1、 圆锥曲线定点问题探究有趣的“母子圆锥曲线”一、母子抛物线及其性质的探求过程：第一步：一个经典的例题例 1：已知抛物线 ， 是坐标原点，作射线 交抛物线 于两2:CyxOOAB、 C点 求证：直线 过定点AB、 AB证明：如图 1,显然直线 斜率不是 ，设直线 的方程为 ，联立 得：0xym2yx，显然 ， ，20ym24m设 ，则 ，12(AxB,)、 y12y，又 ， ，12yO0AOB即 ，又 ， ，120x+y21yx2 ， ，)( 0m解得 ，或 m当 时, 直线 的方程为 ,直线 过定点 ,不符合题意0ABxyAB(0)当 时,直线 的方程为 ，显然直线 过定点 111,综上, 直
2、线 过定点 (1,0)第二步：经典例题中的直角顶点换个位置例 2：已知抛物线 ， 是 上的一个定点，作射线 交抛物线 于2:Cyx(,)MCMAB、 C， 求证：直线 过定点AB、 MAB证明：如图 2,显然直线 斜率不是 ，设直线 的方程为 ，联立 得：0xym2yx，显然 ， ，设 ，则 ，20ym24m12(AB,)、 12，又 ， ，12AB0M即 ，212()()xy+即 ，1 12()0y又 ， ，2yx2图1BAO xyM(1,1)图2BAO xy ，221112)()3()0(y+y+ ，解得 ，或 30m1m2当 时, ,即 ,即直线 过定点 ,不符合题意11xy()()0x
3、yAB(1)当 时, ,即 ,即直线 过定点 2212,综上, 直线 过定点 AB(,1)第三步：例 2 中 再改为其关于 轴的对称点,Mx1(,)M例 3：已知抛物线 ， 是 上的一个定点，作射线 交抛物线2:Cyx1(,)C1AB、于 ， 求直线 所过定点CAB、 1AB解：根据抛物线的对称性，不难猜想直线 所过定点与例 2 中所过定点关于 轴对称,即x为 求解过程略(2,)第四步： 提出一个问题，并对问题的答案作出猜想当 点在抛物线上运动时，直线 所过的定点 也在运动，那么点 的轨迹是什么MABQQ呢？如何求出轨迹方程呢？我们首先猜想 的轨迹是抛物线，我们已经得到 、 、 ，于是Q1(,
4、0)2(,1)3(2,)进一步猜想 的轨迹是以 为顶点，开口向右的抛物线，于是我们设轨迹方程为1(,0)，把 代入可以求得 ，于是得到猜想的轨迹方程为 2(1)yax2, 1a21yx第五步：给出第四步中猜想的详细证明注意:证明中涉及参数非常多，因此变换过程要参照例 2 中的思路方法，变换过程中分解因式比较复杂，注意按照某个字母的降幂排列例 4：设抛物线 上一定点为 ，作射线 交抛物线 于 ，2:Cyx2(,)MtAMB、 CAB、求直线 所过定点 的坐标,并求出 的轨迹方程MABAQ解:显然直线 斜率不是 ，设直线 的方程为 ，0ABxym联立 得： ，显然 ， ，2yx2ym0240设 ，
5、则 ， ，12(AB,)、 1212y于是 , ,1)()xyym212()xy又 ， ，MAB0即 ，22112()()xttyt+即 ，422121()0xyt即 2()mttmt ，22410 ，3()()ttt ，2210m解得 ，或 tt当 时, ,即 ,22xy2()()0xtyt即直线 过定点 ,不符合题意AB2()Mt当 时, ,即 ,21mt21xyt2()()0xtyt即直线 过定点 2(,)Qt设 ,则 消去 得 ()xy1,tt21yx即 的轨迹方程为 2yx第六步：母子抛物线性质及其逆命题1、母子抛物线及其性质:如图 3,在抛物线 上取点 ，作射线 交抛物线 于 ，2
6、:Cyx2(,)MtAMB、 CAB、则直线 过的定点为 的轨迹方程MABA1,Q2(1,)t为 我们把 与 称为一对母子抛物线2:1Cyx2:yx2:yx2、母子抛物线性质的逆命题:在子抛物线 上任取2:,过 作母抛物2(1)Qt(1,)t线 的弦 ,那么在母抛物:CyxAB线 上一定存在异于 一2 、点 ,且点 满足 ,在实际命题中经常叙述为 ,或者联系圆的性2()MtAMB0MAB质, 叙述为“以弦 为直径的圆过定点” 我们不难论证母子抛物线的性质的逆命题也是真命题，限于篇幅，在此从略二、母子椭圆我们用研究母子抛物线类似的方法研究母子椭圆1、求特殊点:例 5、已知椭圆 ， 是 的一个顶点
7、，作射线 交椭圆 于2:1xCy(0,)MCMAB、 C， 求直线 所过定点的坐标AB、 MAB解：显然直线 有斜率，设直线 的方程为 ，ykxm联立 得： ，21xy22(1)40kxkm当 时，设 ，02AB,、 y则 12124,kmxxk又 ， ，MB0即 ，122x+(y-)，10又 ， ，ykxm2ykx ，2 2121()()10m把 代入上式得：24,kxxk，注意到 显然不合题意，22 24(1)(1)10mk1m于是上式化为： ，222()mkk整理得 ， 3103即直线 的方程为 ，显然直线 过定点 AB1ykxAB1(0,)3Q把 的坐标改为顶点 ，类似可以求得直线 过
