2、y 1y2 的值，进而证得 + = .由 =0 易得MON=90.亦可由 kOMkON=1 求得MON=90.1y2bOMN（1）解：直线 l 的截距式方程为 + =1. axby（2）证明：由及 y2=2px 消去 x 可得 by2+2pay2pab=0. 点 M、N 的纵坐标 y1、y 2 为的两个根，故 y1+y2= ，y 1y
6、2=2pa.bpa所以 + = = = .1y221ypab（3）解：设直线 OM、ON 的斜率分别为 k1、k 2，则 k1= ，k 2= .x当 a=2p 时，由（2）知，y 1y2=2pa=4p 2，由 y12=2px1，y 22=2px2，相乘得（ y1y2） 2=4p2x1x2，x1x2= = =4p2，4)()(因此 k1k2= = =1.xy2所以 OMON，即MON=90.锦囊妙计：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.举一反三：如下图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2） 、第 3 页 共 16 页A（x
7、1， y1） 、B（x 2，y 2）均在抛物线上.APBO xy（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率.解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为 y2=2px.点 P（1，2）在抛物线上，2 2=2p1，得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2=4x，准线方程是 x=1.（2）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB.则 kPA= （x 11） ，k PB= （x 21）.1y2PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，k PA= kPB.由 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2）
8、在抛物线上，得y12=4x1， y22=4x2， = .142y142yy 1+2=（y 2+2）.y 1+y2=4.由得直线 AB 的斜率kAB= = = =1（x 1x 2）.12x2y4考点二 函数最值与椭圆的综合问题【例 2】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e= ，已知点23P（0， ）到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 P 的37距离等于 的点的坐标.7思路分析：设椭圆方程为 + =1，由 e= 知椭圆方程可化为 x2+4y2=4b2，然后2axby23将距离转化为 y 的二次函数，二次函数中含有一个参数 b，在判定距离有最大值的过程中，
9、第 4 页 共 16 页要讨论 y= 是否在 y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和 P 点坐标.21解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 + =1，其中 ab0 待定.2axby由 e2= = =1（ ） 2 可知 = = = ，即 a=2b.ac2b21e431设椭圆上的点（x，y ）到点 P 的距离为 d，则 d2=x2+（y ） 2=a2（1 ）2y+y2 3y+ = 4b23y 23y + =3（y+ ） 2+4b2+3，其中byb.9491如果 b ，则当 y=b 时 d2（从而 d）有最大值，由题设得（ ） 2=（b+ ） 2，1 73由此得 b= ，与 b 矛盾.721因此必有 b
10、 成立，于是当 y= 时 d2（从而 d）有最大值，由题设得（ ）1 72=4b2+3，由此可得 b=1，a=2.故所求椭圆的直角坐标方程是 +y2=1.4x由 y= 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（ ， ） ，点（ ， ）到21 321321点 P 的距离都是 .7解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是x=acos ，y=bsin ，e= ，23a=2b.设椭圆上的点（x，y ）到点 P 的距离为 d，则d2=x2+（ y ） 2=a2cos2 +（bsin ） 2=3b 2（sin + ） 2+4b2+3.3 1如 果 1， 即 b ， 则 当 sin = 1 时 ， d2（ 从 而
11、d） 有 最 大 值 ， 由 题 设 得 （ ）72=（ b+ ） 2，由此得 b= ，与 b 矛盾.3723因 此 必 有 1 成 立 ， 于 是 当 sin = 时 ， d2（ 从 而 d） 有 最 大 值 ， 由 题 设 得 （ ）72=4b2+3.x=2cos ，其中 ab0 待定，0 2，由此得 b=1，a=2. 所以椭圆参数方程为第 5 页 共 16 页y=sin .消去参数得 +y2=1，由 sin = ，cos = 知椭圆上的点（ ， ） ， （4x2123321， ）到 P 点的距离都是 .3217锦囊妙计：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.举一
12、反三：1.对于上例，根据图形的几何性质，以 P 为圆心，以 为半径作圆，圆与椭圆相切7时，切点与 P 的距离为 ，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.7x2+（y ） 2=7，3x2+4y2=4b2，得 3y2+3y =4b27，49由 =0 得 b2=1，即椭圆方程为 x2+4y2=4.所求点为（ ， ） 、 （ ， ）.313212. 已知椭圆 ，点 P 的坐标为(0,b)，求点 P 到该椭圆上点的最大距)0(2bayx离。解：椭圆的参数方程为 。)(sinco为 参 数byx设椭圆上任一点 Q 的坐标为 (acos,bsin)，则 .)(sin(ico| 2422 babbaP .|
13、.|,sin,12 24222baPQ baPQ 有 最 大 值 取 得 最 大 值时当即若 .2| .4|,1sin,1222 bPba有 最 大 值 取 得 最 大 值时当即若 提示：由第 6 页 共 16 页本题使用椭圆的参数方程，从而借助三角函数求最大值。但要注意讨论 及12ba两种情况。12ba考点三 直线与双曲线、椭圆的综合问题【例 3】 （2007 年东北重点中学高三调研考题）已知椭圆 C 的方程为+ =1（a b0） ，双曲线 =1 的两条渐近线为 l1、l 2，过椭圆 C 的右焦点 F2xy2axby作直线 l，使 ll 1，又 l 与 l2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C
