1、第三讲 圆锥曲线的综合问题1直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0 时，直线与双曲线相交；当 0 时，直线与双曲线相切；当 b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交x2a2 y2b2E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为 ( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29答案 D解析 设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，所以Error!
2、运用点差法，所以直线 AB 的斜率为 k ，b2a2设直线方程为 y (x3)，b2a2联立直线与椭圆的方程得(a 2 b2)x26b 2x9b 2a 40，所以 x1x 2 2；6b2a2 b2又因为 a2b 29，解得 b29，a 218.2(2013江西)过点( ，0)引直线 l 与曲线 y 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，2 1 x2当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于 ( )A. B C D33 33 33 3答案 B解析 S AOB |OA|OB|sinAOB12 sinAOB .12 12当AOB 时，S AOB 面积最大2此时 O 到 AB 的距离 d .22
3、设 AB 方程为 yk (x )(k0，b0)，x2a2 y2b2由已知，得 a ，c 2，b 2c 2a 21，3故双曲线方程为 y 21.x23(2)设 A(xA，y A)，B (xB，y B)，将 ykx 代入 y 21，2x23得(13k 2)x2 6 kx90.2由题意，知Error!解得 0)到直线l：xy20 的距离为 .设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线322PA，PB，其中 A，B 为切点(1)求抛物线 C 的方程；(2)当点 P(x0， y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；(3)当点 P 在直线 l 上移动时，求| AF|BF|的
4、最小值解 (1)依题意知 ， c0，解得 c1.|c 2|2 322所以抛物线 C 的方程为 x24y.(2)由 y x2 得 y x，14 12设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为 x1， x2，所以切线 PA 的方程12 12为 yy 1 (xx 1)，即 y x y 1，即 x1x2y2y 10.x12 x12 x212同理可得切线 PB 的方程为 x2x2y2y 20，又点 P(x0，y 0)在切线 PA 和 PB 上，所以 x1x02y 0 2y10，x 2x02y 02y 20，所以(x 1，y 1)， (x2，y 2)为方程 x0x2y
5、02y0 的两组解，所以直线 AB 的方程为 x0x 2y2y 00.(3)由抛物线定义知| AF|y 11，|BF| y 21，所以|AF|BF| (y11)(y 21)y 1y2(y 1y 2)1，联立方程Error!消去 x 整理得 y2(2y 0x )yy 0，20 20y 1y 2x 2y0，y 1y2y ，20 20|AF|BF|y 1y2(y 1y 2)1y x 2y 0120 20y (y 02) 22y 012y 2y 0520 202 2 ，(y0 12) 92当 y0 时，|AF |BF|取得最小值，且最小值为 .12 92题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例 2 (20
6、12福建)如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 ，且其三个3顶点均在抛物线 E：x 22py (p0)上(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点 Q， 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点审题破题 (1)先求出 B 点坐标，代入抛物线方程，可得 p 的值；(2) 假设在 y 轴上存在定点 M，使得以线段 PQ 为直径的圆经过点 M，转化为 0，从而判断点 M 是MP MQ 否存在(1)解 依题意，| OB|8 ，BOy30.3设 B(x，y)，则 x|OB|sin 304 ，y |OB|cos 3012.3因为点 B(4 ，1
7、2)在 x22py 上，3所以(4 )22p 12，解得 p2.3故抛物线 E 的方程为 x24y .(2)证明 方法一 由(1) 知 y x2，y x.14 12设 P(x0，y 0)，则 x00，y 0 x ，且 l 的方程为1420yy 0 x0(xx 0)，即 y x0x x .12 12 1420由Error!得Error!所以 Q 为 .(x20 42x0， 1)设 M(0，y 1)，令 0 对满足 y0 x (x00)的 x0，y 0 恒成立MP MQ 1420由于 (x 0，y 0y 1)， ，MP MQ (x20 42x0， 1 y1)由 0，得 y 0y 0y1y 1y 0
8、，MP MQ x20 42 21即(y y12) (1y 1)y00.(*)21由于(*)式对满足 y0 x (x00)的 y0 恒成立，1420所以Error!解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)方法二 由(1)知 y x2，y x.14 12设 P(x0，y 0)，则 x00，y 0 x ，1420且 l 的方程为 yy 0 x0(xx 0)，12即 y x0x x .12 1420由Error!得Error!所以 Q 为 .(x20 42x0， 1)取 x02，此时 P(2,1)，Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为(x 1) 2y 22，交 y 轴于点
