1、 圆锥曲线中的面积问题一、基础知识：1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高） 。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异” ，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线
2、段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质” ）（1）椭圆：设 为椭圆 上一点，且 ，则P210xyab12FP12tanPFSbA（2）双曲线：设 为椭圆 上一点，且 ，则21,0xyab1212cotPFSbA二、典型例题：例 1：设 为椭圆 的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 两点，2,214xy ,PQ当四边形 的面积最大时， 的值等于_1PFQ2PF例 2：已知点 是椭圆 上的一点，且在 轴上方， 分别为椭圆265160xyx12,F的左右焦点，直线 的斜率为 ，则 的面积是（ ）2PF4312PFA. B
3、. C. D. 3 34例 3：已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位于 轴的两侧，F2yx,ABx，则 与 面积之和的最小值是（ ）OABAO FA. B. C. D. 23172810例 4：抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在24yxFlF3轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ）xAKAKA. B. C. D. 834例 5：以椭圆 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线 ，其左右焦点分别为2195xyC，已知点 的坐标为 ，双曲线 上点 满足12,FM2,C00,Pxy，则 等于（ ）211PF12PMFS A. B. C. D. 4 1例
4、6：已知点 为双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左P210,xyab12,F右焦点，且 ， 为三角形 的内心，若 成立，则21bFaI12PF1212IPFIIFSS 的值为（ ）A. B. C. D. 2312121例 7：已知点 ，椭圆 的 为 ， 是椭圆 的右0,2A2:10xyEabc32FE焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点F3O（1）求 的方程E（2）设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 面积最大时，求 的方程AlE,PQOPAl例 8：已知椭圆 的 为 ，过右焦点 的直线 与 相交于2:10xyCabc12FlC两点，当 的斜率为 时，坐标原点 到 的距离为,ABl Ol（
5、1）求椭圆 的方程（2）若 是椭圆 上的四点，已知 与 共线， 与 共线，且,PQMNCPFQMFN，求四边形 面积的最小值0FP例 9：在平面直角坐标系 中，已知点 ， 是动点，且三角形 的三边所xOy1,APPOA在直线的斜率满足 PAPk（1）求点 的轨迹方程（2）若 是轨迹 上异于点 的一个点，且 ，直线 与 交于点 ，问：QCQOAPQAM是否存在点 使得 和 的面积满足 ？若存在，求出点 的坐PAPM2PMS标，若不存在，请说明理由。例 10：设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线相交于 两点，2yxF3,0M,AB与抛物线的准线相交于 ，则 与 的面,2CBCAF积之比 （ ）BCFASA. B. C. D. 45234712