14、 的两个交点由上至下依次为A、B .（如下图）x y O A B F P l l l 21（1）当 l1 与 l2 夹角为 60，双曲线的焦距为 4 时，求椭圆 C 的方程；（2）当 = 时，求 的最大值.FAP思路分析：（1）求椭圆方程即求 a、b 的值，由 l1 与 l2 的夹角为 60易得 = ，ab3由双曲线的距离为 4 易得 a2+b2=4，进而可求得 a、b.（2）由 = ，欲求 的最大值，需求 A、P 的坐标，而 P 是 l 与 l1 的交点，故FAP需求 l 的方程.将 l 与 l2 的方程联立可求得 P 的坐标，进而可求得点 A 的坐标.将 A 的坐标代入椭圆方程可求得 的最
15、大值.解：（1）双曲线的渐近线为 y= x，两渐近线夹角为 60，ab又 b0)2axby其中 b=1。又设右焦点为(c,0) ，则=3，解得 c= ,a= 。2|c3椭圆方程为 +y2=1。3x（2）设 P 为 MN 的中点，解方程组 得02yxmk(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0= -12m 2+36k2+120，得 m2m2,解得 00，解得 m 。31m1 0,b)xy线分成的弧长为 2：1 的两段圆弧，那么该双曲线的离心率 e 等于： （ C ）A B C D5236已知双曲线的中心在原点，离心率为 ，若它的一条准线与抛物线 的准线重3xy42合，则该双曲线与抛物线
16、的交点互原点的距离是（ B ）xy42（A） （B） （C）18+12 （D）2163212B设双曲线方程为 , 2 (a0b)xy2bac则 双曲线方程为 ，312ca1632yx解方程组 得交点坐标为 或 。xy462 )2,()3,(交点到原点的距离为 1二、填空题第 10 页 共 16 页7椭圆 的短轴为 ，点 是椭圆上除 外的任意一点，直线214xy12BM12,B在 轴上的截距分别为 ，则 4 12,MB,x12x8已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为 ，则长半轴长的最小值是 8(1)9已知 分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程 无实数,abc 20axbc根，则此双曲线的离心率
17、 的取值范围是 e(,5)10.点 P 是抛物线 y2=4x 上一动点，则 P 到点（0，1）的距离与 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值是.三、解答题11、设坐标原点为 O,抛物线 与过焦点的直线交于 A,B 两点,求 的值2xOAB解:(1)当直线 AB 轴时,在 中,令 ,有 ,则xy12y,得 .1(,)2AB3()4OAB(2)当直线 AB 与 轴不互相垂直时 ,设 AB 的方程为:x 1()2ykx由 ,消去 ,整理得 ,显然 .21()yky2()04kx设 ,则 ,得12(,)()AxyB2112,k= + = +O12,xy12y12x1()k21()x= 1212()
18、()4k= = .222()4k3综(1),(2)所述,有 .34OAB12过抛物线 上两点 、 的直线 交 轴于点 2:CyxMNly(0,)Db（）若 为钝角（ 为坐标原点） ，求实数 的取值范围；（II）若 ，曲线 在 、 处的切线的交点为 ，求证：点 必在一条定直线bQ上运动第 11 页 共 16 页13、已知椭圆 过点 ，且与 的交于 , .12byax)30,(bRa)0,1(Axy|BC(1) 用 表示 , 的横坐标；BC(2) 设以 为焦点，过点 , 且开口向左的抛物线的顶点坐标为 ，求实数A )0,(mM的取值范围解：(1)由于椭圆 过点 ，12byax)0,(A故 . 1,
19、 横坐标适合方程BC.1,|2byx解得 ( 即 ) 21bx300x即 , 横坐标是 ( 即 ). B2x3b21x(2)根据题意，可设抛物线方程为 ),0)(mpy ， 12mp)(142mxy第 12 页 共 16 页把 和 （等同于 , 坐标（ ， ） ）代入式抛物线方xy|210BC21b21b程，得 . )0,()(4)(2 xmxm令 21)(xf则 内有根（并且是单调递增函数） ，2,0在 .0)1(4)(41)(,mf解得 23m紧扣考纲大演练（文科）1.设 abc0， “ac0”是“曲线 ax2+by2=c 为椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件
20、D.既不充分又不必要条件解析：ac0 曲线 ax2+by2=c 为椭圆.反之成立.答案：B2.到两定点 A（0，0） ，B（3，4）距离之和为 5 的点的轨迹是A.椭圆 B.AB 所在直线C.线段 AB D.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段 AB：y= x，其中 0x3.34答案：C3.若点（x，y）在椭圆 4x2+y2=4 上，则 的最小值为2xA.1 B.1C. D.以上都不对32解析： 的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相xy切时取得最值，设直线 y=k（ x2）代入椭圆方程（4+ k2）x 24k 2x+4k24=0.令 =0，k= .3k min
21、= .2答案：C4.（2007 年南京质量检测）以正方形 ABCD 的相对顶点 A、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A. B.3210315第 13 页 共 16 页C. D.215 210解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得 e= .210答案：D5.已知 F1（3，0） 、F 2（3，0）是椭圆 + 1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，mx2ny当F 1PF2 时，F 1PF2 的面积最大，则有A.m=12，n=3 B.m=24，n=6C.m=6，n= D.m=12，n=63解析：由条件求出椭圆方程即得 m=12，n=3.答案：A二.填空题7.