9、 M1(0,1)、M 2(0，1) ；取 x01，此时 P ，Q ，(1，14) ( 32， 1)以 PQ 为直径的圆为 2 2 ，(x 14) (y 38) 12564交 y 轴于点 M3(0,1)、M 4 .(0， 74)故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0,1)以下证明点 M(0,1)就是所要求的点因为 (x 0，y 01)， ，MP MQ (x20 42x0， 2)所以 2y 022y 022y 020.MP MQ x20 42故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)反思归纳 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程
10、、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量变式训练 2 已知直线 l：y x ，圆 O：x 2y 25，椭圆 E： 1(ab0)的离心6y2a2 x2b2率 e ，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等33(1)求椭圆 E 的方程；(2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值(1)解 设椭圆的半焦距为 c，圆心 O 到直线 l 的距离 d ，61
11、1 3b .5 3 2由题意得Error!，a 23，b 22.椭圆 E 的方程为 1.y23 x22(2)证明 设点 P(x0，y 0)，过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 yy 0k( xx 0)，联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得Error!，消去 y 得(3 2k 2)x24k( y0kx 0)x2( kx0y 0)260，4k (y0kx 0)24(32k 2)2(kx0y 0)260，整理得，(2x )k22kx 0y0( y 3) 0，20 20设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1，k 2，则 k1k2 ，y20 32 x20点 P 在圆 O 上，x y
12、 5，20 20k 1k2 1.5 x20 32 x20两条切线的斜率之积为常数1.题型三 圆锥曲线中的存在性问题例 3 如图，椭圆的中心为原点 O，离心率 e ，且 2 .22 a2c 2(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点 P 满足 2 ，其中 M、N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON 的斜率OP OM ON 之积为 .问：是否存在两个定点 F1，F 2，使得| PF1|PF 2|为定值？若存在，求12F1，F 2 的坐标；若不存在，说明理由审题破题 (1)列方程组求出 a、c 即可；(2)由 kOMkON 先确定点 M、N 坐标满足12条件，再根据 2 寻找点 P 满足条件：点 P
13、在 F1、F 2 为焦点的椭圆上OP OM ON 解 (1)由 e ， 2 ，ca 22 a2c 2解得 a2，c ，b 2a 2 c22，2故椭圆的标准方程为 1.x24 y22(2)设 P(x，y)，M( x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由 2 ，OP OM ON 得(x，y) (x 1，y 1)2(x 2，y 2)(x 12x 2，y 12y 2)，即 xx 12x 2， yy 12y 2.因为点 M、N 在椭圆 x22y 24 上，所以 x 2y 4，x 2y 4，21 21 2 2故 x22y 2(x 4x 4x 1x2)2( y 4y 4y 1y2)21 2 21 2(x
14、2y )4(x 2y )4(x 1x22y 1y2)21 21 2 2204(x 1x22y 1y2)设 kOM， kON 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知 kOMkON ，y1y2x1x2 12因此 x1x22y 1y20，所以 x22y 220.所以 P 点是椭圆 1 上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1、F 2，则由椭x2252 y2 102圆的定义|PF 1| PF2|为定值，又因 c ，因此两焦点的坐标为252 102 10F1( ，0) ， F2( ，0)10 10反思归纳 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，
15、如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论变式训练 3 已知点 P 是圆 O：x 2y 29 上的任意一点，过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D，动点Q 满足 .DQ 23DP (1)求动点 Q 的轨迹方程；(2)已知点 E(1,1)，在动点 Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 M、N，使 (OE 12 )(O 是坐标原点)，若存在，求出直线 MN 的方程，若不存在，请说明理由OM ON 解 (1)设 P(x0，y 0)，Q(x，y)，依题意，点 D 的坐标为 D(x0，0) ，所以 ( xx 0，y )， (0，y 0)，DQ DP 又 ，DQ 23DP 故Error!即Error!因为 P
16、 在圆 O 上，故有 x y 9，20 20所以 x2 29，即 1，(3y2) x29 y24所以点 Q 的轨迹方程为 1.x29 y24(2)假设椭圆 1 上存在不重合的两点 M(x1，y 1)，x29 y24N(x2，y 2)满足 ( )，OE 12OM ON 则 E(1,1)是线段 MN 的中点，且有Error!即Error!又 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)在椭圆 1 上，x29 y24所以Error!两式相减，得 0，x1 x2x1 x29 y1 y2y1 y24所以 kMN ，y1 y2x1 x2 49故直线 MN 的方程为 4x9y 130.所以椭圆上存在点 M，N