8、定点 M(2,0) 2(,)把 的坐标改为顶点 ，类似可以求得直线 过定点 ,1AB310,把 的坐标改为顶点 ，类似可以求得直线 过定点 M(2,0)AB42(,0)3Q2、猜想:由 , , 可以猜想,当 在椭圆 上运动时,相1(0)3Q2(,0)31(,)Q420)3M2:1xCy应 的轨迹为以 、 、 、 为四个顶点的椭圆，其轨迹方程为 ，即12342:929:Cxy3、检验: 一般的证明过程比较复杂,我们在此仅仅把 改为椭圆 上的非顶点来进行M2:1xCy检验例 6、已知椭圆 ， 是椭圆 上的一个定点，作射线 交椭2:1xCy2(,) MAB、圆 于 ， 求直线 所过定点坐标AB、 M
9、AB解：如图 4,显然直线 有斜率，设直线 的方程为 ，ykxm联立 得： ，21xy22(1)40kxkm当 时，设 ，02AB,、 y则 12124,kmxxk又 ， ，MB0即 ，1212()x+(y-)(-)又 ， ，1ykm2kx ，2 21213()()(0xm把 代入上式化简得 ，212124,kxxk22140km解关于 的方程得： ，或 23图4 AM(1, 22 )BOxy当 时, 即 ,由此得2km2()ymx2()(1)0yxm解得, 即直线 过定点 ,不符合题意 021yx2,1yxAB(1)2当 时, 即 ,32km2(3)ymx()(31)0yxm由此得 解得,
10、即直线 过定点 031yx,61,3xAB2(,)36综上, 直线 过定点 AB52(,)6Q把 的坐标代入 ,左右两边相等,可以知道 在512(,)3629:1Cxy512(,)36Q上29:Cxy4、结论:在椭圆 上取定点 ，作射线 交椭圆 于 ，2:1MAB、 CAB、则直线 过的定点为 当 在 上运动时，得到相应 的轨MABAQ2:1xCyQ迹方程为 我们把 与 称为一对母子椭圆 29:1Cxy2:xy29显然,这个性质的逆命题也是真命题三、母子双曲线1、双曲线的情况比较复杂，对于等轴双曲线满足类似条件的直线 是一组平行线，不再AB过定点：例 7、已知等轴双曲线 ， 是等轴双曲线 的一
11、个顶点，作射线2:1Cxy(,0)MC交椭圆 于 ， 证明直线 平行于 轴MAB、 AB、 x证明：如图 5,可以计算，当直线 没有斜率时， ，当直线 有斜率时，设90ABAB直线 的方程为 ，ykxm联立 得： ，21x22()10x当 ， 时，设 ，0k12(AB,y、 )则2121,kmxx又 ， ，MAB0即 ，1212()x+y又 ， ，ykmkx ，2 2121()()10m把 代入上式化简得2,kxx，20km解关于 的方程得： ，或 0km当 时, 直线 的方程为 ,直线 平行于 轴AB(0)yABx当 时,直线 的方程为 ，显然直线 过定点 ，不合题意kx(1,0)综上, 平
12、行于 轴x换个异于顶点的点 ，可以证明相应 也是一组平行线M2、非等轴双曲线例 8：已知双曲线 ， 是双曲线 的一个顶点，作射线 交椭2:1yCx(,0)CMAB、圆 于 ， 试探求直线 是否过定点AB、 AB解：如图 6, 当直线 没有斜率时， ，当9直线 有斜率时，设直线 的方程为 ，ykxm联立 得： ，21yx22()0kx当 ， 时，设 ，20k12(ABx,y、 )则2121,mxxk又 ， ，MAB0即 ，1212()x+y又 ， ，ykmkx ，2 2121()()10m把 代入上式化简得 ，2,kxxk2230km图6xy0 M(1,0)BA图5xy0 M(1,0)BA解关于
13、 的方程得： ，或 kmk3k当 时, 直线 的方程为 ,直线 过定点 ,不合题意当 时,AByxAB(10)3mk直线 的方程为 ，显然直线 过定点 AB3ykx(3,综上, 直线 过定点 (,0)3、有兴趣的同学自己探求母子双曲线：在双曲线 上取定点 ，作射线 交椭圆 于 ， 则2:1yCxMAB、 CAB、 M直线 过的定点为 当 在双曲线 上运动时，得到相应 的轨迹方程为ABQ2:1yCxQ我们把 与 称为一对母子双曲线2:198xy2:1yx98四、母子圆: 显然,在圆 上取定点 ，作射线 交椭圆 于 ，2:CyMAB、 CAB、则直线 过的圆心 当 圆 上运动时，得到相应 仍然是M
14、ABAO2:1CxyQ圆心 O也就是本文中所谓的子圆已经退化为一个点圆心当然,把 改为 ,则很容易求得 的轨迹方程为120BQ21:.4Cxy我们显然可以把 与 称为在 时的一对母子2:Cxy21:4xy10AMB圆但是,如果我们把研究抛物线、椭圆、双曲线问题中的 改为等非直角，则其情形怎样呢，这个问题显然十分复杂，期待着有兴趣的读者120AMB去研究、去探索规律总结:在圆锥曲线 (不包括等轴双曲线和圆)上取定点 ，作射线 交椭圆 于CMAB、 C， 则直线 过定点 当 在 上运动时，得到相应 的轨迹 仍、 ABQCQ然是相应种类的圆锥曲线,我们把 与 叫做一对母子圆锥曲线对于母子抛物线, 子抛物线 由母抛物线 平移得到( 平移长度恰好等于抛物线的通径),开口大小方向不变;对于椭圆, 母子椭圆中心相同,离心率相同; 对于双曲线,母子双曲线中心相同,离心率相同,当然渐进线也相同本文所探究的问题涉及高考中经常考查的定值与定点问题,其变化的题目是高考的热点