22、双曲线 9x216y 2=1 的焦距是_.解析：将双曲线方程化为标准方程得 =1.a 2= ，b 2= ，912x6y916c2=a2+b2= + = .91645c= ，2c= .5答案： 68.若直线 mx+ny3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，则 m、n 满足的关系式为_；以（m，n）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆 + =1 的公共72x3y点有_个.解析：将直线 mx+ny3=0 变形代入圆方程 x2+y2=3，消去 x，得（m 2+n2）y 26ny+9 3m 2=0.令 1k 0 k（1，1） ，方程所表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆；1k3k 20 k（
23、，1） ，方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆；31k=3 k 20 k=1，表示的是一个圆；（1k） （3 k2）0 k（， ）3（1， ） ，表示的是双曲线；k=1，k= ，表示的是两条平行直线；k= ，表示的3图形不存在.（2）由（k 2+k6） （6k 2k1）0 （k +3） （k 2） （3k+1） （2k1）0 k （3 ， ）（ ，2）.12.（2007 年荆门市模拟题）已知抛物线 y2=2px 上有一内接正AOB，O 为坐标原点.x yOA B （1）求证：点 A、B 关于 x 轴对称；（2）求AOB 外接圆的方程.（1）证明：设 A（x 1，y 1） 、 B（x 2，y
24、 2） ，|OA |=|OB|， x12+y12=x22+y22.又y 12=2px1， y22=2px2，第 15 页 共 16 页x 22x 12+2p（ x2x 1）=0 ，即（x 2x 1） （x 1+x2+2p）=0.又x 1、x 2 与 p 同号，x 1+x2+2p0.x 2x 1=0，即 x1=x2.由抛物线对称性，知点 A、B 关于 x 轴对称.（2）解：由（1）知AOx=30，则y2=2px， x=6p，y= x y=2 p.33A（6p，2 p）.方法一：待定系数法，AOB 外接圆过原点 O，且圆心在 x 轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.将点 A（6p，2 p）代入
25、，得 d=8p.3故AOB 外接圆方程为 x2+y28px=0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为 r，则圆心（r，0）.8.（2007 年西安模拟题）从椭圆 + =1（ab0）上一点 M 向 x 轴作垂线，恰2好通过椭圆的左焦点 F1，且它的长轴右端点 A 与短轴上端点 B 的连线 ABOM .（1）求椭圆的离心率；（2）若 Q 是椭圆上任意一点， F2 是右焦点，求F 1QF2 的取值范围；（3）过 F1 作 AB 的平行线交椭圆于 C、D 两点，若| CD|=3，求椭圆的方程.解：（1）由已知可设 M（ c，y） ，则有 + =1.2)(acbyM 在第二象限，M（c， ）.ab2又由
26、ABOM ，可知 kAB=kOM. = .b= c.a= b.ac22e= = .（2）设|F 1Q|=m，|F 2Q|=n，则 m+n=2a，mn 0.|F 1F2|=2c，a 2=2c2，cosF 1QF2= 4= = 1n)(2n2= 1 1= 1=0.ma22)(2a第 16 页 共 16 页当且仅当 m=n=a 时，等号成立.故F 1QF2 0， .（3）CDAB，k CD= = .ab2设直线 CD 的方程为 y= （x+c） ，即 y= （x +b）.2+ =1，ay= （x+b）. 2（a 2+2b2）x 2+2a2bxa 2b2=0.设 C（x 1，y 1） 、D（x 2，y 2） ，a 2=2b2，x 1+x2= = =b，34x1x2= = = .2ba2|CD|= |x1x 2|k= 21214)(= = =3.2)()(b9b 2=2，则 a2=4.椭圆的方程为 + =1.4x2y则 消去 y，整理得