17、满足 ( )，OE 12OM ON 此时直线 MN 的方程为 4x9y130.典例 (12 分)抛物线的顶点 O 在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上，过点 M(0，2)作直线l 与抛物线相交于 A，B 两点，且满足 (4，12)OA OB (1)求直线 l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点 P 从点 A 运动到点 B 时，求ABP 面积的最大值规范解答解 (1)根据题意可设直线 l 的方程为 ykx2，抛物线的方程为 x22py(p0)由Error!得 x22pkx4p0.2 分设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x1x 22pk， y1y 2k (x1x 2)42pk 2
18、4.所以 ( 4，12)，OA OB 所以Error!解得Error!故直线 l 的方程为 y2x2，抛物线的方程为 x22y.6 分(2)设 P(x0，y 0)，依题意，知当抛物线过点 P 的切线与 l 平行时，ABP 的面积最大对 y x2 求导，得 y x，12所以x 02，即 x02，y0 x 2，即 P(2，2)1220此时点 P 到直线 l 的距离d .9 分|2 2 2 2|22 12 45 455由Error!得 x24x 40，则 x1x 24，x 1x24，|AB| 1 k2 x1 x22 4x1x2 4 .1 22 42 4 4 10于是，ABP 面积的最大值为 4 8
19、.12 分12 10 455 2评分细则 (1)由 ( 4，12) 得到关于 p，k 的方程组得 2 分；解出 p、k 的OA OB 值给 1 分；(2)确定ABP 面积最大的条件给 1 分；(3) 得到方程 x24x40 给 1分阅卷老师提醒 最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值1由椭圆 y 21 的左焦点作倾斜角为 45的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，设 O 为坐标原x22点，则 等于 ( )OA OB A0 B1 C D313答案 C解析 直线 l 的方程为：y x1，设 A(x1，
20、y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!得 3x24x 0.x 10 或 x2 ，则 y11 ，y 2 .43 13 x 1x2y 1y2 .OA OB 132已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|12 ，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为( )A18 B24 C36 D48答案 C解析 不妨设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，由于 l 垂直于对称轴且过焦点，故直线 l 的方程为 x .代入 y22px 得，yp，即| AB|2p，又| AB|12，故 p6，所以p2抛物线的准线方程为 x3，故 SABP 61
21、236.123已知动圆圆心在抛物线 y24x 上，且动圆恒与直线 x1 相切，则此动圆必过定点( )A(2,0) B(1,0) C(0,1) D(0 ，1)答案 B解析 因为动圆的圆心在抛物线 y24x 上，且 x1 是抛物线 y24x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选 B.4设 M(x0，y 0)为抛物线 C：x 28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM| 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是 ( )A(0,2) B0,2C(2，) D2 ，)答案 C解析 x 28y ，焦点 F 的坐标为 (0,2)，准线方
22、程为 y2.由抛物线的定义知|FM|y 02.由于以 F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心 F 到准线的距离为 4，故42.5已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(2,2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_答案 y 24x解析 设抛物线方程为 y2ax.将 yx 代入 y2ax，得 x0 或 xa， 2.a4.a2抛物线方程为 y24x .6已知 F1(c,0)，F 2(c,0)为椭圆 1 的两个焦点，P 为椭圆上一点且 c 2，x2a2 y2b2 PF1 PF2 则此椭圆离心率的取值范围是_答案 33，
23、22解析 设 P(x，y) ，则 ( c x，y)(c x，y)x 2c 2y 2c 2，PF1 PF2 将 y2b 2 x2 代入式解得 x2 ，b2a2 3c2 a2a2c2又 x20，a 2，所以 2c2 a23c 2，所以离心率 e .ca 33，22专题限时规范训练一、选择题1已知抛物线 C：y 22px(p0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于点 A，3与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p 等于 ( )AM M B A1 B2 C3 D4答案 B解析 如图，由 AB 的斜率为 ，3知 60，又 ，M 为 AB 的中点过点 B 作 BP 垂直准线AM M
24、B l 于点 P，则ABP 60，BAP30. .|BP|12|AB| |BM|M 为焦点，即 1，p 2.p22已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则 y23 PA1 的最小值为 ( )PF2 A2 B C1 D08116答案 A解析 由已知得 A1(1,0) ，F 2(2,0)设 P(x，y) (x1) ，则 (1x，y)(2x ，y)4x 2x5.令 f(x)4x 2x5，则 f(x)在PA1 PF2 1，) 上单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取最小值，即 取最小值，最PA1 PF2 小值为2.3设 AB 是过椭圆 (ab0)中心的弦
25、，椭圆的左焦点为 F1(c,0)，则F 1AB 的面积x2a2 y2b2最大为 ( )Abc Bab Cac Db 2答案 A解析 如图，由椭圆对称性知 O 为 AB 的中点，则F 1OB 的面积为F 1AB 面积的一半又 OF1c，F 1OB 边 OF1 上的高为 yB，而 yB 的最大值为 b.所以F 1OB 的面积最大值为 cb.所以F 1AB 的面积最大值为 bc.124已知点 A( 1,0)，B(1,0)及抛物线 y22x ，若抛物线上点 P 满足|PA|m|PB| ，则 m 的最大值为 ( )A3 B2 C. D.3 2答案 C解析 据已知设 P(x，y) ，则有 m |PA|PB
26、| x 12 y2x 12 y2 x 12 2xx 12 2x x2 4x 1x2 1 ，1 4xx2 1 14x 1x据基本不等式有 m ，1 4x 1x1 42 x1x 3即 m 的最大值为 .故选 C.35直线 3x4y 40 与抛物线 x24y 和圆 x2(y1) 2 1 从左到右的交点依次为A、B 、C 、D，则 的值为|AB|CD|( )A16 B C4 D116 14答案 B解析 由Error!得 x23x 40，x A1，x D4，直线 3x4y 40 恰过抛物线的焦点 F(0,1)，|AF| yA1 ，|DF|y D15，54 .故选 B.|AB|CD| |AF| 1|DF|
27、 1 1166过椭圆 C： 1(ab0)的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B，且x2a2 y2b2点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若 b0)的左，右焦点，若在直线 x 上存在 P 使线x2a2 y2b2 a2c段PF1 的中垂线过点 F2，则此椭圆离心率的取值范围是 ( )A. B.(0，22 (0，33C. D.22，1) 33，1)答案 D解析 设 P ，F 1P 的中点 Q 的坐标为 ，(a2c，y) (b22c，y2)当 kQF2 存在时，则 kF1P ，kQF 2 ，cya2 c2 cyb2 2c2由 kF1PkQF21，得y2 ，y 20，a2
28、c22c2 b2c2但注意到 b22c 20，即 2c2b 20，即 3c2a 20，即 e2 ，故 32.16k2综合(1)(2)知(y y )min32.21 2三、解答题13(2013天津)设椭圆 1(ab0)的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F 且与 x 轴垂x2a2 y2b2 33直的直线被椭圆截得的线段长为 .433(1)求椭圆的方程；(2)设 A、 B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点若 8，求 k 的值AC DB AD CB 解 (1)设 F(c, 0)，由 ，知 a c.ca 33 3过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 xc，代入
29、椭圆方程有 1，解得 y ， c2a2 y2b2 6b3于是 ，解得 b ，26b3 433 2又 a2c 2b 2，从而 a ， c1，3所以椭圆的方程为 1.x23 y22(2)设点 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，由 F(1,0) 得直线 CD 的方程为 yk(x1) ，由方程组Error!消去 y，整理得(2 3k 2)x26k 2x3k 260.求解可得 x1x 2 ， x1x2 .6k22 3k2 3k2 62 3k2因为 A( ，0)，B ( ，0)，所以3 3 (x 1 ，y 1)( x 2，y 2)( x2 ， y2)( x 1，y 1)AC DB AD CB 3
30、3 3 362x 1x22y 1y262x 1x2 2k2(x11)( x21)6(22k 2)x1x22k 2(x1x 2)2k 26 .2k2 122 3k2由已知得 6 8，解得 k .2k2 122 3k2 214在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率 e ，且椭圆x2a2 y2b2 23C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程(2)在椭圆 C 上，是否存在点 M(m，n) ，使得直线 l：mx ny1 与圆 O：x 2y 21 相交于不同的两点 A、B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的OAB 的面积
31、；若不存在，请说明理由解 (1)e 2 ，a 23b 2，c2a2 a2 b2a2 23椭圆方程为 1，即 x23y 23b 2.x23b2 y2b2设椭圆上的点到点 Q(0,2)的距离为 d，则d x 02 y 22 x2 y 22 ，3b2 3y2 y 22 2y 12 3b2 6当 y1 时，d 取得最大值，d max 3，3b2 6解得 b21，a 23.椭圆 C 的方程为 y 21.x23(2)假设存在点 M(m，n)满足题意，则 n 21，m23即 m233n 2.设圆心到直线 l 的距离为 d，则 d1，00.1m2 n2 1m2 n2S OAB 1m2 n2(1 1m2 n2) ，(1m2 n2 1 1m2 n22 )2 12当且仅当 1 ，即 m2n 221 时，S OAB 取得最大值 .1m2 n2 1m2 n2 12由Error!得Error!存在点 M 满足题意，M 点坐标为 ， ， 或(62，22) ( 62， 22) ( 62，22)，此时OAB 的面积为 .( 62， 22) 12
